广东省深圳高级中学2012届高三上学期第三次月考文科数学

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广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 若直线与圆相切，则等于（）A．B．C．D．2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（）A．B．C．D．3.公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（）A．B．C．D．4.在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C 在第一象限的交点为A，直线与C 的左支交于点B ，且．设C 的离心率为e ，则（）A．B．C．D．6. 已知集合，则集合A 的子集个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．87. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-28. 数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知直线，，则（）A．直线过定点B ．当时，C ．当时，D ．当时，之间的距离为10. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A ．甲种的样本极差小于乙种的样本极差广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D ．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数11.已知复数，则下列各项正确的为（）A ．复数的虚部为B ．复数为纯虚数C ．复数的共轭复数对应点在第四象限D ．复数的模为512.如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（）A．B ．若点与点重合，则直线过定点C ．若平面与平面所成角为，则的最大值为D ．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为13. 函数的最小值为______.14. 若实数，满足，则的最小值为__________.15. 幂函数在上为单调递增的，则______.16. 2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.(1)求的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．17. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．18. 如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.（1）求证：；（2）若四边形为正方形，求二面角的余弦值.19. 函数（1）若方程无实根，求实数的取值范围；（2）记的最小值为.若，，且，证明：.20. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.21. 设函数 .(1)求函数的最小正周期及其对称中心；(2)求函数在上的值域.。

广东省深圳高级中学北校区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

广东省深圳高级中学北校区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题一、单选题1．一天早晨的气温是7-℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，半夜的气温是（） A ．9-℃B ．5-℃C ．5℃D ．11℃2．下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．一元一次不等式423x +≥的解集是（） A ． B ．C ．D ．4．某高速（限速120km/h ）某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118,106,105,120,118,112（单位：km/h ），则这组数据的中位数为（）A ．115B ．116C ．118D ．1205．下列运算正确的是（） A ．()326a a -=B ．()236a a -=-C ．()326326a b a b =D ．()22439b b -=6．一块含30︒角的直角三角板和直尺如图放置，若1145∠=︒，则2∠的度数为（）A ．63︒B ．64︒C ．65︒D ．66︒7．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x 元，则下列方程正确的是（） A ．20000200002050x x -=+ B ．20000200002050x x -=- C ．20000200002050x x -=+ D ．20000200002050x x -=- 8．如图分别是2个高压电塔的位置．已知电塔,A B 两点水平之间的距离为80米（80m AC =），BAC α∠=，则从电视塔A 到B 海拔上升的高度（BC 的长）为（）A ．80tan αB ．80tan αC ．80sin αD ．80sin α9．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且EF ＝2AE ＝2CF ，连接DE 并延长交AB 于点M ，连接DF 并延长交BC 于点N ，连接MN ，则AMDMBNS S =△△（）A ．34B ．23C ．1D ．12二、填空题11．分解因式：32a 4ab -=．12．已知方程2230x mx -+=的一个根是-1，则m 的值是．13．如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 分别交BC AB 、于点D 和点E ，若6AC =，10BC =，则ADC △的周长为．14．如图，正方形ABCD 放置在直角坐标系中，反比例函数()0ky k x=≠经过A 点和边CD 的中点E ，已知()0,2B ，则k 的值为．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，12AE BE =，连接DE ，F 是BC 上一点，且30DEF ∠=︒，3sin 5EDF ∠=，则BCAB =．三、解答题16．计算：11(2)4sin 453π-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭17．先化简，再求值：21816134x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中=1x -．18．某校开展了中国传统文化知识的宣传活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)a＝，b＝，c＝；(2)补全条形统计图；(3)在“优秀”中有甲乙丙丁四个人，随机抽2人恰好抽到甲乙2人的概率是________；(4)该学校共有1200名学生，估计测试成绩等级在良好及以上（包括良好）的学生约有多少人？19．某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．(1)求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？(2)该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？20．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC，∠=∠．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，CAB BCPe的切线；(1)求证：PC为O(2)作CPB∠的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若30CPB ∠=︒，3NC =，求MN =_______． 21．根据以下索材，探索完成任务．球或使用其他内．如果球落在边界之外，则发球失分．在接发球时，球员必须站在自对方的前边8.6822．在四边形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将ABEV沿AE翻折得到AFE△，AF落在对角线AC上．将AEC△绕点A旋转，使得AC落在直线AD上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形ABCD是正方形，且旋转角小于90︒时，会有CEF MNDV V≌，请你证明这个结论；(2)【再探特例】如图2，当四边形ABCD是菱形，且旋转角小于90︒时，若602BAD BE∠=︒=，．连接DF交AN于点G．求DG的长；(3)【拓展应用】如图3，当四边形ABCD是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为35时，请直接写出BECE的值．。

广东省东莞市2012年普通高中高三二模(文数)

东莞市2012届高三文科数学模拟试题(二)命题人：东莞实验中学隋传胜老师审稿人：东莞高级中学张志峰老师参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．已知全集U=R ，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=A ．[1,)+∞B ．()1+∞，C ．[0)∞，+D ．()0∞，+ 2．设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b=A ．2B ．－2C ．－1D ．1 3．抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为 A.16 B.19 C. 112 D.1184.在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += A ．95 B ．100 C ．135 D ．805．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且222b c a +=，则A ∠等于 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π6．已知直线l m n ，，及平面α，下列命题中是假命题的是 A ．若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n ； B ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n . C ．若l m ⊥，m ∥n ，则l n ⊥； D ．若,l n α⊥∥α，则l n ⊥；7．在边长为1的等边△ABC 中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则A ．32 B ．0 C ．32- D ．3 8.已知函数2()f x x x c =++，若(0)f ＞0，()f p ＜0，则必有A ．(1)f p +＞0B ．(1)f p +＜0C ．(1)f p +=0D ．(1)f p +的符号不能确定9．曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为ABCD10．对于函数①()|2|f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A ．①② B ．①③ C ．② D ．③二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能做一题，两题全答的，只计算14题的得分.）（一）必做题（11～13题）11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 .12.设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 . 13、如图所示，这是计算111124620++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于,B C 两点2AC =,120PAB ∠=，则圆O 的面积为．13题图PABOC15、（坐标系与参数方程选做题）极坐标系内，点(2,)2π关于直线cos 1ρθ=的对称点的极坐标为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16、（本题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+ ，(cos sin ,2cos )b x x x =- ，设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.17.(本题满分12分) 设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为S n ,若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值。

