高三数学回归课本(教师)整合版
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第1章 1.2 回归分析
1.2 回归分析1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系.(重点)2.会求回归方程、掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 线性回归模型 阅读教材P 10～P 12，完成下列问题. 1.回归直线方程其中b ^的计算公式还可以写成b ^＝∑xiyi －n x － y －∑x 2i －n x －2.2.线性回归模型y ＝bx ＋a ＋εi ，其中εi 称为随机误差项，a 和b 是模型的未知参数，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).(1)y 与x 具有正的线性相关关系；(2)回归直线过样本点的中心(x －，y －)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； (4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg.【解析】 回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确； 由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，(2)正确；依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，(3)正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确. 【答案】 (1)(2)(3) 教材整理2 相关性检验阅读教材P 13～P 15例3以上部分，完成下列问题. 1.相关系数(1)作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值r 0.05； (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值；(4)作统计推断.如果|r |>r 0.05，表明有95%把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.如果|r |≤r 0.05，没有理由拒绝原来的假设.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( )(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系.( )【解析】 (1)正确.相关性检验是了解成对数据的变化规律的，所以求回归方程前必须进行相关性检验.(2)错误.相关系数|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱. (3)错误.若r ＝0是指x ，y 之间的相关关系弱，但并不能说没有关系.【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【解析】 函数关系和相关关系的区别为前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一种方法，故③错误，④正确.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y^＝b^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4(2)如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋ε(单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a^＝2，|ε|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿.【自主解答】 (1)①反映的是最小二乘法思想，故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确.③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确.④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以发现两变量的关系.(2)由题意可得：y ^＝0.8x ＋2＋ε，当x ＝10时，y ^＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤y ^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿. 【答案】 (1)C (2)10.51.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程.2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.3.随机误差的主要来源.(1)线性回归模型与真实情况引起的误差； (2)省略了一些因素的影响产生的误差； (3)观测与计算产生的误差.[再练一题]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).【导学号：37820002】①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x ，y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.【解析】 只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程. 【答案】 ④为研究拉力x (N)对弹簧长度y (cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：(1)(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程. 【精彩点拨】 作散点图→得到x ，y 有较好线性关系 →代入公式求得线性回归方程 【自主解答】 (1)散点图如图所示.(2)将已知表中的数据列成下表：∴回归直线方程为y ^＝0.18x ＋6.34.1.散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.2.求回归直线方程时，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.[再练一题]2.本题条件不变，若x 增加2个单位，y ^增加多少？ 【解】 若x 增加2个单位，则 y ^＝0.18(x ＋2)＋6.34 ＝0.18x ＋6.34＋0.36， 故y ^增加0.36个单位.[探究共研型]探究1 【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤为：探究2 已知x 和y 之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好？①y ＝3×2x －1； 2③y ＝4x;④y ＝x 2.【提示】 观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y ＝3×2x －1附近.①作为回归模型最好.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)(2)如果一名在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】 先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解.