8 平面分析-等参单元-2

∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂ξ = ∂ξ ∂x + ∂ξ ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂η ∂η ∂x ∂η ∂y
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 4
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
∂N ∂N ∂ξ ∂N ∂x = ∂ξ ∂x + ∂η ∂N ∂N ∂ξ ∂N = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 1
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
u = ∑ N i (ξ ,η ) ui , v = ∑ Ni (ξ ,η ) vi
x = ∑ N i (ξ ,η ) xi , y = ∑ N i (ξ ,η ) yi
i =1 i =1
4
4
i =1 4
i =1 4
对比
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2 = (1 + ξ )(1 − η ) 4 1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4 = (1 − ξ )(1 + η ) 4 N1 =
(∆ )
坐标变换函数与位移函数采用相同的形状函数
∂ξ ∂ξ , ∂x ∂y
∂η ∂x ∂η ∂y
∂η ∂η , ∂x ∂y
求不出来
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 5
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
N1 = N2 = N3 = N4 = 1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 (1 + ξ )(1 − η ) 4 1 (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4
8 x = ∑ N i (ξ ,η ) xi i =1 8 y = N (ξ ,η ) y ∑ i i i =1
∂y ∂η ∂x − ∂η
∂ y − ∂ξ ∂ x 可求 ∂ξ
8
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
将单元应变代入平面问题的物理方程式，就得到平面4 节点等参单元的应力列阵，为
关键
求出
J
−1
平面问题有限元分析-等参单元
7
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
雅可比（Jacobi）矩阵的逆矩阵为
∂ x ∂ξ J= ∂ x ∂η
4
∂ y ∂ξ ∂ y ∂η
∂y ∂η 1 −1 J = J ∂x − ∂η
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 6
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
∂ Ni ∂ x ∂ξ ∂ξ = ∂ Ni ∂ x ∂η ∂η
∂ y ∂ Ni ∂ Ni ∂ξ ∂ x ∂x ∂ N = J ∂ N ∂ y i i ∂y ∂η ∂ y
dr = dxi + dyj
y
dA = dξ × dη
dr
dyj
j
o
dxi i
图(b)
x
dξ = dxi + dyj
∂x ∂x ∂y ∂y = ( dξ + dη)i + ( dξ + dη) j ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
dη = dxi + dyj
∂x ∂x ∂y ∂y = ( dξ + dη)i + ( dξ + dη) j ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
18
（3）表面力引起的单元节点载荷 ） 单元的某边界上承受力为P=[X Y]T，移置到单元节点 上的等效节点力为(设ξ=1的面上受有表面力，沿ξ=1边的 切向取微分矢量dη)：
8 平面问题有限元分析 等参单元
8.1等参单元刚度（4节点） 等参单元刚度（ 节点 节点） 等参单元刚度 曹国华 8.2等参单元等效节点力（4节点） 等参单元等效节点力（ 节点 节点） 等参单元等效节点力 8.3矩形单元（8节点） 矩形单元（ 节点 节点） 矩形单元 8.4等参单元（8节点） 等参单元（ 节点 节点） 等参单元 8.5高斯积分法 高斯积分法
2012-4-2 12
平面问题有限元分析-等参单元
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
dA = dξ × dη
由于 dξ 是沿 ξ 坐标变化的，所以它只是 ξ 的函数，与η 无关。可得：
∂x ∂y dξ = dξ i + dξ j ∂ξ ∂ξ
同理 得
dη =
∂x ∂y dη i + dη j ∂η ∂η
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 15
等参单元等效节点力（ 节点） 等参单元等效节点力（4节点）
（1）集中力引起的单元节点载荷 ） 单元内某点受到集中载荷P=[Px Py]T，移置到单元节 点上的等效节点力为：
