二元一次不等式组与平面区域

3.3.1二元一次不等式
（组）与平面区域
引入
一家银行的信贷部计划年初投入25 00万元用
于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万
元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷
款中获益10%.那么,信贷部应该如何分配资金呢？
设用于企业贷 款的资金为x万 问题：这个问题中存在一些不等关系 元，用于个人 应该用什么不等式模型来刻画呢？ 贷款的资金y万 元。
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x
ห้องสมุดไป่ตู้O O
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y
x
x=1
例题
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y
0 x-2y=0
x 3x+y-12=0
练习
x y 1 0 (1)画出不等式组 x y 0 表示的平面区域 x 2
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资 金y元。则
x y 2500 (12%) x (10%) y 3 x 0, y 0
所以得到分配资金应该满足的条件：
x y 2500 12x 10 y 300 x0 y0
新知探究
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
O
域
y 1
4 x x+4y―4=0
结论 直线定界，特殊点定域。
提出：采用“选点法”
来确定二元一次不等式 所表示的平面区域
y Ax + By + C = 0 x
O
强调：若直线不过原点，通常选（0，0）点;
若直线过原点，通常选（1，0）、（-1，0）、
（0，1）、(0,-1)等特殊点代入检验并判断。
练习
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
直线叫做这两个区域的边界。
结论
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线） 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x , y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线
10
x
课堂小结
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
（1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式； 通常可记为Ax+By+C>0（A、B不全为零） (<,≥,≤) （2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组； （3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；
（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成是平面直角坐 标系内的点构成的集合。
y
10 8 6
x2
x y 1 0 4
2
x y 0
2 4 6 8 10
o
x
练习
3x 4 y 9 (2)画出不等式组5 x 2 y 8表示的平面区域 x 0, y 0
y
10 8 6 4
5x 2 y 8 3x 4 y 9
2
o
2
4
6
8
新知探究
2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）复习回顾 二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不全为零） 所表示的图形 ——平面直角坐标系内的一条直线。 y
O
左上方区域
Ax+By+C=0
x 右下方区域
结论
注意：把直
不等式x – y < 6表示直线x – y = 6左上方的平面区域；
不等式x – y > 6表示直线x – y = 6右下方的平面区域；
的某一侧任取一点(x0 , y0),根据Ax + By + C的
正负即可判断Ax + By + C>0表示直线的哪一侧
区域（C≠0时，常把原点作为特殊点）
例题
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） 直线定界， (2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y特殊点定 - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点在x + 4y – 4 < 0 表示的平面区域内， 不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。