2022届广东省深圳第三高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(9月份)(学生版+解析版)

2022届广东省深圳第三高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设A ={y|y =√1+x 2}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（） A ．{x |x ＞﹣1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{x |﹣1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}2．（5分）复数z 满足（1+i ）•z ＝1﹣i 2025，则z 的虚部为（） A ．iB ．﹣1C ．﹣iD ．13．（5分）下列说法中有错误的个数是（） ①垂直于同一个平面的两条直线平行；②若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直； ③一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行； ④一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（5分）已知函数f(x)=2sinωx +2√3cosωx(ω＞0)的图像相邻的对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f （x ）的图像向左平移π12个单位后，得到函数g （x ）的图像，则函数g （x ）在[−π6，π3]上的最大值为（） A ．4B ．2√3C ．2√2D ．25．（5分）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，则|BF||AF|的值是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．（5分）已知α∈（−π2，0），2sin2α+1＝cos2α，则1−tan α21+tanα2=（）A ．2±√5B ．3+√5C ．2+√5D ．2+√67．（5分）若实数a ，b 满足ln(2a)−lnb ≥a 2+1b2−1，则a +b ＝（）A ．√22B ．√2C ．3√22D ．2√28．（5分）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中i ＝2，3，4）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量ξi （其中i ＝2，3，4），则有（）A ．E （ξ2）+2E （ξ4）＜3E （ξ3）B ．E （ξ2）+2E （ξ4）＞3E （ξ3）C ．2E （ξ2）+E （ξ4）＜3E （ξ3）D ．2E （ξ2）+E （ξ4）＞3E （ξ3）二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，苏州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位苏州市居民，他们的幸福感指数见表，则下列说法正确的有（） 34456667777888889910 10A ．这组数据的平均数为7B ．这组数据的标准差为3.6C ．这组数据的众数为8D ．这组数据的第80百分位数是810．（5分）在△ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（） A ．满足|OA →|=|OB →|=|OC →|，则点O 是△ABC 的外心 B ．满足NA →+NB →+NC →=0→，则点N 是△ABC 的重心C ．满足PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →，则点P 是△ABC 的垂心D ．满足(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，且AB→|AB →|⋅AC→|AC →|=12，则△ABC 为等边三角形11．（5分）过点P （3，4）作圆C ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是（） A ．|AB|=2√215B ．AB 所在直线的方程为3x +4y ﹣4＝0C ．四边形P ACB 的外接圆方程为x 2+y 2﹣3x ﹣4y ＝0D ．△P AB 的面积为42√212512．（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3+√3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A．与AB所成的角是60°的棱共有8条B．AB与平面BCD所成的角为30°C．二面角A﹣BC﹣D的余弦值为−√33D．经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为2π三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）=sinx(x+1)(x−a)为奇函数，则a＝．14．（5分）已知两点F、Q分别是焦距为4√6的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点及左支上一动点，单位圆与y轴的交点为P，且|PQ|+|QF|+|PF|≥13，则双曲线C的离心率的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）={13x3−ax+1，0≤x＜1alnx，x≥1，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是．16．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九…”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒a0（a0＞3）升，将李白在第n（n≥1，n∈N°）家店饮酒后所剩酒量记为a n升，则a n＝（用a0和n表示）．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足a n a n+1＝22n，a1＝1．（1）求a2n；（2）求满足a 1+a 2+⋯+a 2n ＜2022的最大的正整数n 的值．18．某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．（1）若小明先进行定点投篮考核，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由． 19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos （A ﹣C ）+cos B =32，设m →=（b ，c ），n →=（a ，b ）且m →∥n →．（1）求角B 的大小，并证明A ＝C ；（2）延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S =√3，求AD 的长． 20．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，侧面P AC 是等边三角形，AB ⊥BC ，P A ＝PB ．（1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若AC ＝2AB ，点M 在棱PC 上，且二面角M ﹣AB ﹣C 的大小为45°，求PM PC．21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，1），椭圆C 的离心率e =√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B （3，0）且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN ，分别与直线x ＝﹣3分别交于P ，Q ，记点P ，Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p +q 的值．22．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣ax +1．（Ⅰ）若f （x ）存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x 0是f （x ）的零点，求证：3x 0−2x 02≤a ＜e x 0−1x 02．2022届广东省深圳第三高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设A={y|y=√1+x2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣1＜x≤1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：∵A={y|y=√1+x2}={y|y≥1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴（∁R A）∩B＝（﹣∞，1）∩（﹣1，2）＝（﹣1，1），故选：C．2．（5分）复数z满足（1+i）•z＝1﹣i2025，则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．﹣i D．