线段和的最小值万能方法
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
线段和最小值问题整理
线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。
这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。
下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。
2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。
3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。
4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。
a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。
b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。
5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。
这些约束条件需要考虑在解决问题时。
线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。
线段之和最短问题
线段之和最短问题我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，首先来看下这几个数学模型：模型1：两点之间线段最短要在l找点P，使得PA+PB最短，这模型最简单，两点之间线段最短。
模型2：将军饮马问题在l上找一点P，使得PA+PB最短，作对称。
其中BA’就是最短的值模型3：两动点找三角形周长最小在OA，OB上找点M、N，使得△PMN周长最小，把P关于OA，OB分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P’P’’模型4：两动点加垂线段最短在OA上找一点M，使得M到OB的距离与M到P的距离之和最短。
作P关于OA的对称点，然后在对称点P’上作OB的垂线，交点即为所求，P’N就是最短值。
模型5：四边形周长如图，点P，Q 为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB 的周长最小。
总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？一题型1：直线类例题1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小如右图，在直角△AB'E中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万一题型2：角类如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．一题型3：三角形类如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题是数学中的一个常见问题，也是初步引导学生运用数学知识解决实际问题的一种典型例题。
下面将介绍几种常用的解法。
1.分情况讨论法分情况讨论是解决初中线段最值问题的一个常用方法。
以找线段上的最大值为例，我们可以将线段分为两个部分，一部分是线段的左半部分，一部分是线段的右半部分。
然后分别在左半部分和右半部分找到最大值，最后比较这两个最大值，取较大者即为线段上的最大值。
同理，要找线段上的最小值，也可以采用相似的方法。
2.数轴法数轴法是线段最值问题中常用的一种解法。
以线段的最大值为例，我们可以将数轴上线段的两个端点列出，然后根据所给条件（如线段的起点和终点的坐标等）确定线段的位置。
然后，我们可以逐个将线段上的点都标在数轴上，然后找到其中的最大值。
同样地，我们也可以用数轴法来找线段上的最小值。
3.函数法函数法是解决线段最值问题的常用方法之一。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，建立一个函数来描述线段上的点。
然后，对这个函数进行求导，求出其导数为零的点，这些点即为函数的极值点。
然后，我们可以将这些极值点与线段的端点进行比较，找出线段上的最大值或最小值。
4.图像法图像法是解决线段最值问题的另一种有效方法。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，在坐标平面上画出对应的线段图像。
然后，通过观察图像，我们可以直观地找到线段上的最大值或最小值。
5.代数法代数法是解决线段最值问题的另一种常用方法。
我们可以先将线段上的点表示为变量的形式，然后根据线段的端点的坐标，列出相应的方程组。
然后，我们可以通过求解方程组，得到线段上的最大值或最小值。
总结起来，初中线段最值问题一般可以通过分情况讨论法、数轴法、函数法、图像法和代数法等解决。
根据实际情况和题目要求，可以选择合适的方法来解决问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们不仅要运用数学知识，还要灵活运用判断和推理能力，善于观察和分析问题，才能高效地解决线段最值问题。
二次函数最值模型总结
二次函数最值模型总结一．线段和的最小值：【基本思路：对称，拉直】1． A 、B 是笔直的公路L 同侧的两个村庄，现要在公路L 上修建一个公共车站P ，若AP+BP 的和最小，则公共车站P应建在什么地方？（A ，B 固定点）辅助线描述：做点A 关于直线L 的对称点，连接点B 与直线L 相交于点P ，AP 转化为1A P ，此时AP+BP 最小，点P 即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）变式一：A ，B 是笔直的公路L 同侧的两个村庄，现要在公路L 上修建一个公共车站P 、Q ，且两个公交车站相距200米，若AP+PQ+BQ 的和最小，则公共汽车站P 应建在什么地方？（A ，B 固定点）（1）A ，B 在异侧辅助线描述：将点A 向右移动PQ 长度至点1A ，连接1A B 与直线L 相交于点Q ，将点Q 在直线L 上向左移动PQ 长度距离至点P ，此时AP+PQ+BQ 的和最小，点P （Q ）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）（2）A ，B 在同侧辅助线描述：将点A 向右移动PQ 长度至点1A ，作点1A 关于直线L 的对称点2A ，连接2A B 与直线L 相交于点Q ，将点Q 在直线L 上向左移动PQ 长度距离至点P ，此时AP+PQ+BQ 的和最小，点P （Q ）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）变式二：点A 、B 在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥修在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假设河的两岸是平行的，河的宽度是已知的，桥要与河岸垂直）（A ，B 固定点）（1）A ，B 在异侧辅助线描述：将点A 向下移动河宽度长度至点1A ，连接点B 与直线b 相交点N ，过点N 作直线a 的垂线交直线a 于点M ，连接AM ，此时AM+NN+NB 最小，点M （N ）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）（2）A ，B 在同侧辅助线描述：将点A 向下平移河宽度长度至点1A ，作点B 关于直线b 的对称点1B ，连接11A B 点与直线b 相交于点N ，过点N 作直线b 的垂线交直线a 于点M,连接MN ，此时11A B 的值最小，点M(N ）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）2．已知AOB 内有两定点P 、Q ，试在0A 、OB 上各找一点M 、N ，使四边形PMNQ 的周长最小（P 、Q 固定点，∠A0B 固定）．