第三章一元函数积分学

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高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)

第三章一元函数微分学不定积分基本概念原函数不定积分原函数的存在性连续函数一定有原函数区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数存在第二类间断点，可能有，可能无不定积分的性质基本积分公式三种主要积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分部积分法三种常见可积函数积分有理函数积分三角有理式积分①万能代换（一般法）②三角变形，换元，分部（特殊法）简单无理函数积分令根号下的一堆=t反常积分（广义积分）无穷区间上的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分无界函数的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分定积分应用几何应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系空间体体积旋转体体积二重积分、元素横截面面积的体积常用曲线：双纽线摆线星形线心形线（数三）经济学中的应用常见函数边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析注意需求价格弹性的正负！定积分概念分匀合精几何意义一重：线与坐标轴围成的面积二重：线与线围成的面积有正负可积性（存在）充分条件函数在[a,b]连续，积分存在在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在必要条件积分存在，函数在[a,b]有界计算（值）牛顿莱布尼茨公式换元积分分部积分利用奇偶性、周期性公式点火公式∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx变上限积分定积分性质不等式积分中值定理积分中值定理、广义积分中值定理常见题型不定积分计算不定积分不定积分杂例多做，积累题型定积分概念、性质、存在准则定积分概念、性质、几何意义连乘形式：①夹逼②取对数也有不等式和积分中值定理的使用定积分计算先考虑下奇偶性，但有些题可能直接做更简便总结计算方法变上限积分函数及其应用连续性：f（x）在[a,b]可积，则变上限积分在[a,b]连续可导性：变上限积分在区间除x0点外均连续，则在x0处①连续②可去③跳跃的可导性及值理解！！记住！P112奇偶性：第一章函数奇偶性处理变上限积分常用:洛必达、等价无穷小代换、积分中值定理积分不等式定积分不等式性质变量代换积分中值定理变上限积分可以将f（x）与其导数联系起来柯西积分不等式反常积分反常积分的敛散性1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分反常积分计算核心用法：换元、分部要积累！定积分应用几何应用先画草图！经济学中的应用关联。

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过
程中，需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.

一元函数积分学概论

一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。

一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。

一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。

定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。

计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。

不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。

换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。

分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。

三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。

反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。

总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。

《大学数学课件一元函数微积分学》

曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积分：代换法、分部积分法、三角函数积分法、有理函数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的形式，从而来研究一些不易计算的函数。

D第三章一元函数积分学

(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC ； 1 x 2
(1)3 sh xdxcx hC；
(1)4 cx h dxsx hC.
例 3 求不定积分
1
a
例 1 求 si n3x(2)dx.
解对照基本积分表，上式与si表 x ndx相中，似
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)，那么就可用定理 1 及
sin xdxcox sC, 为此将 dx 写成 dx1d(3x2), 3
代入式中，那么
sin3(x2)dx 1 sin3x(2)d(x32). 3
令 3x + 2 = u 则
1
3
sinudu 1cosuC1co3sx(2)C.
six n dxcox sC;
(3)因(为 arc x)ta 1 1 n x2或(arccox)t11x2,
所以得
d xarc x tC a n ar cc o x tC ; 1x2
(4)因(为 ex)ex, 所以得
exdxexC.
例2
求不定积分

1 x
dx.
解被积函 1的数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x
1dxlnxC; x
当 x < 0 时，因l为 n x ()1(1)1,
x x
所以
1dxln( x)C. x
合并以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln| x|C. x
(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；

一元函数积分学(定积分概念性质)

无穷区间上的定积分
定义与性质
无穷区间上的定积分定义为在无穷区间上对有界函数的积分，其性质与普通定积分相似，但需要考虑积分收敛的条件。
应用场景
无穷区间上的定积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学中的某些模型、无穷级数求和等。
无界函数的定积分
定义与性质
无界函数的定积分定义为在有界区间上对无界函数的积分，其性质与普通定积分有所不同，需要考虑函数无界的条件。
定积分的几何意义
几何解释
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积。
实例
如计算曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所夹的面积。
定积分的物理意义
物理应用
定积分在物理中常用于计算变力做功、引力、压力等。
实例
变力做功的计算，如物体在变力F(x)的作用下，沿直线运动从a到b所做的功W 可以表示为W=∫F(x)dx。
详细描述
如果c是a和b之间的任意值，则 ∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,b)f(x)dx。
03 定积分的计算方法
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是计算定积分的核心方法，它建立了积分与微分之间的联系，通过求导数的逆运算来计算积分。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，可以表示为 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。这个公式将定积分与不定积分（求原函数的过程）联系起来，通过求不定积分得到原函数，再利用原函数计算定积分。
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。