【自主解答】 (1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y ＝的周围，于是令z ＝ln y ，列表如下：由表中数据可求得z 与x 之间的回归直线方程为z ^＝0.693＋0.020x ，则有y ^＝e 0.693＋0.020x . (2)由(1)知，当x ＝168时，y ^＝e 0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则变换后样本点应该分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围.[再练一题]3.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：【解】 由表中测得的数据可以作出散点图，如图.观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q ＝m ·h n (m ，n 是正的常数).两边取常用对数，则lg Q ＝lg m ＋n ·lg h ，令y ＝lg Q ，x ＝lg h ，那么y ＝nx ＋lg m ，即为线性函数模型y ＝bx ＋a 的形式(其中b ＝n ，a ＝lg m ).由下面的数据表，用最小二乘法可求得b ^≈2.509 7，a ^＝－0.707 7，所以n ≈2.51，m ≈0.196.[构建·体系]1.下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程必过点( )A.(2，3) C.(2.5，4)D.(2.5，5)【解析】 线性回归方程必过样本点的中心(x －，y －)， 即(2.5，4)，故选C. 【答案】 C2．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.25【解析】 相关指数R 2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高． 【答案】 A3.如图1-2-1所示，有5组(x ，y )数据，去掉________这组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大.图1-2-1【答案】D(3，10)4.为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测是x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________.【导学号：37820003】【解析】相关系数临界值r0.05＝0.553，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r 绝对值的范围是(0.553，1].【答案】(0.553，1]5.某种产品的广告费支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)对两个变量进行相关性检测；(3)求回归直线方程.【解】(1)散点图如图所示(2)计算各数据如下：r ＝ 1 380－5×5×50（145－5×52）（13 500－5×502）≈0.92，查得r 0.05＝0.878，r >r 0.05，故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系.(3) ，，于是所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
高考数学复习中什么叫“回归课本”
高考数学复习中什么叫“回归课本”
什么叫”回归课本？■回答通俗地讲,”回归课本就是”回顾、”归纳课本.”回归课本绝不是”烫剩饭,而是通过”回归,来不断地清晰和把握数学知识结构,不断地形成和完善对数学思想的认识和理解,不断地提升综合应用能力.”回归课本时要做好四点.一要再现重点知识的形成和发展过程,特别是对在这一过程中所产生的数学思想,一定要注意提炼.例如,在”数列一章的复习中,不但要掌握四个公式(等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式和n项和公式),而且要掌握在这四个公式的推导过程中蕴含的解”数列题的最典型和最基本的四种数学叠加法(等差数列通项公式的推导)、叠乘法(等比数列通项公式的推导)、倒序相加法(等差数列前n项和公式的推导)、错位相减法(等比数列前n和公式的推导),在”回归课本时,这些的本质特征是要提炼出来的.二要理清高中数学的知识主线,透彻地掌握知识结构,熟记概念、公理、定理、性质、法则、公式(使之烂熟于心).数学概念掌握得不熟练或者似是而非是导致解题失分的一个重要因素,因此,在高三复习中必须强化对数学概念的理解和记忆.三要做透课本中的典型例、习题,要善于用联系的观点研究课本题的变式题.四要善于在高考题中寻找课本题的原型,在课本中寻找高考题的”影子.立足基础、回归课本是以不变应万变,从而提高复习效率的基本策略.。
谈谈高三复习中的“回归课本”策略
谈谈高三复习中的“回归课本”策略作者：丁楚男来源：《中学课程辅导·教师教育》 2014年第11期丁楚男（广东省深圳市龙岗区布吉高级中学广东深圳 518000）【摘要】新课标改革已近好几年了，这几年高考数学卷的试题很多都源于教材改编，严格遵循新课程标准、《考试大纲》和广东省《数学教学指导意见》，这说明数学复习工作必须做好回归课本的工作。
高三数学复习中如何“回归课本”？如何有效地发挥课本中例、习题的功能？如何从课本的知识中提取出基本的数学思想和方法？是每位高三教师必须面对的问题。
本文从认知-理解-掌握-运用四个维度和从“教”与“学”两个方面介绍了在高三一轮复习中怎样回归课本。
【关键词】回归课本策略【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 A【文章编号】 1992-7711(2014)11-001-02《新课程标准》倡导教师在教学中注重课程资源的开发和利用，鼓励教师成为数学探究课题的创造者，建议了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在数学思想，深入研究其内在联系。
近年来的高考试题越来越体现出教材的基础作用——教材是高考试题的来源，课本习题不仅是教师施教，学生学习的主要材料，也是高考命题的重要依据。
回归课本，认真钻研教材，活化课本习题，有助于提高复习效率、摆脱题海战术。
高三老师的教，结合学生的学，我们需要做足这几个工作一、从认知的角度去熟悉教材，列常考知识细目，突出重点、做到有的放矢通过对数学教材中的概念，内容，思想方法等进行归纳，整理，建立起知识体系，让学生明白高考考什么，这样提高针对性，减少盲目性。
数学高考是对基础知识的考查，要求既全面又突出重点，注重学科内在特点和知识的综合。
分析高考试题不能发现，一些重要的知识点几乎年年必考，有的已经成为高考常规题，构成高考试题的主体。
那么作为老师，首先必须先认知教材，这个认知教材不是机械的罗列概念和公式，定理等，梳理的时候一是要着眼于查漏补缺，把教材的重点、学生的弱点作为复习要点。
高三数学复习的归宿:回归课本
高三数学复习的归宿：回归课本
肖雄伟;陈晓莉
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2011(000)012
【摘要】近年来高考数学科试卷的命题越来越注重于回归课本,因此,高三后期对数学课本的复习显得尤为重要.本文主要通过从回归课本回归的内容和回归课本我们教师应该如何做这两个方面进行了介绍.