辅助线描述：分别作点P ，Q 关于射线0A 和0B 对称点1P ，1Q 连接11PQ 分别与射线0A 和0B 相交于M ，N ，此时PM QN NM MP +++最小，此时四边形PMNQ 的周长最小，点M ，N 即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）变式：已知AOB ∠两边上有两点P 、Q ，试在0A 、OB 上各找一点M 、N ，使P M M N N Q ++的值最小（P 、Q 固定点，AOB ∠固定）．辅助线描述：分别作点P ，Q 关于射线0A 和0B 对称点1P ，1Q 连接11PQ 分别与射线0A 和0B 相交于M ，N ，此时PM NM QN ++的值最小，点M ，N 即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）3. 直线L 上有一点A ，点B 为直线外一点，在直线上找点P 使得BP+12AP 最小（A ，B 固定点） 以顶点A 在直线L 右侧作sin ∠PAM=12（若是特殊三角函数值，也可以直接说角度），再过点B 作BQ ⊥AM 交直线L 于点P ，12AP 转化为PQ ，此时12BP AP +最小，点P 即为所求（应用原理：直线外一点，点到直线垂线段最短）变式一：已知AOB ∠，0B 上有一点M ，在射线0A ，0B 上分别找点P ，Q 使得MP PQ +最小，求点P 的位置（点M 固定点，∠A0B 固定）辅助线描述：做点M 关于射线0A 的对称点1M ，过点1M 作射线0B 的垂线，分别与射线0A ，0B 相较于点P ，Q ，此时MP PQ +最小，点P （Q ）即为所求（应用原理：直线外一点，点到真线垂线段最短）变式二：思考：直线L 上有一点A ，点B 为直线外一点，在真线上找点P ，使得12BP AP -最小； （A ，B 固定点）一．求竖直（水平，平行（垂直）于已知线段）线段（三角形周长）的最值：【基本思路：改斜归正】1.竖直线段长度=纵坐标之差的绝对值（根据端点上下的判定去掉绝对值）；2.通常水平线段和三角形周长的问题都通过三角函数转化为竖直线段来计算。
两线段和的最小值问题
A’
图1
C
A
B
街道旁
P
o
x
P
D
2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的 平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为 （6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。 10
3、（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8， 点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是 边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 _____________ ． 5
出题背景(载体)变式有： 三角形、特殊四边形(菱形、矩形、正方形、梯 形)、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路： 找点关于线的对称点，实现“折”化“直”。
变式练习（供选择） 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动 点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连 DE 的长度， 结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_____ 最小值等于_________ ； 5 y
C D
A
O P P’
B D’
7、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取 最小值时，△APD中边AP上的高为（ C）
A、
2 17 17
B、
4 17 17C、 Nhomakorabea8 17 17
D、3
8、（2012台州市中考题）如图，菱形ABCD中， AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段 BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小 值为（ B ）
A、1 B、 C、 2 D、
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。
学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。
下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）：如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B 的轴对称点B1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。
利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。
【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。
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总结
1.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最短” 如果是一个定点则利用“垂线段最短”
2.本质就是想方设法换含定点的已知线段
典型例题例1作Fra bibliotek点关于动点所在直线的对称点 作对称点的垂线
例2、(2010东营)如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的 图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
C
D
A
O P P’ B
D’
例1
提高
例2：如图，已知AB是⊙O中的直径， 的任意一点（不含端点），连接OD，当 求AB的长。
，点D是线段AC上 的最小值为6时，
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
线段和的最小值
方法策略
初小中 值数 。学经常遇到求PA+PB最小值问题，或者是求△ABC的周长最 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最短” 如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模型
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P， 使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
分析：因为AB的长是确 定的，故△ABP的周长 最小时AP与BP的和为最 小，所以可作出右图所 示的图
y AO
B
x P
B’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点 C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上 有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是 多少？并画出点P的位置.
1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）如图，直线 表 示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出发，去河边让 马饮水，然后返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最短路线
B
直线 为 的中垂线
A
P
P’
A’
常见的数学模型
4.如图，点A是∠MON内的一点，在分别在射线OM， ON上作点P，Q。使AP+PQ最小。