1【解答】解：∵i2025＝i2024•i＝i，∴z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，∴z=i，故z的虚部为1．故选：D．3．（5分）下列说法中有错误的个数是（）①垂直于同一个平面的两条直线平行；②若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直；③一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行；④一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，故①对；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，故②对；一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面可能平行，相交，故③错；一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面可能垂直，平行，相交，故④错，故选：B ．4．（5分）已知函数f(x)=2sinωx +2√3cosωx(ω＞0)的图像相邻的对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f （x ）的图像向左平移π12个单位后，得到函数g （x ）的图像，则函数g （x ）在[−π6，π3]上的最大值为（） A ．4B ．2√3C ．2√2D ．2【解答】解：函数f(x)=2sinωx +2√3cosωx(ω＞0)，＝4sin （ωx +π3），由于函数的图像相邻的对称轴之间的距离为π2，所以函数的最小正周期为π，故ω＝2．将函数y ＝f （x ）＝4sin （2x +π3）的图象向左平移π12个单位后，得到函数g （x ）＝4sin （2x +π2）＝4cos2x 的图象，由于x ∈[−π6，π3]，所以：2x ∈[−π3，2π3]，当x ＝0时，函数的最大值为4．故选：A ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，则|BF||AF|的值是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：由题意知，p ＝2，则F （1，0），准线为直线x ＝﹣1，过A ，B 分别作AM ，BN 垂直准线于M ，N ，则有|BF |＝|BN |，|AF |＝|AM |，因为|BC |＝2|BF |，所以|BC |＝2|BN |，所以|BC||CF|=23，所以|BN|p=23，所以|BN |＝|BF |=43，|BC |=83，所以|CF |＝4，因为p |AM|=|CF||CA|，所以2|AM|=|CF||CF|+|AF|=44+|AF|=44+|AM|，解得|AM |＝4，|AF |＝4，所以|BF||AF|=434=13，故选：B ．6．（5分）已知α∈（−π2，0），2sin2α+1＝cos2α，则1−tanα21+tanα2=（）A ．2±√5B ．3+√5C ．2+√5D ．2+√6【解答】解：因为α∈（−π2，0），α2∈（−π4，0），所以tan α2＜0，sin α＜0，因为2sin2α+1＝cos2α，所以4sin αcos α+1＝1﹣2sin 2α，即tan α＝﹣2，又tan α=2tan α21−tan 2α2=−2，解得tanα2=1−√52，tanα2=1+√52（舍），则1−tanα21+tanα2=1−1−√521+1−√52=√53−√5=2+√5．故选：C ．7．（5分）若实数a ，b 满足ln(2a)−lnb ≥a 2+1b2−1，则a +b ＝（）A ．√22B ．√2C ．3√22D ．2√2【解答】解：令g （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，x ∈（0，+∞），则g ′（x ）＝1−1x=x−1x，令g ′（x ）＞0，解得：x ＞1，令g ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，故g （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴g （x ）≥g （1）＝1﹣ln 1﹣1＝0， ∴x ﹣1≥lnx 当x ＝1时“＝”成立， ∵a 2+1b2−1≥2√a 2b2−1=2a b −1当且仅当a =1b 时“＝”成立，又∵2a b −1≥ln2a b=ln （2a ）﹣lnb ，∴a 2+1b2−1≥ln （2a ）﹣lnb ，当且仅当a =1b ①，2a b=1②时“＝”成立，由①②得：a =√22，b =√2，则a +b =3√22，故选：C ．8．（5分）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中i ＝2，3，4）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量ξi （其中i ＝2，3，4），则有（）A ．E （ξ2）+2E （ξ4）＜3E （ξ3）B ．E （ξ2）+2E （ξ4）＞3E （ξ3）C ．2E （ξ2）+E （ξ4）＜3E （ξ3）D ．2E （ξ2）+E （ξ4）＞3E （ξ3）【解答】解：选择情况共有情况：C 41+C 42+C 43+C 44=15．①i ＝2时，ξ2的取值为0，3，5，∴P （ξ2＝5）=C 2215=115，P （ξ2＝3）=C 2115=215，P （ξ2＝0）＝1﹣P （ξ2＝5）﹣P （ξ2＝3）＝1−115−215=45．∴E（ξ2）＝5×115+3×215+0×45=1115．②i＝3时，ξ3的取值为0，3，5，∴P（ξ3＝5）=C3315=115，P（ξ3＝3）=C31+C3215=615=25，P（ξ3＝0）＝1﹣P（ξ3＝5）﹣P（ξ3＝3）＝1−115−615=815．E（ξ3）＝5×115+3×25+0×815=2315．③i＝4时，ξ4的取值为3，5，∴P（ξ4＝5）=C4415=115，P（ξ4＝3）=C41+C42+C4315=1415．E（ξ4）＝5×115+3×1415=4715．∴E（ξ2）+2E（ξ4）=1115+2×4715=7，3E（ξ3）＝3×2315=235=4.6，∴E（ξ2）+2E（ξ4）＞3E（ξ3），其余经过验证不正确，因此只有B正确．故选：B．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，苏州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位苏州市居民，他们的幸福感指数见表，则下列说法正确的有（）3445666777788888991010 A．这组数据的平均数为7B．这组数据的标准差为3.6C．这组数据的众数为8D．这组数据的第80百分位数是8【解答】解：对于A，x=120×(1×3+2×4+5+⋅⋅⋅+10×2)=7，故A正确，对于B，s2=120[(3−7)2+2×(4−7)2+（5﹣7）2+•+2×（10﹣7）2]＝3.6，故这组数据的标准差为√3.6，故B 错误，对于C ，∵8出现的次数最多， ∴这组数据的众数为8，故C 正确，对于D ，∵20×0.8＝16， ∴这组数据的第80百分位数是8+92=8.5，故D 错误．故选：AC ．10．（5分）在△ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（） A ．满足|OA →|=|OB →|=|OC →|，则点O 是△ABC 的外心 B ．满足NA →+NB →+NC →=0→，则点N 是△ABC 的重心C ．满足PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →，则点P 是△ABC 的垂心D ．满足(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，且AB→|AB →|⋅AC→|AC →|=12，则△ABC 为等边三角形【解答】解：对于A ，因为|OA →|=|OB →|=|OC →|，所以点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由NA →+NB →+NC →=0→得：2ND →=−NC →，所以|AN →|：|ND →|＝2：1，所以N 是△ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA →⋅PB →=PB →⋅PC →得：(PA →−PC →)⋅PB →=0，即AC →⋅PB →=0，所以AC ⊥PB ；同理可得：AB ⊥PC ，所以点P 是△ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ；由AB→|AB →|⋅AC→|AC →|=12得：cos A =12，所以A =π3，所以△ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．11．（5分）过点P （3，4）作圆C ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是（） A ．|AB|=2√215B ．AB 所在直线的方程为3x +4y ﹣4＝0C ．四边形P ACB 的外接圆方程为x 2+y 2﹣3x ﹣4y ＝0D ．△P AB 的面积为42√2125【解答】解：由题可得C （0，0），半径r ＝2，对A ：|CP |=√32+42=5，在Rt △CAP 中，cos ∠ACP =|CA||CP|=25，∴sin ∠ACP =√1−425=√215，∵AB ⊥CP ，∴sin ∠ACP =12|AB||AC|，∴|AB |＝2|CA |sin ∠ACP ＝2×2×√215=4√215，故A 错误；对B ：直线AB 可看作已知圆与以AP 为半径P 为圆心的圆的交线，x 2+y 2＝4的圆心（0，0），半径为2．