【总页数】1页(P62)
【作者】肖雄伟;陈晓莉
【作者单位】江苏省石庄高级中学,江苏如皋,226500;江苏省石庄高级中学,江苏如皋,226500
【正文语种】中文
【中图分类】G623
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1.轻负高效回归课本——高三数学复习的导向 [J], 陈瑞清
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4.立足教材回归课本
——基于"读""探""升"维度探寻高三数学复习路径 [J], 谢梓璋
5.你的爱情,我的归宿——浅析《关于爱情归宿的最新观念》的舞台表达 [J], 李婷
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回归课本高中数学公式+简洁版
高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式p是q的充分不必要②④技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的R R R{x|x≥0}{x|x≠0}R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}过定点c>d>1>a>b过定点(1,0)时，y＝00<c<d<1<a<b；(3)伸缩变换①y＝f(x)1a＞1，横坐标缩短为原来的a倍，纵坐标不变10＜a＜1，横坐标伸长为原来的a第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）150°180°270°第四部分：解析几何--直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、两条直行(1)若，①②.(2)若,①②⑶与直线平行的直线可设为01=++c By Ax ⑷与直线垂直的直线可设为02=+-c Ay Bx .111:l y k x b =+222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠12121l l k k ⊥⇔=-1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=11112222||A B C l l A B C ⇔=≠1212120l l A A B B ⊥⇔+=2222S棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面不外乎三角形面积，平行四边形面积：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．几何法求角的步骤：(1)一作：作辅助线．(2)二证：证明作出的角是所求角．(3)三求：解三角形，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝|n ·n 2|，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 11||n 2|.第七部分：平面向量、复数()11,a x y =()，,b x y =22(，则1212a b x x y y +=++),，第八部分：排列组合、二项式、期望方程1221!n =--⋅⋅=A n n n n n()()r n r rn nn n a b C a C a b C a b C a b C b-+=++++++nn n n n n n --011222(),,,：n C C C n n n 012+++++=n r n ：C C C C n n n n 011352n -C C C C C C 1+++=+++=n n n nn n 024,0,1,2,,k m --P X k C NnM N M kn k()===C C P Xk C p p k n ()()==-=1,0,1,2,n kk k-n。
2020高考数学冲刺 回归教材 2 复数、程序框图与平面向量
拓展训练 1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城 间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了 关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中，正确信息的序号是__①__②__③__.
所以△PCD为锐角三角形. 所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个.故选C.
2
PART TWO
素养3 逻辑推理 素养4 数学运算
素养3 逻辑推理
通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证
明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养.
7.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔ x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
8.利用数量积求长度 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 .
(3)复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ a2＋b2 .
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R).
特别地，a＋bi＝0⇔ a＝0且b＝0 (a，b∈R).
(5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝ (a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
回归课本吃透课本——数学高考总复习的根
回归课本吃透课本——数学高考总复习的根李俊强“高考成绩统计数据公布了！”看着自己所带的一文一理两个班都取得了同类班级第一的成绩，对比上一届自己所带的两个毕业班的数学成绩，明显有了较大的飞跃。
回顾今年的数学高考总复习，我的做法是：以课本为依据，以教学大纲为准绳，回归课本，吃透课本。
总之，对课本要反复抓，抓反复，抓基础，最终一定会获得高考成功。
一、从数学高考复习中教与学的实际案例分析我记得在高三的第一轮复习之后，我教的文科班中有一位女同学，好称“解题大师”，她的思维灵活、反应很快，数学成绩也不错，平时的考试难题常常不在话下，只是考试时常在一些偏容易的题上弄错。
在进入第二轮复习之时，我找到了这位同学，让她将自己学习数学的心得体会告诉我。
她说课本对她没什么用，她也几乎不看课本，也很少听老师讲解分析课本，她是每天花了一半的时间在数学，做了好多本复习资料，见过了很多题目，已达到了“见多识广”和“熟能生巧”的地步了。
她的话引起了我的深思：“几乎不看课本”？这样不可能吃透概念，也不可能深刻领悟数学思想方法的实质，她是在“巧”题上下功夫，而在“常规”题上注定要吃亏的！于是我让她将整个高中数学的内容画一个“知识网络结构图”，她竟然画得丢三落四！而对一些概念的回答也是含糊不清的！这也正是我所预料到的。
在随后的测验中，我出了一套概念较多的题目，这位“解题大师”不灵了，我可以给她“下药”了……最后，在今年高考中她的数学为全市第一名。
在高考的最后冲刺阶段，有很多这样的“解题大师”会抛开课本、脱离老师复习。
如上课时不听老师讲题，而是自己在下面做其他题目，进行所谓的“自主复习”。
对大部分学生而言，这样将得不偿失。
而盲目地“自主复习”，由于缺乏系统、缺少针对性，很可能是忙了一场，还是徒劳。
高考中，不管是哪一科，“基础知识都占了约80%的比重”，曾有一位复读生单科状元，在第一年进入高三时接收到了这个有效信息。
但他习惯于以难题取胜，当然对此不甚看重，心想难题不怕，基础题何妨！谁料到这样付出的代价是惨重的——第一次参加高考的成绩很不理想！直到第二年复读时才真正领会这一信息的有效性，进而一举夺得全省单科状元，这是一个艰巨的过程，而在这个过程中，他始终认为对基础知识的反复理解和强化为他的巨大进步立下了汗马功劳。
2010高三数学高考复习回归课本教案：直线与圆的参数方程