N1 e T FP = N P = 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 X 3 Y3
∂y ∂ξ ∂y ∂η
雅可比行列式 Jacobi
dA = J dξdη
则等参元刚度矩阵为
K = t ∫ ∫ B DB dA
e eT e
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K = t∫
e
1
−1 −1
∫
1
BeT DBe J dξ dη
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平面问题有限元分析-等参单元
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
K = t∫
e 1 Be J dξ dη
由此式可计算出单元的刚度矩阵，此处的积分一般得不到 显式形式，因此要采用数值积分 数值积分法（如Gauss积分法），该积 显式形式 数值积分 该积 分对任何形状的四边形单元具有相同的积分表达式和相同的积 分限。上式积分运算是在母单元 母单元（自然坐标）内进行的，但节 分限 母单元 点力与节点位移的方向均沿整体坐标x，y方向。所以[k]e是整 体坐标内的刚度矩阵。 体坐标内的刚度矩阵 由以上分析可知，在划分单元时，只需确定单元节点的整 体坐标值，而不必画出等参元的具体形状，因为在计算中实际 使用的只有单元四个节点在整体坐标系下的位移值。 等参元变换的条件为 J ≠ 0 ，因此在有限元网格划分时，要 特别注意这一点。
∂x ∂x ∂y ∂y dx = dξ + dη, dy = dξ + dη ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
y
dr
dyj
j
o
dxi
x
i
图(b)
故
∂x ∂x ∂y ∂y dr = ( dξ + dη )i + ( dξ + dη ) j ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ
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平面问题有限元分析-等参单元
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等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元 3
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
应力等分析需要整体坐标下的形函数，怎样求解？ 应力等分析需要整体坐标下的形函数，怎样求解？ 已有
x = x(ξ ,η ) y = y (ξ ,η )
若
求z对(ξ,η)偏导数 对 偏导数
z = z ( x, y )
∂x ∂y ∂x dξ dξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ dA = dξ × dη = = ∂x ∂y ∂x dη dη ∂µ ∂η ∂µ
2012-4-2 平面问题有限元分析-等参单元
∂y ∂ξ dξdη ∂y ∂η
13
等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
因为
∂x ∂ξ J = ∂x ∂η
曲边面积元dA:
∂ y − ∂ξ ∂x ∂ξ
∂ N i (ξ ,η ) ∑ ∂ξ xi i =1 J = 4 ∂ N ξ ,η )x i( ∑ ∂η i i =1
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∂ Ni (ξ ,η ) ∑ ∂ξ yi i =1 4 ∂ N ξ ,η )y i( ∑ ∂η i i =1
4
平面问题有限元分析-等参单元
T
= ∑∑ wi w j ( N T P J )i , j t
i =1 j =1
n1
n2
高斯积分
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平面问题有限元分析-等参单元
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（3）表面力引起的单元节点载荷 ） 单元的某边界上承受力为P=[X Y]T，移置到单元节点 上的等效节点力为(设ξ=1的面上受有表面力，沿ξ=1边的 切向取微分矢量dη)：
Sie = DBie （i=1，2，…，4）
等参元刚度矩阵仍可用下式表示
K e = ∫∫ ∫ B eT DB e dV = t ∫ ∫ B eT DB e dxdy
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平面问题有限元分析-等参单元
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等参单元刚度（ 节点） 等参单元刚度（4节点）
面积微元的变换 计算单元刚度矩阵时，需将对整体坐标的积分变成对 局部坐标（自然坐标）的积分，其面积微元也由直角坐标 中的矩阵dxdy变成自然坐标中的曲边四边形 dξdη 以下求直角坐标中的曲边面积元dA，用局部坐标中 的面积微元 dξdη 表示的表达式。
∂ Ni ∂x
∂ Ni ∂y
式中的J称为 雅可比（ 雅可比（Jacobi）矩阵 ）
∂ x ∂ξ J= ∂ x ∂η
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∂ y ∂ξ ∂ y ∂η
∂ Ni ∂ Ni ∂ξ ∂x −1 ∂ N = J i ∂ Ni ∂y ∂η
y
η
由图 (a)得