|AP |=√CP 2−22=√52−22=√21，以AP 为半径P 为圆心的圆的方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝21，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y +4＝0，将两圆的方程相减得，6x +8y ＝8即3x +4y ﹣4＝0．∴直线AB 的方程是3x +4y ﹣4＝0，故B 正确；对C ：∵P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以四边形P ACB 的外接圆是以PC 为直径的圆，PC 的中点坐标（32，2），PC ＝5，所以四边形P ACB 的外接圆为（x −32）2+（y ﹣2）2=254，即x ²﹣3x +y ²﹣4y ＝0，故C 正确；对D ：点P 到AB 的距离d =√3+4=215，则S △P AB =12AB •d =12×215×4√215=42√2125，故D 正确．故选：BCD ．12．（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3+√3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A．与AB所成的角是60°的棱共有8条B．AB与平面BCD所成的角为30°C．二面角A﹣BC﹣D的余弦值为−√33D．经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为2π【解答】解：补全该半正多面体得到一个正方体，设正方体的棱长为a，由题意可知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，则由半正多面体的表面积为3+√3，所以8×√34×(√22a)2+6×(√22a)2=3+√3，解得a＝1，对于A，在于AB相交的6条棱中，与AB所成的角是60°的棱有4条，在这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是60°的棱共有16条，故选项A错误；对于B，因为AE⊥平面BCD，所以AB与平面BCD所成的角为∠ABE＝45°，故选项B错误；对于C，取BC的中点F，连接EF，AF，则AF⊥BC，EF⊥BC，所以二面角A﹣BC﹣D的补角为∠AFE，二面角A﹣BC﹣D的余弦值为﹣cos∠AFE，在Rt△AEF中，AE=12，EF=√24，AE⊥EF，所以AF=√AE2+EF2=√14+18=√64，则cos∠AFE=EFAF=√33，故﹣cos∠AFE=−√3 3，故选项C正确；对于D，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体体对角线的中点O，点O在平面ABE内的投影为O1，则OO1=12，AO1=12，所以AO =√OO 12−AO 12=√22，故经过点A ，B ，C ，D 四个顶点的球的半径为√22，所以球面面积为4π×(√22)2=2π，故选项D 正确．故选：CD ．三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f （x ）=sinx(x+1)(x−a)为奇函数，则a ＝ 1 ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）=sinx(x+1)(x−a)为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即sin(−x)(−x+1)(−x−a)=−sinx(x+1)(x−a)，变形可得a ＝1；故答案为：1．14．（5分）已知两点F 、Q 分别是焦距为4√6的双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点及左支上一动点，单位圆与y 轴的交点为P ，且|PQ |+|QF |+|PF |≥13，则双曲线C 的离心率的最大值为4√63．【解答】解：设F '为双曲线的左焦点，由双曲线的定义可得|QF |＝|QF '|﹣2a ，所以|PQ |+|QF |+|PF |＝|PQ |+2a +|QF '|+|PF |≥|PF '|+|PF |+2a由双曲线的对称性及圆的对称性可得|PF '|＝|PF |， |PQ |+|QF |+|PF |≥2|PF |+2a ，由题意可得2|PF |+2a ＝13，而由题意设P （0，1），F （2√3，0），所以|PF |=√(2√6)2+12=5，所以2×5+2a ＝13，所以2a ＝3，所以离心率e =2c2a =4√63，故答案为：4√63．15．（5分）已知函数f （x ）={13x 3−ax +1，0≤x ＜1alnx ，x ≥1，若f （x ）≥f （1）恒成立，则正实数a 的取值范围是（0，43] ．【解答】因为由f （x ）≥f （1）恒成立，又f （1）＝0，故f （x ）≥0恒成立．因为a ＞0，故当x ≥1时，f （x ）＝alnx 是增函数，所以f （x ）≥f （1）＝0成立；当0≤x ＜1时，f(x)=13x 3−ax +1≥0恒成立，此时f ′（x ）＝x 2﹣a ，故f （x ）在(0，√a)上单调递减，在（(√a ，+∞)上单调递增，当a ≥1时，f （x ）在[0，1）上单调递减，故13−a +1≥0，解得1≤a ≤43；当0＜a ＜1时，f(x)min =f(√a)=1−23a √a ＞0成立；综上可知，a 的取值范围是(0，43]．故答案为：（0，43]．16．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九…”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒a 0（a 0＞3）升，将李白在第n （n ≥1，n ∈N °）家店饮酒后所剩酒量记为a n 升，则a n ＝ 2n a 0+3（1﹣2n ）升（用a 0和n 表示）．【解答】解：李白在第n （n ≥1，n ∈N °）家店饮酒后所剩酒量记为a n 升，则第一家店饮酒后所剩酒量为a 1＝2a 0﹣3升，第二家店饮酒后所剩酒量为a 2＝2a 1﹣3＝2（2a 0﹣3）﹣3＝22a 0﹣3（1+2）升，第三家店饮酒后所剩酒量为a 3＝2a 2﹣3＝23a 0﹣3（1+2+22）升，第四家店饮酒后所剩酒量为a 4＝2a 3﹣3＝24a 0﹣3（1+2+22+23）升， …第n 家店饮酒后所剩酒量为a n ＝2a n ﹣1﹣3＝2n a 0﹣3（1+2+22+ (2)﹣1）＝2n a 0﹣3×1−2n1−2=2n a 0+3（1﹣2n ）升．故答案为：2n a 0+3（1﹣2n ）升．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{a n }满足a n a n +1＝22n ，a 1＝1．（1）求a 2n ；（2）求满足a 1+a 2+⋯+a 2n ＜2022的最大的正整数n 的值．【解答】解：（1）∵a n a n +1＝22n ，a 1＝1， ∴n ≥2时，a n ﹣1a n ＝22（n ﹣1），a n+1a n−1=4，n ＝1时，a 1•a 2＝22，解得a 2＝4，∴数列{a 2n }为等比数列，公比为4，首项为4， ∴a 2n ＝a 2•4n ﹣1＝4n ．（2）由（1）可得：a 2n ﹣1＝1×4n ﹣1＝4n ﹣1．∴a 1+a 2+⋯+a 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+…+a 2n ）=4n −14−1+4(4n −1)4−1=53（4n ﹣1）＜2022，可得：n ＜6，∴满足a 1+a 2+⋯+a 2n ＜2022的最大的正整数n 的值为5．18．某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．（1）若小明先进行定点投篮考核，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．【解答】解：（1）由已知可得，X 的所有可能取值为0，4，10，则P （X ＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P （X ＝4）＝0.8×（1﹣0.7）＝0.24，P （X ＝10）＝0.8×0.7＝0.56，所以X 的分布列为： X 0 4 10 P0.20.240.56（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由（1）可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的期望为E （X ）＝0×0.2+4×0.24+10×0.56＝6.56，若小明先进行三步篮考核，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，6，10，P （Y ＝0）＝1﹣0.7＝0.3，P （Y ＝6）＝0.7×（1﹣0.8）＝0.14，P （Y ＝10）＝0.7×0.8＝0.56，则Y 的期望为E （Y ）＝0×0.3+6×0.14+10×0.48＝5.64，因为E （X ）＞E （Y ），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行定点投篮考核．