第讲阶跃函数和阶跃响应
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第八章第五节阶跃函数与阶跃响应
则 3(t-2)引起的响应为
3 S ( t 2 ) 6 1 e 2 ( t 2 ) t 2
例（前面举过的一例）求i(t),t>0.
t = 2S S2
2W i S1 t = 0
+
5V -
t = 2S
+
S3
1 F -uc
+
10V -
题图 和要求
2W i
+
+
5 (t 2)V
t=0
+ -10V
¶¯ ̬
+
设
u0(t) =
5(1e2t )V
µç · -
( t 0)
可表示成或改画成下图表示：
+
¶¯ ̬
+
10 (t)V
-
µç
u0(t) = 5(1e2t)(t)V
·
-
(2) 信号分解(或描述分段恒定信号对电路的
激励) 例如
u(t) (V)
1
分解为
t(s)
-
1F
-uc
已知uc(0)=10V 求i(t),t>0
解：
2W i
it it it
零输入 零状态 响应 响应
+
+
5 (t 2)V
-
1F
-uc
其中iti0et uc0e0.5t
2
5e0.5ttA
在 t = 2S 时，尽管电容 上还存在零输入响应， i( t )也存在零输入响应， 但求零状态响应时，可 将上述响应看成零，则
将i'(t)的波形与-i"(t)的波形叠加可得 i(t)的波形，由u(t)-i(t)的波形可得uL(t) 的波形。
3 S ( t 2 ) 6 1 e 2 ( t 2 ) t 2
例（前面举过的一例）求i(t),t>0.
t = 2S S2
2W i S1 t = 0
+
5V -
t = 2S
+
S3
1 F -uc
+
10V -
题图 和要求
2W i
+
+
5 (t 2)V
t=0
+ -10V
¶¯ ̬
+
设
u0(t) =
5(1e2t )V
µç · -
( t 0)
可表示成或改画成下图表示：
+
¶¯ ̬
+
10 (t)V
-
µç
u0(t) = 5(1e2t)(t)V
·
-
(2) 信号分解(或描述分段恒定信号对电路的
激励) 例如
u(t) (V)
1
分解为
t(s)
-
1F
-uc
已知uc(0)=10V 求i(t),t>0
解：
2W i
it it it
零输入 零状态 响应 响应
+
+
5 (t 2)V
-
1F
-uc
其中iti0et uc0e0.5t
2
5e0.5ttA
在 t = 2S 时，尽管电容 上还存在零输入响应， i( t )也存在零输入响应， 但求零状态响应时，可 将上述响应看成零，则
将i'(t)的波形与-i"(t)的波形叠加可得 i(t)的波形，由u(t)-i(t)的波形可得uL(t) 的波形。
阶跃响应时间计算公式
阶跃响应时间计算公式
阶跃响应时间是指系统从静态状态到达稳态需要的时间。
在控制系统中，阶跃响应时间是一个重要的性能指标。
它反映了系统的响应速度和稳定性。
阶跃响应时间计算公式是通过测量系统的阶跃响应曲线来计算的。
具体而言，它是从阶跃输入信号的起始点到系统输出信号达到其稳态值所需的时间。
阶跃响应时间的计算公式可以用以下公式表示：t_r = t_{90} - t_{10}其中，t_r是阶跃响应时间，t_{90}是系统输出信号达到其稳态值的时间，t_{10}是系统输出信号达到其稳态值的10％时刻。
这个公式的应用非常广泛，例如在工业控制、机器人技术和自动化等领域中。
通过计算阶跃响应时间，我们可以评估一个系统的性能，以便进行必要的调整和改进。
阶跃响应时间计算公式是控制系统中非常重要的一个概念。
它可以帮助我们评估系统的性能，并指导我们在必要时采取措施来改进系统的响应速度和稳定性。
阶跃响应终值定理
阶跃响应终值定理
阶跃响应终值定理是线性时不变系统中的一个重要定理，它表明了当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出信号在稳定状态下的终值。
该定理可以用数学公式表示为：
lim(s→0) [sY(s)] = lim(t→∞) y(t)
其中，Y(s)是系统的传递函数，y(t)是系统的输出信号。
根据阶跃响应终值定理，当我们知道一个系统的传递函数，并且输入信号为单位阶跃函数时，我们可以通过计算传递函数在s=0处的极限来得到系统在稳定状态下的输出终值。
这个定理在控制系统工程中非常有用，可以帮助我们分析和设计稳定系统的行为。
通过计算系统的终值，我们可以判断系统是否稳定以及系统的响应速度和精度等性能指标。
需要注意的是，阶跃响应终值定理适用于线性时不变系统，并且系统必须是稳定的。
对于非线性或者不稳定的系统，该定理可能不适用。
此外，该定理也需要满足一些技术条件，如系统的传递函数必须存在极限等。
阶跃函数和阶跃响应
现在计算初始值u 现在计算初始值 C2(0+)。在t<0时，ε(t)=0，电路处于 。 时 ， 零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应 零状态， 。 时刻， 该满足以下KVL方程 方程 该满足以下
uC1 (0 + ) + uC 2 (0 + ) = 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。 上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结 电荷守恒定律， ，需要应用电荷守恒定律 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零 此例中总电荷为零)， 点的各电容总电荷量保持恒定 此例中总电荷为零 ，由此 得到以下方程
§6－5 阶跃函数和阶跃响应 －
在上一节的讨论中， 在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关， 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用， 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加， 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象， 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
已知电路的阶跃响应， 已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应， 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 所示信号作用图6-36(a)所示 串联电路时，由于 所示RC串联电路时 图6-36(b)所示信号作用图 所示信号作用图 所示 串联电路时， 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。 号的叠加。
