2017-2018年河北省衡水市武邑中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案答案

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28B．23C．18D．133．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21B．22C．23D．244．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题是（）A．①④B．③④C．①②D．②③6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B．12月份人均用电量不低于20度的有500人C．12月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．2B．1C．D．8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+110．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．1411．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）14．（5分）过抛物线的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解答】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生肺活量差异不大；最合理的抽样方法是按学段分层抽样．故选：C．2．（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28B．23C．18D．13【解答】解：某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），∴抽样间隔f==15，∵编号为3，33，48号学生在样本中，∴样本中另一个学生的编号为3+15=18．故选：C．3．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21B．22C．23D．24【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．4．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题是（）A．①④B．③④C．①②D．②③【解答】解：对于①，m⊥α，若α∥β，则m⊥β，又l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，m⊥α，若α⊥β，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m∥l或m与l相交或m与l异面，故②错误；对于③，m⊥α，l⊂β，若m⊥l，则α∥β或α与β相交，故③错误；对于④，m⊥α，若m∥l，则l⊥α，又l⊂β，则α⊥β，故④正确．∴正确的命题是①④．故选：A．6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B．12月份人均用电量不低于20度的有500人C．12月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为【解答】解：根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1000×0.04×10=400人，A 正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03+0.01+0.01）×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确．故选：C．7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．2B．1C．D．【解答】解：由x，y满足条件作出可行域如图，作直线x+y=0，由图可知，平移直线x+y=0至A时，目标函数z=x+y有最小值，平移直线z=x+y至O时，使目标函数与直线y=﹣x重合时，目标函数z=x+y的值是0，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域为△AOC及其内部区域的一半，面积为S==1．故选：B．8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+1【解答】解：∵y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，∴f（2016）+f（﹣2017）=f（2016）﹣f（2017）=f（0）﹣f（1）=0﹣（e﹣1）=1﹣e．故选：A．10．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．14【解答】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：若，则•=0，即⊥，则∠MPN=90°，由题意，∴A（3，5）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4），D（4，4），∵直线x﹣y+1=0和x+y﹣7=0互相垂直，∴BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．圆上存在点P，使得∠MPN=90°，则过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，（设m＞0），与圆C有交点，若两圆内切时，m取得最大值，此时为=m﹣1，即5=m﹣1，则m=6，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉D组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）【解答】解：A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得较远；∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为：D．14．（5分）过抛物线的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=．【解答】解：根据抛物线方程得：焦点坐标F（0，1），直线AB的斜率为k=tan30°=，由直线方程的点斜式方程，设AB：y﹣1=x将直线方程代入到抛物线中，得：x2﹣x﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=．x1x2=﹣4．弦长|AB|===．故答案为：．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：816．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3 y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos120°=1，…（2分）a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b时取等号；解得，…（4分）故，即f（x）面积的最大值为．…（6分）（Ⅱ）因为a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）又C=120°，故A+B=60°，∴，…（10分）∴，∴．…（12分）18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498．【解答】解：（1）由数据求得=11，=24，由公式求得b=，再由=﹣b，求得a=﹣，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣；（2）当x=10时，y=，x=6时，y=，|﹣22|=＜2，|﹣12|=＜2．∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结OE，∵O、E分别是BD、BC的中点，∴OE∥CD，又OE⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）证明：连结OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO=1，OC=．而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．设O到平面ACD的距离为d，由V A﹣ODC=V O﹣ADC，有，得．故直线OC与平面ACD所成角的正弦值为：．20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．【解答】（本小题满分12分）（1）这种规则是不公平的．理由如下：设甲先停靠为事件A，基本事件总数为5×5=25种，…（1分）则甲先停靠即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个，分别为：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），…（3分）∴甲先停靠的概率，乙先停靠的概率为…（5分）∴这种游戏规则不公平．…（6分）（2）设甲船先停靠为事件C，甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y，（x，y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，这是一个正方形区域，面积SΩ=1×1=1，事件C所构成的区域为A={（x，y）|y＞x，7≤x≤8，7.5≤y ≤8.5}，，这是一个几何概型，所以…（12分）21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，得c=1；又，所以b2=3，且a2=b2+c2=4，所以椭圆的方程为：；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣1），（k≠0），代入，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0；设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为R（x0，y0），则，由得：，所以直线TR为线段PQ的垂直平分线；直线TR的方程为：，令y=0得：T点的横坐标，因为k2∈（0，+∞），所以，所以；所以线段OF上存在点T（t，0），使得，其中．。