19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos （A ﹣C ）+cos B =32，设m →=（b ，c ），n →=（a ，b ）且m →∥n →．（1）求角B 的大小，并证明A ＝C ；（2）延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S =√3，求AD 的长．【解答】解：（1）证明：∵cos （A ﹣C ）+cos B =32， ∴cos （A ﹣C ）﹣cos （A +C ）=32，得：sin A sin C =34，由m →∥n →，得b 2＝ac ，由正弦定理得：sin A sin C ＝sin 2B ， ∴sin 2B =34，又∵sin B ＞0，∴sin B =√32，∴B ＝60°或120°，当B ＝120°时，cos （A ﹣C ）+cos120°=32，得：cos （A ﹣C ）＝2＞1，不成立，当B ＝60°时，cos （A ﹣C ）+cos60°=32，得：cos （A ﹣C ）＝1， ∵0＜A ＜2π3，0＜C ＜2π3， ∴−2π3＜A ﹣C ＜2π3，则A ﹣C ＝0，即A ＝C ，得证．（2）把B ＝60°代入cos （A ﹣C ）+cos B =32，得：cos （A ﹣C ）＝1， ∴A ＝C ，由上可知△ABC 中是等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∴∠ACD ＝120°，设AB ＝t ，∵△ACD 的面积S =√3，∴12t （5﹣t ）sin120°=√3，解得：t ＝1或4．当t ＝1时，AD =√12+52−2×1×5×12=√21，当t ＝4时，AD =√42+52−2×4×5×12=√21．故AD 的值为√21．20．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，侧面P AC 是等边三角形，AB ⊥BC ，P A ＝PB ．（1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若AC ＝2AB ，点M 在棱PC 上，且二面角M ﹣AB ﹣C 的大小为45°，求PM PC．【解答】解：（1）证明：取AC 的中点为O ，连接PO ，BO ，在等边△P AC 中，有PO ⊥AC ，在直角三角形ABC 中，有OA ＝OB ＝OC ，又P A ＝PB ＝PC ，所以△POA ≌△POB ≌△POC ，故∠POB ＝∠POA ＝90°，即PO ⊥OB ，又AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，则PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABC ；（2）不妨设P A ＝4，在直角三角形ABC 中，cos ∠CAB =AB AC =12，故∠CAB ＝60°，在底面ABC 内作OD ⊥AC ，由（1）可知，OD ，OC ，OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以A(0，−2，0)，B(√3，−1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2√3)，故AB →=(√3，1，0)，AC →=(0，4，0)，AP →=(0，2，2√3)，PC →=(0，2，−2√3)，设PM →=λPC →=(0，2λ，−2√3λ)(0≤λ≤1)，则AM →=AP →+PM →=(0，2(1+λ)，2√3(1−λ))，设平面MAB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AM →=0n →⋅AB →=0，即{2(1+λ)y +2√3(1−λ)z =0√3x +y =0，令x ＝λ﹣1，则y =√3(1−λ)，z ＝﹣1﹣λ，故n →=(λ−1，√3(1−λ)，−1−λ)，又OP →=(0，0，2√3)是平面ABC 的一个法向量，所以cos45°=|cos ＜OP →，n →＞|=|OP →⋅n →||OP →||n →|=|1+λ|√(λ−1)2+3(1−λ)2+(1+λ)2=√22，解得λ=13，故PM PC=13． 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，1），椭圆C 的离心率e =√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B （3，0）且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN ，分别与直线x ＝﹣3分别交于P ，Q ，记点P ，Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p +q 的值．【解答】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （2，1）且离心率e =√22，则{ 4a 2+1b 2=1，c a =√22，a 2=b 2+c2所以{a =√6b =√3c =√3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣3），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立方程{y =k(x −3)x 2+2y 2=6⇒x 2+2k 2(x 2−6x +9)−6=0，整理得：（1+2k 2）x 2﹣12k 2x +18k 2﹣6＝0，∴Δ＝（﹣12k 2）2﹣4（1+2k 2）（18k 2﹣6）＝24（1﹣k 2）＞0，解得﹣1＜k ＜1， ∴x 1+x 2=12k 21+2k 2，x 1⋅x 2=18k 2−61+2k 2，直线AM 方程为：y =y 1−1x 1−2(x −2)+1，令x =−3⇒p =−5(y 1−1)x 1−2+1，直线AN 方程为：y =y 2−1x 2−2(x −2)+1，令x =−3⇒q =−5(y 2−1)x 2−2+1，所以p +q =−5(y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2)+2=−5[k(x 1−3)−1x 1−2+k(x 2−3)−1x 2−2]+2 =−5[k(x 1−2)−k−1x 1−2+k(x 2−2)−k−1x 2−2]+2=−10k +5(k +1)⋅x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)+2 =−10k +5(k +1)⋅12k 21+2k 2−418k 2−61+2k 2−24k 21+2k 2+4+2=12．22．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣ax +1．（Ⅰ）若f （x ）存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x 0是f （x ）的零点，求证：3x 0−2x 02≤a ＜e x 0−1x 02．【解答】解：（Ⅰ）令f （x ）＝2lnx ﹣ax +1＝0，变形得a =2lnx+1x，…………………………………………2分令g(x)=2lnx+1x，问题转化成y ＝a 与g （x ）有交点．令g ′(x)=1−2lnx x 2=0，……4分解得x =√e ，则g （x ）在x ∈(0，√e)上单调递增，在x ∈(√e ，+∞)上单调递减，故g(x)max =g(√e)=2√e ，所以a ≤2√e．实数a 的取值范围(−∞，2√e e ]；…………………………………………………6分（Ⅱ）证明：由题意可得，f （x 0）＝2lnx 0﹣ax 0+1＝0，得a =2lnx 0+1x 0，要证3x 0−2x 02≤a ＜e x 0−1x 02 即证3x 0−2x 02≤2lnx 0+1x 0＜e x 0−1x 02(x 0＞0)．即证3x 0−2x 0≤2lnx 0+1＜e x 0−1x 0．……………8分先证3x 0−2x 0≤2lnx 0+1，只需证lnx 0+1x 0≥1，令t(x)=lnx +1x ，t ′(x)=x−1x 2．所以t （x ）在x ∈（0，1）上单调递减，在x ∈（1，+∞）上单调递增，故t （x ）min ＝t （1）＝1，所以t （x ）≥1，左边证毕．……………………………………10分再证2lnx 0+1＜e x 0−1x 0，方法一：令h（x）＝2lnx+1﹣x，ℎ′(x)=2−x x，所以h（x）在x∈（0，2）上单调递增，在x∈（2，+∞）上单调递减，故h（x）max＝h（2）＝2ln2﹣1；……………………………………………………12分令k(x)=e x−1x−x，k′(x)=xex−e x+1x2−1=(x−1)(x+1−ex)x2，k'（x）＝0，解得x＝1，所以k（x）在x∈（0，1）上单调递减，在x∈（1，+∞）上单调递增，故k（x）min＝k（1）＝e﹣2．……………………………………………14分因为e﹣2＞2ln2﹣1，所以h（x）＜k（x），即2lnx+1−x＜e x−1x−x，故2lnx0+1＜e x0−1x0，右边证毕．………………………………………………………15分方法二：由关于2lnx0+1＜e x0−1x0的证明（切线放缩）令h（x）＝2lnx+1，ℎ′(x)=2x，h'（2）＝1，故在点x＝2处的切线方程为y1＝x+2ln2﹣1；………………………12分令k(x)=e x−1x，k′(x)=xe x−e x+1x2，k'（1）＝1，故在点x＝1处的切线方程为y2＝x+e﹣2，………………………14分因为e﹣2＞2ln2﹣1，所以h（x）＜k（x），即2lnx+1＜e x−1 x，右边证毕．………………………………15分。