2010高考复习数学回归课本：直线与圆的参数方程一．考试内容：直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念.圆的参数方程.二．考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题：①基本概念和求直线方程；②直线与圆的位置关系等综合性试题. 求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．三．基础知识:1.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2..两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 3.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.4. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.5．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．6.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).7. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.9. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).10. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 11.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.13.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A CBb Aa d +++=.14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±四．基本方法和数学思想1.设三角形的三个顶点是A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3）,则⊿ABC 的重心G 为（3,3321321y y y x x x ++++）； 2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0；3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2221BA C C d +-=； 4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;6.以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；8.圆的性质的应用.初中知识回顾:五．高考题回顾一、相切问题：1．（04年辽宁卷.13）若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .2. 北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π3. （天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11 二、公共点问题：4.（04年北京卷.理12）曲线C ：{cos 1sin x y θθ==-+（为参数）的普通方程是________，如果曲线C 与直线0x y a ++=有公共点，那么实数a 的取值范围是_______.5.(全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）（A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4242-（D ）），（8181- 6(04年福建卷.文理13）直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 .三、方程问题：6.(04年上海卷.文理8）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --, 则圆C 的方程为 .7. （湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、 B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .四、对称问题：8.（04年全国卷二.文理4）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为（ ）.A.22(1)1x y ++=B.221x y +=C.22(1)1x y ++=D.22(1)1x y +-=9.（上海）直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0 ．五、最值问题：10.（04年全国卷三. 文16）设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为 .六、线性规划问题：11. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（C ）（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）212. (湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.13. （江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 七.与向量相结合14.(湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ .六.课本中习题归纳一、直线的方程及其位置关系 1（1）直线的倾斜角α的取值范围是 。
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高三数学回归课本(教师)整合版work Information Technology Company.2020YEAR2高三数学回归课本材料必修1：集合与函数1、(P14:10)对于集合,A B ，我们把集合{},x x A x B ∈∉且叫做集合A 与B 的差集，记做A B -，若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系是 .B A ⊆2、（P37：7）下列说法正确的是____________________(2)(3)（1）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R 上的增函数； （2）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R 上不是减函数；（3）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间[)+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数.（4）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间()+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 3、(P40: 4)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是__________________(2) （1）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； （3）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数；4、(P29:10)已知集合A=R,B={-1,1},对应法则f ：当x 为有理数时，f(x)=－1；当x 为无理数时，f(x)=1.该对应 _______是___________(填是或不是)从集合A 到集合B 的函数5、(P32:6)已知A={1，2，3，4},B={1，3，5}则_____________是从集合A 到集合B 的函数答案不唯一，如0)(x x f =引申题：直线x a =和函数()y f x =的图像的公共点可能有 个. 0或1 6、(P55:11)对于任意的R x x ∈21,,若函数f(x)=x 2， 则)2(2)()(2121x x f x f x f ++与的大小关系为________；)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ 引申题：(P71:12)对于任意的),0(,21+∞∈x x ,若函数f(x)=lgx ，则 结论又如何呢？7、(P94：19)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是{}1,4，则函数的定义域为_____{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,2------------引申题(P33：13)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是[1,4]，则这样的函数有___________个. 