uC1 (0 + ) + uC 2 (0 + ) = 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。 上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结 电荷守恒定律， ，需要应用电荷守恒定律 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零 此例中总电荷为零)， 点的各电容总电荷量保持恒定 此例中总电荷为零 ，由此 得到以下方程
§6－5 阶跃函数和阶跃响应 －
在上一节的讨论中， 在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关， 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用， 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加， 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象， 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
已知电路的阶跃响应， 已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应， 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 所示信号作用图6-36(a)所示 串联电路时，由于 所示RC串联电路时 图6-36(b)所示信号作用图 所示信号作用图 所示 串联电路时， 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。 号的叠加。
阶跃函数和阶跃响应
一、阶跃函数
单位阶跃函数(t)的定义为
(t)
0 1
t0 t 0
(6 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k
个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所
示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
其中时间常数=RC或=L/R。
已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 图6-36(b)所示信号作用图6-36(a)所示RC串联电路时，由于 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。
图6-36
图6－36 RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应
τ
RoCo
R1R2 R1 R2
(C1
C2 )
现在计算初始值uC2(0+)。在t<0时，(t)=0，电路处于
零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应 该满足以下KVL方程
uC1(0 ) uC2 (0 ) 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零)，由此 得到以下方程
说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I0(t)。
图6－31 用阶跃电源来表示开关的作用
图6－31 用阶跃电源来表示开关的作用
与此相似，图(e) 所示电路等效于图(f) 所示阶跃电压
源 U0 (-t)；图(g) 所示电路等效于图6－31(h) 所示阶跃电 流源I0(-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路
《电路分析》阶跃函数和阶跃响应
§8－5 阶跃函数和阶跃响应
在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。
随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
一、阶跃函数
单位阶跃函数(t)的定义为
(t)
0 1
t0 t 0
(8 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k
个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所
示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
时，(-t)=0，如图(d)所示。
图8－30 阶跃函数
当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加 到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流 作用于该电路。
例如图 (a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形
u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U0(t)。
图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形i(t)来
图8-33
例8-15 用阶跃电流源表示图8-33(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。
图8-33
解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数
iS(t)=[10 (t)-10 (t-1ms)]mA 表示。
由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，
其零状态响应等于10(t)和-10 (t-1ms)两个阶跃电源单独作
值iL()=1，时间常数为=L/R。
在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。
随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
一、阶跃函数
单位阶跃函数(t)的定义为
(t)
0 1
t0 t 0