深圳高级中学华南师大附中月考试卷调研

②“ 命蹈Ｐｇ为真” 命题ＰｇＶ是“ ＾为真” 的必要不充分条件；
③“ ｍ＜ｍ，ｌ＜ ” 若ａ２ｂ２￣ａｂ的逆命题为真：．Ｊ ④若实数ｙ０１，，∈［，］则满足：＋１的概率为．２
４
适用版本：标版课
Ａ．０
１、１，７２题文科第１、７．本套试３１题卷对新教材新增平面向量、数、导概
４．一几何体的主视图、左视图与俯视图如图２所示，则该几何体的体积
等于（
Ａ．２ｔａ
Ｃ．２
３
率与统计、线性规划等内容都作了适度的考查，如理科第３５９１、７、、、０１题，文科第５１、７；、１１题对常用的数学思想方法，如函数和方程、数形结
Ｏ的解，＜ｏ贝。的值（ＲＯｘ，））Ａ．恒为负Ｂ．等于零Ｃ．恒为正Ｄ．不大于零
Ｄ周期为的奇函数．
１（）ｉ－，，，，，义运算０为：ｊｋ其中＝Ｑ文已知ｊｏ１２３４定－￣－，￣－
２分．０
７理）．（定义在Ｒ上的函
）满足－）－（＋）Ｊｘ２ｘ＝ｆｘ４，＞￣
及高考的命题风格编拟而成．本套试卷的试题立意新颖，构思巧
妙，考虑到大面积的中等水平的既同学，顾及尖子生的发挥．本套又试卷的难易程度尽量贴近高考难
２复数＝
为（

广东省深圳市深圳中学2024届高三一月阶段测试数学试题

广东省深圳市深圳中学2024届高三一月阶段测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为
2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（）
A．甲、乙的第70百分位数相等
B．甲的极差比乙的极差小
C．甲的平均数比乙的平均数大
(1)证明：平面EAC ^平面
PBC ；
(2)当2BE EP =uuu r uuu r
时，求二面角P AC E --的余弦值.
20．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮
比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得1-分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是
相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为()P A ，乙得1分的概率为()P B ，
两人都得0分的概率为()P C .(1)求()()(),,P A P B P C 的值；
(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
答案第231页，共22页。

