2018-2019年高中数学苏教版选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语 章末复习提升PPT课件
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【高考数学】2018版高中数学苏教版选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语 1.1.2 第2课时 充分条件(考点汇总)
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题型探究
重点突破
题型一
充要条件的判断
例1
充要 条件 .( 填 “ 充分不必 (1)“x ＝ 1” 是 “x2 － 2x ＋ 1 ＝ 0” 的 ______
要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 解 x2 － 2x＋ 1 ＝ 0 得 x ＝ 1 ，所以 “x＝ 1” 是 “x2 － 2x＋ 1 ＝ 0” 的
答案
知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四 种情形：
原命题 逆命题
真 真 假 假 真 假 真 假
p与q的关系
p是q的充要条件
q是p的充要条件
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件
解析答案
1
2
3
4
5
2.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”， 充要 则α是β的__________ 条件.
解析
a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；
当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，
|a| 得 ＝ 2，∴a＝± 2.∴α 是 β 的充要条件. 2
解析 1 1 当 x>0，y<0 时，x>y 且x >y 成立，
x>0， ⇒ y<0.
x－y>0， 1 1 当 x>y 且x >y 时，得x－y <0， xy
所以p是q的充要条件.
解析答案
1
2
题型探究
重点突破
题型一
充要条件的判断
例1
充要 条件 .( 填 “ 充分不必 (1)“x ＝ 1” 是 “x2 － 2x ＋ 1 ＝ 0” 的 ______
要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 解 x2 － 2x＋ 1 ＝ 0 得 x ＝ 1 ，所以 “x＝ 1” 是 “x2 － 2x＋ 1 ＝ 0” 的
答案
知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四 种情形：
原命题 逆命题
真 真 假 假 真 假 真 假
p与q的关系
p是q的充要条件
q是p的充要条件
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件
解析答案
1
2
3
4
5
2.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”， 充要 则α是β的__________ 条件.
解析
a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；
当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，
|a| 得 ＝ 2，∴a＝± 2.∴α 是 β 的充要条件. 2
解析 1 1 当 x>0，y<0 时，x>y 且x >y 成立，
x>0， ⇒ y<0.
x－y>0， 1 1 当 x>y 且x >y 时，得x－y <0， xy
所以p是q的充要条件.
解析答案
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高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测苏教版选修1-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测苏教版选修1-1的全部内容。
第一章常用逻辑用语（时间：120分钟;满分:160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．给出命题：若函数y＝f（x)是幂函数，则函数y＝f(x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．答案：12．下列命题中，真命题是________．①∃x0∈R，e x0≤0;②∀x∈R,2x>x2;③a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1；④a〉1,b〉1是ab>1的充分条件．解析：因为∀x∈R，e x>0,故排除①；取x＝2，则22＝22，故排除②；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出ab＝－1,故排除③;应填④。
答案:④3．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是________．解析：命题的条件为“x2≥1”,结论为“x≥1或x≤－1”，否定结论作条件，否定条件作结论,即为其逆否命题．答案：若－1<x〈1,则x2<14．下列命题：①G＝错误!（G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件;②若角α，β满足cos αcos β＝1,则sin(α＋β)＝0;③若不等式|x－4｜〈a的解集非空，则必有a〉0；④函数y＝sin x＋sin ｜x｜的值域是[－2,2］．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上）．解析：当G＝错误!（G≠0）时，有G2＝ab,所以a,G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－ab，所以G＝ab（G≠0)是a，G,b成等比数列的充分不必要条件，故①正确；当cos αcos β＝1时,有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1,即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z），β＝2k4π(k4∈Z),这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z）或α＋β＝2（k3＋k4)π(k3，k4∈Z），必有sin(α＋β）＝0，故②正确;由于｜x－4｜的最小值等于0,所以当a≤0时，不等式｜x－4|<a的解集是空集，如果不等式|x－4|〈a的解集非空，必有a〉0，故③正确；函数y＝sin x＋sin |x|＝错误!，所以该函数的值域为［－2，2]，故④正确．答案：①②③④5．给出命题:①∀x∈(－∞,1)，使x3<1；②∃x∈Q,使x2＝2；③∀x∈N，有x3〉x2；④∀x∈R,有x2＋4〉0.其中的真命题是________（填序号)．解析:方程x2＝2的解只有无理数x＝±错误!,所以不存在有理数x使得方程x2＝2成立,故②为假命题；比如存在x＝0，使得03＝02，故③为假命题,①④显然正确．答案：①④6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件．解析:x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能推出x∈A.答案：必要不充分7．“a＝错误!"是“对任意的正数x，2x＋错误!≥1"的________条件．解析:a＝错误!⇒2x＋错误!＝2x＋错误!≥2错误!＝1，另一方面对任意正数x,2x＋错误!≥1只要2x＋错误!≥2错误!＝2错误!≥1⇒a≥错误!。
