【配套K12】[学习]山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 专题 绝对值不等式课中学案(无答案)文

绝对值不等式
>1
4，所以原不等式的解集为
⎬⎫>14⎩⎪
－12，－x ＋＋x －
或⎩⎪⎨
－2≤x ＋＋
x －
或⎩
⎪⎨
x ＋－
x －
3.
原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x
2＋1，
解得x <－25，∴－3≤x <－2
5.
③当x ≥1
2
时，
原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x
2＋1，
解得x >2，∴x >2.
综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <－2
5或x >2.
绝对值不等式的常用解法
方法技巧] (1)基本性质法：
对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ， |x |>a ⇔x <－a 或x >a .
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法：
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
【我会做】 1．求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．
解：不等式|x －1|－|x －5|<2等价于
⎩
⎪⎨
⎪⎧ x <1，
－x －＋x －
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤x ≤5，x －1＋x －5<2
或⎩⎪⎨
⎪⎧ x >5，x －1－x －，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧ x <1，－4<2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤x ≤5，2x <8
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >5，4<2，故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅＝{x |x <4}．
2．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧
x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－32，
3x ＋3≥2.
≤0不等式
考点二证明绝对值不等式
★【我能做对】例2 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤1
4，
求证：|x ＋5y |≤1.
证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得
|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×1
4＝1.
即|x ＋5y |≤1. 方法技巧]
证明绝对值不等式的三种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． ★★【我要挑战】例3 设函数f (x )＝x ＋|x －a |. (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；
(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围． 解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，
f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －2 017，x ≥2 017，
2 017，x <2 017.
因为f (x )在2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立， 即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2.
而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |>2，解得a >1或a <－3.
故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 跟踪训练:
★【我能做】1．设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．
解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a
－
x －a ＝1
a ＋a ≥2.当且仅当a ＝
1时等号成立．所以f (x )≥2.
2)1,
1]，求
的函数表达式及图象可知，
；
5.
f。