无数8、(P94:22)如果f(x)=x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ . x+n3引申题：如果f(x)=2x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ 122222221n n n x --++++++9、(P94:18)已知函数x y a b =+的图像如图所示，则a,b 的取值范围是 ．1,1a b ><-，10、(P94：28)已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞ 上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，求x 的取值范围． 答1(0,)(10,)10x ∴∈+∞11、(P53:例5)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为百分之二点二五，试计算5期后的本利和.变式题：若将“按复利计算利息”改为“按单利计算利息”呢？答：（1）*∈+=N x r a y x ,)1( （2）68.11170225.110005≈⨯元12、(P95:31)研究方程lg(x －1)+lg(3－x)=lg(a －x) )(R a ∈的实数解的个数.答：当4131>≤a a 或时，原方程没有实数根；当31≤<a 或413=a 时，原方程有一个实数根；当4133<<a 时，原方程有两个不相等的实数根；南菁中学课本基础知识回归(必修2，选修2—1)1．（必修2-- p52，5）用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒的高是；2．（必修2--p52, 6）一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm 和18cm ，侧棱长等于13cm ，则它的侧面积 ; 4682cm3．（必修2--p57, 5）钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约 ；31000b44．（必修2--p87, 8）若三条直线10x y ++=，280x y -+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，则a 满足的条件 ；1363a a a ≠≠≠-且且5．（必修2--p97，12）直线l 经过点（−2，3），且原点到直线l 的 距离是2，直线l 的 方程_________________________512260x y +-= 或2x =-6．（必修2--p97, 21的最小值为 ；57．(必修2--p117,13)求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在坐标轴上的截距相等的直线方程；50y x x y =++=或 8．(必修2--p117,19）设集合{}22(,)|4M x y x y =+≤，{}222(,)|(1)(1)(0)N x y x y r r =-+-≤> 当M N N ⋂=时，求实数r 的取值范围；02r <≤9．(必修2--p117,23）若直线y x b =+与曲线1x -b 的取值范围；220b=b b -<<≠±且或10.（必修2--p108, 6） 已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程 ．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. (选修2—1 P41 3改编)若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______.60°12. (必修2—p117, 15改编)已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l ：x+y －3=0的交点，则直线l 的方程为_________x －6y ＋11 = 0或x ＋2y －5 = 013、（必修2 p65, 15）P 、A 、B 、C 是球面O 上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA = PB= PC = 1，求球的体积和表面积。
32π ； 3π514、(改编题) 函数f (θ ) = sin θ －1cos θ －2的最大值和最小值分别是_____________最大值 43 和最小值015、(改编题)一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，形成一个离心率为23的椭圆，求这束光线与水平面所成角的大小。
30° 16. (选修2—1 P33 6改编)设F 1(−c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22ax +22by =1(a>b>0)的两个焦点，P是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为______36解：∵︒+︒=︒+︒+==︒=︒cos15sin15a2sin7515sin |PF ||PF |1c 2sin75|PF |sin15|PF |2121，∴3660sin 21e 2a 2c =︒==. 17. (改编题)球O 的截面把垂直截面的直径分成1 :3 两部分,若截面半径为3,则球O 的体积为332π 18．(必修2 P104 例2改编)过圆外一点P （5，－2）作圆x 2+y 2－4x －4y=1的切线，则切线方程为_________________。
7x ＋24y+13 = 0或x = 519．(必修2 P117 13改编)已知圆方程为x 2+y 2+8x+12=0, 在此圆的所有切线中，纵横截距相等的条数有____________ 29. 4（截距都为0的情况）20．(选修2—1 p32, 4改编)如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________0 < k < 121．(改编题)棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 3622．(必修2—p36, 改编)直线l 与平面α成角为300，m A m A l ∉⊂=⋂,,αα则m 与l 所成角的取值范围是 [ 300 , 900]23. (必修2—p36, 例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射6影在_____________；经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，这条斜线在平面内的射影是______________。
这个角的平分线上；这个角的平分线24、(改编题)已知球面上的三点A 、B 、C ，且AB = 6cm ，BC = 8cm ，AC = 10cm ，球的半径为13cm 。
求球心到平面ABC 的距离。
12cm25．(改编题)已知直线x=a 和圆(x －1)2+y 2=4相切，那么实数a 的值为_______________ a = 3或a =－126 (选修2—1 P31 例2改编) 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。
设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r 1，r 2，则卫星轨道的离心率 = _________。
e = r 2－r 12R + r 1 + r 227、(选修2—1 P33 9)已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成30︒角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率。
3x 264+y 216=1 离心率为 1228、(选修2—1 P25 4)引申（探索题）：将一个半径为R 的篮球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆，如果将光源换成点光源，那么影子可能是抛物线吗？解：阳光照射篮球留下影子的外廓，可看成圆柱面被一个平面(地面)斜截所得的图形，它是一个椭圆，如果将光源换成点光源，影子可看成圆锥面被一个平面截得的图形，那么它可能是抛物线。
此时，光源到地面的距离等于篮球的直径，也就是说截面平行于圆锥的母线。