(江苏专用)2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语阶段复习课课件苏教版选修1_1
【答案】 (1)必要不充分 (2)既不充分也不必要
[跟踪训练] 2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ________条件. 【导学号：95902051】
【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直
线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是 “点P(x，y)在直线l上”的充分不必要的取值范围
解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p，q分别为 真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p，q的 真假情况确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用
【答案】 充分不必要条件
全称命题与存在性命题
1.求一个命题否定的方法： (1)确定命题是全称命题还是存在性命题； (2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量 词． (3)否定结论． (4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸 显命题的特征． (5)要理解并熟记常用关键词的否定形式．
【规范解答】 命题．
(1)﹁p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．﹁p为真
(2)﹁p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故﹁p为假命题． (3)﹁p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.﹁p为真命题．
﹁ 2 (4)﹁p：∃x0，y0∈R，x2 ＋ y ＋ 2 x － 4 y ＋ 5 ≠ 0. p为真命题． 0 0 0 0
[跟踪训练] 1 2 1 3．在下列四个命题：①∀x∈R，x ＋x＋3＞0；②∀x∈Q， 3 x ＋ 2 x＋1是
2
有理数；③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0 ＝10. 其中真命题的个数是________. 【导学号：95902052】
高中数学苏教版选修1-1课件第1章 常用逻辑用语1.3精选ppt课件
(2)“∃x∈[1,2]，a＝x2”的含义是方程 x2－a＝0 在[1,2]内有实数根，也就是 函数 y＝x2，x∈[1,2]和函数 y＝a 的图象有交点，因为 x∈[1,2]，所以 x2∈[1,4]，所 以 a 的取值范围是 1≤a≤4.
探究 2 (1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？ (2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求 出 a 的取值范围. 【提示】 (1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的 x， 不等式 a＜x2 都恒成立，所以 a 要小于 x2 的最小值.因为 x∈[1,2]，所以 x2∈[1,4]， 所以 a＜1； (2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是在[1,2]内至少有一个 x ，使不等式 a＜x2 成 立，此时只要 a 不大于 x2 的最大值即可.因为 x∈[1,2]，所以 x2∈[1,4]，所以 a≤4.
【解】 (1)∀x∈R，|x|≥0. (2)∃(x，y)∈R，x2＋y2＜1. (3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
含有量词的命题的真假判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞0 且 a≠1，则∃x0∈R，ax0＞0； (2)∀x∈R，都有 x2－x＋1>12； (3)∃x0，y0∈N，使 2x0＋y0＝3. 【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.
(3)命题“∃x0∈R，lg x0<1”是存在性命题，当 x＝1 时，lg x＝0，故是真命题； (4)命题“∃x0∈R，tan x0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真 命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0. 【精彩点拨】 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对 量词和结论两个方面进行否定.
探究 2 (1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？ (2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求 出 a 的取值范围. 【提示】 (1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的 x， 不等式 a＜x2 都恒成立，所以 a 要小于 x2 的最小值.因为 x∈[1,2]，所以 x2∈[1,4]， 所以 a＜1； (2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是在[1,2]内至少有一个 x ，使不等式 a＜x2 成 立，此时只要 a 不大于 x2 的最大值即可.因为 x∈[1,2]，所以 x2∈[1,4]，所以 a≤4.
【解】 (1)∀x∈R，|x|≥0. (2)∃(x，y)∈R，x2＋y2＜1. (3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
含有量词的命题的真假判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞0 且 a≠1，则∃x0∈R，ax0＞0； (2)∀x∈R，都有 x2－x＋1>12； (3)∃x0，y0∈N，使 2x0＋y0＝3. 【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.
(3)命题“∃x0∈R，lg x0<1”是存在性命题，当 x＝1 时，lg x＝0，故是真命题； (4)命题“∃x0∈R，tan x0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真 命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0. 【精彩点拨】 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对 量词和结论两个方面进行否定.
2018学年高中数学选修1-1课件：第1章 常用逻辑用语1.2001 精品
特别提醒：在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件 时，要注意 A⊆B 与 A B 对结果的影响是不一样的．
1．(1)已知p：x2－x－2<0，q：x(x－3)<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充x2－2x－3<0”是“x<3”的( )
0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是
a>0，
f0<0
或 a<0， f0>0
⇔a>0， 1<0
或a<0 1>0
⇔a<0.