(整理)第三章一元函数的积分学

第三章一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰；（3）1d ln ||x x C x=+⎰；（4）d ln x x a a x C a=+⎰；（5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰；（14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰；（17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰；（18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰；（22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分换元积分变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰；（3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰；（6）12f x f =⎰⎰；（7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰；（12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰；（13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰．第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元积分变量还原3．分部积分法设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++；（2）111(1)1x x x x=+--；（3）2211(1)1x x x x x=-++；（4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++；（5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法（即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰；（2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰；解原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰；解原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰；（2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰；解原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰；（6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰；解令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形．例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰；（2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰；（4）sin ln d x x ⎰ 解原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰；解原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分）解：原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰；例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰．题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰；例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰；例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+，又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数，两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=，故原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >，求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关，即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰．（4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数）设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系）设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数，即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1）换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算（1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞，则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞，则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰，令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰，令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。

一元函数积分学公式

一元函数积分学公式在一元函数积分学中，最基本的积分公式是不定积分的基本公式和定积分的基本公式。

一、不定积分的基本公式：1.常数的积分公式：∫kdx = kx + C（其中，k为常数，C为任意常数）2.幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C（其中，n为不为-1的常数，C 为任意常数）3.指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C（其中，C为任意常数）4.三角函数的积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)*cot(x) dx = -csc(x) + C5.对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x， + C（其中，C为任意常数）二、定积分的基本公式：1.定积分的基本公式：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）2.牛顿—莱布尼兹公式：∫[a,b] f(x)dx = F(x)，[a,b] = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）此外，还有一些特殊的积分公式：1.分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx（其中，u(x)和v(x)是具有足够多次可导性的函数）2.替换法（换元积分法）：如果u=f(g(x)) 是g的一个原函数，则有∫f(u)du =∫f(g(x))g'(x)dx3.瑕积分的计算：当函数在积分区间上有瑕点时，可以通过分解为一般积分和瑕积分的和来计算。

4.反常积分：当函数在积分区间上不满足一些条件时，可以通过极限的概念来处理。

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f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
不定积分的定义：
定义3-2 在区间I 内，函数 f ( x)的原函数
的全体 F(x)+C，称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积分号
被积函数
性质3-1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx;
证
f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx f ( x) g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
性质3-2 kf (x)dx k f (x)dx.
（k 是常数，k 0)
y
斜率都为
f (x)
o
x
F x C.
x
3.1.2 基本积分公式
实例
x 1
x
xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示能否根据求导公式得出积分公式？
性质
1
d dx
f
( x)dx
f (x),
d f (x)dx
f (x)dx,
2 F(x)dx F(x) C, dF ( x) F ( x) C.
第3章一元函数积分学
3.1 不定积分 3.2 定积分 3.3 广义积分 3.4 定积分的应用
d y f '(x)d x
3.1 不定积分
问题的提出
我们知道
x1
1
反之， x ?
x
x
x1
1
本章所讲的内容就是导数的逆运算
3.1 不定积分
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的性质 3.1.4 换元积分法
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
3.1.3 不定积分的性质
在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
x
ln x是1 在区间(0,) 内的原函数. x
问题：
(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C 为任意常数）
(4)
1
1 x2dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
1.第一类换元法
2.第二类换元法 3.1.5 分部积分法 3.1.6 有理函数的不定积分 3.1.7 积分表的使用
ห้องสมุดไป่ตู้
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义3- 如果在区间 I 内，可导函数F ( x)的导函数 1 为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)，或
dF ( x) f ( x)dx，则函数F ( x)就称为 f ( x)
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
F ( x) G( x) F( x) G( x)
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线.
求不定积分得到一积分曲线族.
不定积分的几何意义
不定积分的几何意义是一族积分曲线, 这族曲线满足：在横坐标相同的点处,这些积分曲线的切线有相同的斜率,故这些切线都是平行的.
例7 求积分 tan2 xdx
解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx
tan x x C
例8
求积分
x4
1
x2
dx
解
1
x4 x2
dx
(x2
1)(x2 1) 1 x2
1
dx
x2
1
1 1 x2
dx
x2dx
dx
1
1 x2
dx
x3 x arctan x C
例5 求积分
3
1
x2
2 1
x2
dx
解
3
2
1
x2
1
x2
dx
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6 求积分 ex 3cos x dx 解 ex 3cos x dx
exdx 3 cos xdx
e x 3sin x C
被积表达
式
积分变量
积分常量
注1 若已知F (x)是f (x)在区间I中的一个原函数,
则有
f x dx F x C.
注2不定积分和原函数是总体与个体的关系.
不定积分是一个集合，原函数则是该集
合中的一个元素.
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本积
(2) xdx x1 C ( 1); 1
分公式
(3)
1 x
dx
ln
x
C
说明： x
x
0,
0,
dx x
[ln( x)]
ln x 1
C, ( x)
1
,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx ln | x | C, x
6
例2
求
1
1 x2
dx
解
arctan
x
1 1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
3
例9
求积分
1 dx cos2 x sin2 x
解：
cos2
1 x sin2
dx x
cos2 x sin2 x dx