(8 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k
个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所
示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
时，(-t)=0，如图(d)所示。
图8－30 阶跃函数
当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加 到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流 作用于该电路。
例如图 (a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形
u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U0(t)。
图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形i(t)来
图8-33
例8-15 用阶跃电流源表示图8-33(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。
图8-33
解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数
iS(t)=[10 (t)-10 (t-1ms)]mA 表示。
由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，
其零状态响应等于10(t)和-10 (t-1ms)两个阶跃电源单独作
值iL()=1，时间常数为=L/R。
第四章 阶跃响应
R
S ( t = 0)
R
ε(t )
uC
i
USε(t)
C
uC
uC (0−)=0
uC = (1 − e
− t RC
uC (0−)=0
uC = U S (1 − e
− t RC
) ε( t )
)ε ( t )
1 i= e R
uC US O
−
t RC
ε( t )
t U S − RC i= e ε (t ) R
C
US
位置2， 时由位置2 位置 ，在t = τ =RC时由位置 时由位置 合向位置1。 合向位置 。 求： ≥ 0时的电容电压 uC ( t )。 t
uC (t )
2
解： 方法一
1
R
C
uC (t )
0 ≤ t ≤ τ RC零状态响应 零状态响应
开关在位置2 开关在位置
US
uC ( t ) = U S (1 − e ) V
例. 1 0
f(t) 1 1 t 0
1 ε(t− 1) 1 t
t
1 0 1 t
1 0
f ( t ) = t[ε ( t ) − ε ( t − 1)] + ε ( t − 1)
二、单位阶跃响应
S ( t = 0)
激励为单位阶跃函数的零状态响应。 激励为单位阶跃函数的零状态响应。
R
R
ε(t )
C
uC
US i R
t
O
t
R
延时阶跃响应: 延时阶跃响应 uC (t0− )=0 −
激励在t=t 时加入， 激励在 0时加入， 则响应从t=t 开始。 则响应从 0开始。
阶跃响应、冲激响应
(t)
h(t)
零状态
(t)
0
t
(t) 0 (t 0)
(t)dt
1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
方法一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1 已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC (t)。
R + iL uL L -
iL (0
)
1 L
L
R
iL
1
e
t
L
uL
iLR
R L
t
e
冲激响应为
iL
1 e
L
t
(t)
uL
(t)
R L
e
t
(t)
1 iL L
0
uL δ(t )
t
0
R
t
L
例3 已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。
解（1） t 在 0- ~ 0+间
0
t
例 讨论电路中uC ， iC 的变化情况
uS
+ uS
-
iC +
C
uC -
U
0
t
解
0
uS
U
t
E
(t 0)
(0 t ) (t )
uC uS
iC
C
duC dt
uC
当 ，q不变 当 0， q不变。
U
uC U(t)
0
iC
CU
0
t
uC
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0
2(1 e2t ) ( A)
1.96e2(t2) ( A)
t<0
0t 2 s
t 2s
3、杜阿密尔（Duhamel）积分（叠加积分）
如果激励f(t)是t=0时接 入 的 任 意 信 号 ， 即 t<0 时 f(t)=0， 那么f(t)可近似地看 作是每隔Δ时间接入一个阶 跃信号。 例如
1 01 23 t
f(t)
A
?
t 0
f (t) A (t)
例5： 用单位阶跃函数截取任意信号
例6： 用单位阶跃函数描述直流电源
单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流电源在t=0时接 入电路的情况。
二. 单位阶跃响应 电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应，用g(t)表示。
R
(t )
uC (0-)=0
iL( )=2A
=6 s
+
2V 5
5H
-
iL(t) = 2 +[0.154 - 2] e - ( t - 1 )/ 6 = 2 - 1.846 e - ( t - 1 )/ 6 A
1<t2
t>2
iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A
法一 t < 0 iL(t)=0 0 < t 1 iL(0+)=0 iL( )=1A
=5/ (1//5)=6 s
iL(t) = 1 - e - t / 6 A
0 < t 1 iL(t) = 1 - e - t / 6 A
1
iL
1 < t 2 iL(1+)= iL(1-)= 1 - e - 1/ 6 =0.154 A
i
+
C
uC
–
由三要素法易得：
t
uC (t) (1 e RC ) (t)
i(t)
1
t
e RC
(t )
R
1 uc
1i
R
3; u(t)
-
5 5H
u(t) V 2 1 0 1 2 t(s)
1
iL
+ 1V 5 5H -
0<t<1
已知: u(t)如图示 , iL(0)= 0 求: iL(t) , 并画波形 .