又因为{a|a<－1} {a|a<0}，故选 C.
答案： C
直接找充分不必要条件较困难，可以先求出 方程有一个正根和一个负根的充要条件，再用集合法确定正确 答案．
2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1 的实数根的充要条件．
答案：
⇒⇔
4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(在“充分不 必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充 分也不必要条件”中选一个作答)
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
3．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是 N的充分条件，求a的取值范围．
解析： 由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1<x<a＋1. 则M＝{x|a－1<x<a＋1}， 又由x2－5x－24<0得－3<x<8. 则N＝{x|－3<x<8}． ∵M是N的充分条件，∴M⊆N，
2019-2018-2019数学苏教版选修1-1课件：第1章1.2 简单的逻辑联结词-文档资料
因为 p 或 q 为真，p 且 q 为假， 所以 p、q 一真一假， 当 p 真 q 假时， 由mm≥≥32或m≤1 ，得 m≥3. 当 p 假 q 真时， 由m<2 ，得 1<m<2.
3．给定下列命题：p：0 不是自然数，q： 2是无理数，在命 题“綈 p”、“綈 q”、“p∧q”、“p∨q”中，真命题是 _綈__p_，__p_∨__q_____． 4．“p是假命题”是“p或q为假命题”的_必__要__不__充__分__条件.
含有逻辑联结词的命题的构成
写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p” 形式的新命题． (1)p：π是无理数；q：e不是无理数； (2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋ 2x＋1＝0的两根的绝对值相等； (3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． (链接教材P10例2)
含逻辑联结词的命题真假的判断
判断下列命题的真假． (1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3； (3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧． (链接教材P10例3)
[解] (1)这个命题是p或q的形式，其中p：相似三角形周长相 等，q：相似三角形对应角相等,因为p假q真,所以p或q为真， 即原命题为真命题． (2)这个命题是非p的形式，其中p：9的算术平方根是－3，因 为p假，所以非p为真，即原命题为真命题． (3)这个命题是p且q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这 条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q真，所以p且q为真，即原命题为真命题．
求参数的取值范围
已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增， q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p 且q为假，求m的取值范围．
【高考数学】2018版高中数学苏教版选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语 §1.2 简单的逻辑联结词(考点汇总)
答案 命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又
否定命题的结论.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1 真假.
p∧q命题及p∨q命题
分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
解 p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数； ∵p真，q假，∴p∧q为假. p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数； ∵p真，q假，∴p∨q为真.
自主学习
知识点一 记作p∧q .
且
“p且q”就是用联结词“且 ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题， 知识点二 或
“p或q”就是用联结词“ 或 ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题， 记作 p∨q . 知识点三 非
一般地，对一个命题p 全盘否定 ，就得到一个新命题，记作綈p，读作
“ 非p ”或“ p的否定 ”.
解析答案
(4)p：5不是75的约数.
题型三
例3
p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用
已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：
关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为
真命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题 q：
方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实
数a的取值范围.
解析答案
思想方法
分类讨论思想的应用 已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命
否定命题的结论.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1 真假.
p∧q命题及p∨q命题
分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
解 p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数； ∵p真，q假，∴p∧q为假. p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数； ∵p真，q假，∴p∨q为真.
自主学习
知识点一 记作p∧q .
且
“p且q”就是用联结词“且 ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题， 知识点二 或
“p或q”就是用联结词“ 或 ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题， 记作 p∨q . 知识点三 非
一般地，对一个命题p 全盘否定 ，就得到一个新命题，记作綈p，读作
“ 非p ”或“ p的否定 ”.
解析答案
(4)p：5不是75的约数.
题型三
例3
p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用
已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：
关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为
真命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题 q：
方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实
数a的取值范围.
解析答案
思想方法
分类讨论思想的应用 已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命
高中数学苏教版选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语 1.1.2 第1课时 充分条件和必要条件PPT课件
自主学习
知识点
充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时， 我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 充分条件，q是p的 必要条件 . (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是 说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分 条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.反思与感悟解析答案
跟踪训练1 解
指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. 在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC， 所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. 解 对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8， 所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6， 故p是q的充分条件.
∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0.
当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5.
∴x2－7x＋10＝0⇒ / x＝2.
∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分不必要条件.
解析答案
1
2
3
4
5
必要不充分 条件. 2.“x<2”是“x2－x－2<0”的___________
解析
∵x＝－2时，x2－x－2＝4>0，
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a ≥1 ， 当 q 为真，p 为假时有： 所以 a>2， a>2或a<－2，
综上所述，－2≤a<1或a>2.