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷一、单选题 1．命题“210,0x x x∃>-<”的否定为（） A ．210,0x x x ∃>-≥ B ．210,0x x x ∃≤-≥ C ．210,0x x x∀>-≥ D ．210,0x x x∀≤-≥ 2．从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.0612m f m <>⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33<>=， 3.84<>=， 5.16<>=），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（） A ．4.24元B ．4.77元C ．5.30元D ．4.93元3．若函数()f x 的定义域为R ，则“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为{}6<<1x x -；乙写错了常数c ，得到的解集为{}1<<4x x ．那么原不等式的解集为（） A ．{}1<<6x xB ．{}1<<4x x -C ．{}4<<1x x -D ．{}1<<6x x -5．函数[)2235,4,22x y x x +=∈---的值域为（）.A ．5317,142⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5317,142⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5317,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5317,142⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知不等式2320ax x -+>的解集为(,1)(,)b -∞+∞U ，则,a b 的取值分别为（） A ．3，1-B ．2，1C ．1-，3D ．1，27．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上递减，且(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．{|30x x -<<或3}x >B ．{|3x x <-或3}x >C ．{|3x x <-或03}x <<D ．{|30x x -<<或03}x <<8．对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=--U ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A ．9,04⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UD ．()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U二、多选题9．下表表示y 是x 的函数，则（）A ．函数的定义域是(0,20]B ．函数的值域是[2,5]C ．函数的值域是{}2,3,4,5D ．函数是增函数10．已知243fx =-，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．2()21f x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 有唯一零点11．给出以下四个命题，其中为真命题的是（）A ．函数y yB ．若函数(2)f x 的定义域为[0,2]，则函数()f x 的定义域为[0,4]C ．若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f x f x =--也是奇函数D ．函数1y x=-在(,0)(0,)-∞+∞U 上是单调增函数12．下列命题正确的是（）A ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数y =f x 在R 上是增函数B ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->--，则函数()y f x x =+在R 上是增函数C ．若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +<成立，则函数y =f x 在R 上是增函数D ．若对于x ∀∈R ，都有()f x ，()g x 为增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数三、填空题13．A ={}|03x x << ，{}|24B x x =<<，则A B ⋃=.14．若“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题，则m 的取值范围是. 15．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是.16．已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为．四、解答题17．（1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．18．求下列不等式的解集. (1)202735x x <---<； (2)1123x x +≤- 19．冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*N x x ∈名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 21．已知函数()2f x x x=+. (1)判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)用函数单调性的定义证明函数()f x 在)+∞上是增函数； (3)当[]1,3x ∈时，求函数()f x 的值域.22．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋8,()x x x N ≥∈层，每层2800平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为56570x +(单位：元). (1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?(2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）。

文科(集合函数导数不等式)

高三摸底测试（文科数学:集合、逻辑、函数、导数、不等式）一、选择题（每题5分，共50分）1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}[答案] D2．命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1B ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1C ．p 是真命题，﹁p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1D ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 [答案] C[解析] ∵0<log 32<1，∴y ＝(log 32)x 在[0，＋∞)上单调递减，∴0<y ≤1，∴p 是真命题；∀的否定为“∃”，“≤”的否定为“>”，故选C.3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．3 4. 曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e5．若x x x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是（）A ．21B ．21- C ．2 D ．2-6.函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 ( )A ．511<<-a B ．51>a C ．51>a 或1-<a D ．1-<a7．若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，则ab 的值等于（）A ．2B ．21C ．100D ．10 8．函数)(x f y =的图象与)1(log 21x y -=的图象关于直线x y =对称，则)(x f =（）A ．x-+21 B ．x 21+ C ．x 21- D ．x--219. 定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x)的图象如下图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)10.已知偶函数()f x 在区间单调递增，则满足2)()f x f x +<的x 取值范围是 ( ) A.(2,)+∞ B.(,1)-∞- C.[2,1)(2,)--+∞ D.(1,2)-二、填空题（每题5分，共20分） 11. 函数1()x f x +=的定义域是． 12.奇函数)(x f 定义域是)32,(+t t ，则=t13.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 14.已知等差数列{}n a ，199,a a 是函数2()1016f x x x =-+的两个零点，则50208012a a a ++=__. 三、解答题（共80分）15．（12分）设A B a x a x x B x x x A ⊆=-+++==+=若},01)1(2{},04{222，求实数a 的取值范围。

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广东省深圳高级中学2012届高三上学期第三次月考数学（文）试题本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．已知x ∈R ，i 为虚数单位，若（1-2i ）（x+i ）=4-3i ，则x 的值等于（） A. -6 B. -2 C. 2 D. 6 2．已知全集U=R,集合P=｛x ︱log 2x ≥1｝,那么A.}20|{<<x xB.}2|{<x xC.}2.|{>x xD. }2|{≤x x 3．四边形ABCD 中，DC AB =，且AC ∙BD =0，则四边ABCD 是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形4．不等式2x 2-x-1<0成立的一个必要不充分条件是（） A. 1(,1)2-B. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ C.（1，+） D.（-1，1）5．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（）A ． 45-B ．35-C ．35D ．456．已知函数x x x f 3)(3-=，直线方程为16y ax =+，与曲线)(x f y =相切，则实数的值是（）A ．3-B ．3C ．6D ．97．若43<<k ，则二次曲线13422=-+-kykx的焦点坐标是（） A.（0，±1） B.（±1，0） C.（±k 27-，0） D.与k 的取值有关8．已知函数bx ax x f -=2)(，其中≥1，b ≤2，且0)(=x f 在[1，+）上有解。