iL(t) = (1 - e - t / 6) (t)+ (1 - e - ( t - 1) / 6 ) (t -1) -2(1 - e - ( t - 2) / 6 ) (t -2)
结论：
当电路的激励为单位阶跃 (t)时，相当于将电路
在t=0时接通电压值为1v或1A的直流源。因此单位阶 跃响应与直流激励的响应相同，求解方法与前面的
f1(t) y f 1(t)
a1 f1(t) a1 y f 1(t)
齐次定理
f2 (t) y f 2 (t)
a2 f2 (t) a2 y f 2 (t)
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1 y f 1(t) a2 y f 2 (t)
叠加定理
2、时不变电路的延时不变性 对于时不变电路而言， 其元件参数不随时间变化，因而
0.437
0.154
0
1
2
t(s)
法二
u(t)= (t)+ (t-1)-2 (t-2)
(t)
(1 - e - t / 6) (t)
(t -1)
(1 - e - ( t - 1) / 6 ) (t -1)
u(t) 2 1 0 1 2 t(s)
-2 (t -2)
-2(1 - e - ( t - 2) / 6 ) (t -2)
解：激励iS可表示为
iS (t)=3ε(t)-3ε(t-2)
（1）先求 is (t) (t) 时的响应：
iL (0 ) 0
三要素法
iL ()
4
4
2
1
2 3
A
L R
3 2
4
1 2
S
（a）
g(t) 2 (1 e2t ) (t)
3
（b）
（2）求iS作用下iL的零状态响应
例1
1
f (t) (t) (t t0 )
0 t0
t
例2
f(t)
1
f (t) t[ (t) (t 1)] (t 1)
01
t
例3 f(t) 1
f (t) (t) 2 (t 1) (t 2)
0 -1
1
23
t
例4 f(t) 2
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
iL( )=0
=6 s
1
iL
iL(t) = 0.437 e - ( t - 2 )/ 6 A
iL(t) =
0 1- e-t/6A 2 - 1.846 e - ( t - 1 )/ 6 A 0.437 e - ( t - 2 )/ 6 A
t<0 0<t1 1<t2 t>2
5
5H
t>2
iL(t) A
第15讲 阶跃函数和阶跃响应
一 单位阶跃函数（开关函数）
1. 定义
(t
)
0 1
(t 0) (t 0)
2. 单位阶跃函数的延迟
(t)
1
0
t
(t-t0)
1
0 t0
t
0
(t t0 ) 1
(t t0) (t t0)
3. 用途：由单位阶跃函数可组成复杂的信号
f(t)
电路的零状态响应与激励接入电路的时间无关。也就是说，若 激励延迟了t0，时间接入，那么其零状态响应也延迟t0时间， 且波形保持不变。
f (t) y f (t)
f (t t0 ) y f (t t0 )
时不变电路的延时不变性
例 1 如图（a）所示电路，其激励iS的波形如图(b)所示， 若以 iL 为输出，求其零状态响应。
零状态响应相同，只要令输入为 (t)即可。反过来
，已知了单位阶跃响应，就能求得任意直流激励下 的零状态响应，只要把阶跃响应乘以该直流激励的 量值。
三. 任意激励作用下电路的零状态响应
1、线性电路的线性性质
对于线性电路而言， 如果激励f1(t)作用于电路产生的零状 态响应为yf1(t)，激励f2(t)作用于电路产生的零状态响应为yf2(t)， 设a1、a2为常数，则a1 f1 (t) + a2 f2 (t)共同作用于电路产生的零 状态响应应等于a1倍的yf1(t)与a2倍的yf2(t)之和。
g(t) 2 (1 e2t ) (t)
3
iS (t) 3 (t) 3 (t 2)
iL (t) 3g(t) 3g(t 2)
线性与延时不变性
iL (t) 2(1 e2t ) (t) 2(1 e2(t2) ) (t 2)
或写为：
iL (t)