解析答案
2.分类讨论思想
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关
键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这
章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行
解析答案
故原命题为假.跟踪训练1源自下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)；
解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的
距离等于r， |c| 2 2 2 2 即 r＝ 2 ，所以 c ＝ ( a ＋ b )r ； 2 a ＋b
例4
设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的
0<m<1， 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得 2m＋1>1，
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方法总结
思想构建
1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
第1章
常用逻辑用语
章末复习提升
栏目 索引
知识网络 要点归纳 方法总结
整体构建 主干梳理 思想构建
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要点归纳
主干梳理
1.要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换.
2. 正确理解 “ 或 ” 的意义，日常用语中的 “ 或 ” 有两类用法：其一是
“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可
兼”的“或”.
3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.
4.常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为
否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”
来表示.
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述 方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形 式再判断.
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
|c| 2 2 2 则 2 2＝r 成立，说明圆 x ＋y ＝r 与直线 ax＋by＋c＝0 相切， a ＋b
故p是q的充要条件.
解析答案
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.
解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2.
∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.
2 x －x－6≤0， －2≤x≤3， 由 2 解得 即2<x≤3. x ＋2x－8>0， x<－4或x>2.
所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 1<x<3， 若 p∧q 为真，则 ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3). 2<x≤3
x＋a 数 g(x)＝ 在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， x－2 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从 而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条 件的判定上.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则AB. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
解析答案
跟踪训练 2
命题 p ： ∀x∈R ， x2 ＋ 1>a ，命题 q ： a2 － 4>0 ，若 p∨q 为真，
p∧q为假，求实数a的取值范围.
解 若p为真命题，则a<1；
若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2.
由已知条件知：p与q一真一假，
a<1， 当 p 为真，q 为假时有： 所以－2≤a<1， －2≤a≤2，
解析答案
例2
设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
2 x －x－6≤0， 满足 2 x ＋2x－8>0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； 解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3
已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；
q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q
为假，求a的取值范围.
解析答案
跟踪训练 3
命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函
例1 判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； 解 该命题的逆否命题： “ 若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相 等”，它为真命题，故原命题为真. (2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B； 解 该命题的逆否命题： “若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题， 故原命题为假. (3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|. 解 该命题的逆否命题： “若|x|＝ |y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，
综上所述，－2≤a<1或a>2.
解析答案
2.分类讨论思想
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关
键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这
章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行
解析答案
故原命题为假.跟踪训练1源自下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)；
解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的
距离等于r， |c| 2 2 2 2 即 r＝ 2 ，所以 c ＝ ( a ＋ b )r ； 2 a ＋b
例4
设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的
0<m<1， 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得 2m＋1>1，
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方法总结
思想构建
1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
第1章
常用逻辑用语
章末复习提升
栏目 索引
知识网络 要点归纳 方法总结
整体构建 主干梳理 思想构建
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要点归纳
主干梳理
1.要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换.
2. 正确理解 “ 或 ” 的意义，日常用语中的 “ 或 ” 有两类用法：其一是
“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可
兼”的“或”.
3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.
4.常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为
否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”
来表示.
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述 方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形 式再判断.
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
|c| 2 2 2 则 2 2＝r 成立，说明圆 x ＋y ＝r 与直线 ax＋by＋c＝0 相切， a ＋b
故p是q的充要条件.
解析答案
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.
解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2.
∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.
2 x －x－6≤0， －2≤x≤3， 由 2 解得 即2<x≤3. x ＋2x－8>0， x<－4或x>2.
所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 1<x<3， 若 p∧q 为真，则 ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3). 2<x≤3
x＋a 数 g(x)＝ 在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， x－2 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从 而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条 件的判定上.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则AB. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
解析答案
跟踪训练 2
命题 p ： ∀x∈R ， x2 ＋ 1>a ，命题 q ： a2 － 4>0 ，若 p∨q 为真，
p∧q为假，求实数a的取值范围.
解 若p为真命题，则a<1；
若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2.
由已知条件知：p与q一真一假，
a<1， 当 p 为真，q 为假时有： 所以－2≤a<1， －2≤a≤2，
解析答案
例2
设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
2 x －x－6≤0， 满足 2 x ＋2x－8>0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； 解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3
已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；
q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q
为假，求a的取值范围.
解析答案
跟踪训练 3
命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函
例1 判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； 解 该命题的逆否命题： “ 若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相 等”，它为真命题，故原命题为真. (2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B； 解 该命题的逆否命题： “若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题， 故原命题为假. (3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|. 解 该命题的逆否命题： “若|x|＝ |y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，