向量OA =（1，1），OP =（a ，b ），则OA ∙OP 的最大值是（）A. 4B. 3C. 2D. 19．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 的值是（）A. 120B. 720C. 1440D.504010．某多面体的一条棱的正视图是一条长为6的线段，它的俯视图和侧视图是两条长度都等于7的线段，那么这条棱长为（）A.10B. 7C. 6D.3二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11．数列}{n a 中,1a =1，2≥n 时，n a =21-n a +1，则}{n a 的通项公式是n a = ； 12．函数)(x f =12++a ax 在（-1，1）内有零点，则实数的范围是； 13．直线2sin cos =+θθy x 与圆422=+y x 的公共点的个数是；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）化参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 22sin cos ，0(∈t ，]2π为普通方程为；15．（几何证明选讲选做题）如右图：已知AC=BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线E 点，若ACE ∠=040，则BCD ∠= 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（Ⅰ）从x 、y 中各取一个数，求10≥+y x 的概率；（Ⅱ）针对表中数据，甲给出拟合曲线的方程是：108.005.02++=x x y ，测得相关指数97.02=R ；乙给出的拟合曲线的方程是：6.055.0+=x y ，测得相关指数85.02=R 。

请判断用哪一个方程拟合效果会更好，并用较好的曲线方程估计x=10时y 的值。

17．（本小题满分14分）已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π（Ⅰ）求它的最小正周期T; （Ⅱ）若),0(,23)(παα∈=f ，求的值；（Ⅲ）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分14分）如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面P A D 平面ABCD ，2AB =，E F G 、、分别为P A 、BC 、P D 中点，AD =（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD（Ⅱ）求多面体P AGF -的体积．19．（本小题满分12分）椭圆的两个焦点分别为F 1(0,-22)，F 2(0,22)，离心率e =322。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为-21，求直线l 倾斜角的取值范围。

20．（本小题满分14分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0≠a ;（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若1)1(-≥e f ，求使)(x f ≤2e 对x ∈[1，e]恒成立的实的值。

（注：e为自然对数的底数）21．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．若x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；（Ⅲ）当t =2时，求证：对于任意的正整数n ，有 ∑=+<++nk k k ka a 1131)1)(1(2。

答案及评分要求一．CBBDB DBABA二．11．n a =n 2-1 ；12．311-<<-a ；13．1 ；14．1=+y x ，10≤≤x ；15．040。

16．解（Ⅰ）(x,y)共有25个，其中符合x+y ≥10的有9个：(6,4),(6,5),(7,3), (7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5)所以，从x 、y 中各取一个数，满足10≥+y x 的概率259=P 。

（2）更好。

甲给出的方程拟合效果∴>,85.097.0当x=10时，8.618.0511008.01005.02=++=+⨯+⨯=y 17．（Ⅰ） πππππ==∴++=++=+++=++=221)32sin(12cos 232sin 212sin )62cos(12sin )12(cos2)(2Tx x x x x xx x f.12114,6136532).37,3(32),2,0(2),,0(21)32sin(,231)32sin()()(ππαπππαπππαπαπαπαπαα或或=∴=+∴∈+∴∈∴∈=+∴=++=2 f（Ⅲ）).](12,125[)(),(12125),(223222Z k k k x f Z k k k Z k k k ∈+-∴∈+≤≤-∈+≤+≤-ππππππαπππππαππ的增区间为得由18．（Ⅰ） ABCD 为矩形，ADAB⊥∴又平面P A D 平面ABCD ，且ADABCD PAD=⋂平面平面，PADAB ABCD AB平面，平面⊥∴⊂∴（Ⅱ）．--P AFG F PAG V V =三棱锥三棱锥2111233243PAG AB S ∆=⨯⋅=⨯⨯⨯=………………………………………………１４分19．解（Ⅰ）设椭圆方程为22ay +22bx =1。

由已知，c=22，由e=322解得a=3，∴b=1。

∴92y+x 2=1为所求椭圆方程。

（Ⅱ）设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++= ② ①192x y b kx y将①代入②并化简，得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-9=0。

∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+>-+-=1920)9)(9(4)2(221222k kbx x b k kb Δ。

由于k ≠0 则化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧+=>+- ④　 ③k k b b k 2909222将④代入③化简后，得k 4+6k 2-27>0 解得k 2>3， ∴k< -3或k>3 由已知，倾斜角不等于2π， ∴l 倾斜角的取值范围是(3π,2π)∪(2π,32π)。

20．解：（Ⅰ）因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋a x.当a ＞0时，由)(x f ＞0，得a x <<0， f (x )的增区间为(0，a )；当a ＜0时，由)(x f ＞0，得20a x -<<， f (x )的增区间为（0，-2a ）；（Ⅱ）由 f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.PDB由（Ⅰ）知f (x )在[1，e]内单调递增，要使f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要2)(e e f ≤，则 222ln e ae e e a ≤+-，222≤-+eae a ，0))(2(≤-+e a e a ， e a ≤，得a ＝e21．解：分析：利用x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点求出na 与1n a +的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n 的最小值。

第（3）问中先将11(1)(1)k k a a +++拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g （x ）的表达式。

（Ⅰ）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f ，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥，∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列，2112121321()(1),(1),(1),(1)n nn n n n n a a t t tt t a a t t a a t t a a t t-+--∴-=-=-⋅∴-=--=-⋅-=-以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)nn a t n =≥，当1n =时，上式也成立，∴nn a t =（Ⅱ）当t=2时，12(21)1222nn n n b --==-2112112)2121211(212---=++++-=∴-nn n n n S .21222)211(22nnn n ⋅+-=--=由2008n S >，得1222()20082nn -+>，1()10052nn +>，当111004,()1005,1005,()150022nnn n n n ≤+<≥+>时当时，因此n 的最小值为1005．（Ⅲ）∵121121)12)(12(2)1)(1(2111+-+=++=+++++k kk kk k k ka a∑=+++nk k kka a11)1)(1(22231111111()()()212121212121nn +=-+-++-++++++ (1)1113213n +=-<+。