人教A版数学必修一高一数学能力强化提升：13-1-1函数的单调性【年6月出版,收录12-13最新资料】.docx

高中数学学习材料
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一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2
时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数
B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数
C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数
D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1、x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D
2．给出下列命题：①y ＝1
x 在定义域内是减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1
x 在(－∞，0)上是增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误的命题有( ) A ．0个
B ．1个
C．2个D．3个[答案] D
[解析]①y＝1
x在定义域内不具有单调性；②y＝(x－1)
2在(0，＋
∞)上先减后增；④当k＝0时，y＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．
3．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则()
A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＜f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
[答案] B
[解析]由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y ＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.
4．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
[解析]函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
5．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )
A ．有且只有一个
B ．一个都没有
C ．至多有一个
D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C
[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.
6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b
＞0，则必有( )
A ．函数f (x )先增后减
B ．函数f (x )先减后增
C ．函数f (x )在R 上是增函数
D ．函数f (x )在R 上是减函数 [答案] C
[解析] 由f (a )－f (b )
a －
b ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＞0，f (a )－f (b )＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＜0，f (a )－f (b )＜0.
∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )， ∴f (x )在R 上单调递增，故选C.
7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(0，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.
8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )
A ．f (－1)<f (1)<f (2)
B ．f (1)<f (2)<f (－1)
C ．f (2)<f (－1)<f (1)
D ．f (1)<f (－1)<f (2)
[答案] B
[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)，即f (1)<f (2)<f (－1)．故选B.
二、填空题
9．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －1)2 x ≥0
x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，
单调减区间是________．
[答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1]
[解析] 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x －1)2
(x ≥0)
x ＋1 (x <0)
的图象如图，可知f (x )在
(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.
10．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.
[答案] 21
[解析] 由已知得－－m
2×4＝－2，解得m ＝－16
∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.
11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (3
4)的大小关系为________．
[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (3
4)
[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3
4>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (3
4)．
12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2
是增函数；②y ＝1
f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增
函数，其中错误的结论是________．
[答案] ①②④ 三、解答题
13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．
[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．
[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．
由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的． 由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π
2)内，y ＝g (x )是单调递增的． 14．求证：函数f (x )＝－1
x －1在区间(－∞，0)上是增函数． [证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2
x 1x 2
.
因为x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
故函数f (x )＝－1
x －1在区间(－∞，0)上是增函数．
15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性
(1)y ＝f (x )＋a ； (2)y ＝a －f (x )； (3)y ＝[f (x )]2.
[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．
(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f
2
(x )是减函数．
16．求下列函数的单调区间． (1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.
[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间 [解析] (1)函数解析式变形为
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x ＋6(－2≤x ≤3)x 2－x －6(x ＜－2或x ＞3)
画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，1
2]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[1
2，3]．
(2)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3x ＋1 (x ≥0)－x 2－3x ＋1 (x <0)，
即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(x －32)2＋134 (x ≥0)－(x ＋32)2＋13
4
(x <0)
，
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－32]，[0，3
2]，单调减区间为[－32，0]，[3
2，＋∞)．。