二项式定理测试题
2022高三总复习数学 二项式定理(含解析)
二项式定理A 级——基础达标1．(2021·栖霞模拟)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．－150 B ．150 C ．－240D ．240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 2．(2021·深圳市统一测试)⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数为( ) A ．168 B ．84 C ．42D ．21解析：选B ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r，令7－2r ＝3，则r ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数为(－2)2C 27＝84，故选B. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4xC ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A 令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n 即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 4．(2021·贵阳市适应性考试)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的二项展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若A ＋B ＝72，则二项展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 中，令x ＝1，得A ＝4n ，由题意知B ＝2n ，所以4n ＋2n ＝72，得n ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，所以常数项为T 2＝3C 13＝9.5．已知(x ＋2)(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 0＋a 2＋a 4＝( ) A ．123 B ．91 C ．－120D ．－152解析：选D 法一：因为(2x －1)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(－1)r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以a 0＋a 2＋a 4＝2×C 55×20×(－1)5＋[1×C 45×21×(－1)4＋2×C 35×22×(－1)3]＋[1×C 25×23×(－1)2＋2×C 15×24×(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D.法二：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝3 ①；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝－243 ②.①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－120.又a 6＝1×25＝32，所以a 0＋a 2＋a 4＝－152，故选D.6．(多选)在二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 5的展开式中，有( ) A ．含x 的项 B ．含1x 2的项C ．含x 4的项D ．含1x4的项解析：选ABC 二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·35－r ·(－2)r ·x 10－3r，r ＝0,1,2,3,4,5，故展开式中含x 的项为x 10－3r ，结合所给的选项，知ABC 的项都含有．故选A 、B 、C ．7．(多选)(2021·沈阳模拟)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选BC 由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选B 、C ．8．(多选)若(1－ax ＋x 2)4的展开式中x 5的系数为－56，则下列结论正确的是( ) A ．a 的值为－2B ．展开式中各项系数和为0C ．展开式中x 的系数为4D ．展开式中二项式系数最大为70解析：选BD (1－ax ＋x 2)4＝[(1－ax )＋x 2]4，故展开式中x 5项为C 14C 33(－ax )3x 2＋C 24C 12(－ax )(x 2)2＝(－4a 3－12a )x 5，所以－4a 3－12a ＝－56，解得a ＝2.(1－ax ＋x 2)4＝(x －1)8，则展开式中各项系数和为0，展开式中x 的系数为C 78(－1)7＝－8，展开式中二项式系数最大为C 48＝70.故选B 、D.9．(2020·天津高考)在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 5·2r ·x 5－3r.令5－3r ＝2得r ＝1.因此，在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数为C 15·21＝10. 答案：1010．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.解析：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.答案：811．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，则正数a 的值为________．解析：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r x 20－5r 2. 令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16， 又(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.答案： 312．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为24，则展开式中x 2的系数的最小值为________．解析：由f (x )的展开式中x 的系数为24，可得C 1m 2x ＋C 1n 2x ＝2mx ＋2nx ＝24x ，解得m ＋n ＝12.设f (x )的展开式中x 2的系数为t ，则t ＝C 2m 22＋C 2n 22＝2(m 2＋n 2－m －n )＝2(m 2＋n 2－12)≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋n )22－12＝2×(72－12)＝120.当且仅当m ＝n ＝6时，t 有最小值120. ∴f (x )的展开式中x 2的系数的最小值为120. 答案：120B 级——综合应用13．(多选)已知(2x －m )7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7，若a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，则有( ) A ．m ＝2 B ．a 3＝－280 C ．a 0＝－1D ．－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14解析：选BCD 令1－x ＝12，即x ＝12，可得⎝⎛⎭⎫2×12－m 7＝(1－m )7＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，得m ＝3，则令x ＝1，得a 0＝(－1)7＝－1，(2x －3)7＝[－1－2(1－x )]7，所以a 3＝C 37×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x －3)7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7两边求导得14(2x －3)6＝－a 1－2a 2(1－x )－…－7a 7(1－x )6，令x ＝2得－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14.故选B 、C 、D.14．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．40解析：选D 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数与1x 的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 525－r x 5－2r ·(－1)r . 令5－2r ＝1，得r ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数为C 2525－2×(－1)2＝80； 令5－2r ＝－1，得r ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x 的系数为C 3525－3×(－1)3＝－40，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为80－40＝40. 15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m ＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ＝b (mod 10)，则b 的值可以是( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013D ．2 014解析：选A ∵a ＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 0101010－C 110109＋…－C 01010＋1，∴被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A ．。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
二项式定理
和简捷性.
3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性.
nr 4. 性质 1 是组合数公式 Cr 的再现，性质 2 是从 C n n 函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3 是
利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的
和.
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从近两年的高考试题来看，求二项展开式中特定项及特
定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，
0 （4）二项式的系数从 Cn
， C1 n
1 ，一直到 Cn n ，
Cn n .
3.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离” 的两个二项式
nm 系数相等，即 Cm C . n n
n 1 k k （2）增减性与最大值：二项式系数C n，当 2
时，二项式系数是递增的；当
k
n 1 2
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 等于 奇数
1 3 5 2 项的二项式系数的和，即 Cn Cn Cn = C0 C n n
C4 n =
2n1 .
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.通项公式最常用，是解题的基础. 2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特 点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集 项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性
1 n 项式系数是指 C0 n，Cn，„，Cn，它只与各项的项数有关，而
排列组合二项式定理练习题
排列组合二项式定理练习题1.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )．A ．24B ．48C ．72D ．962.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种3.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )．A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种4.2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种5.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．160 D ．－1606.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )．A ．28B ．38C ．1或38D ．1或287.设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )．A ．－150B ．150C ．300D ．－3008.广州亚运会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E ，F 六个城市之间进行，以A 为起点，F 为终点，B 与C 必须接连传递，E 必须在D 的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有__________种9.在某次中外海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船、3架飞机；外方有5艘船、2架飞机．若从中、外两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都可作为1个单位，所有的船只两两不同，所有的飞机两两不同)，则选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有多少种？10.已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？11.已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式(a x－1x)6的展开式中含x2项的系数．。
二项式定理
第三讲 二项式定理(理)A 组基础巩固一、选择题1．(2021·广东深圳、汕头、潮州、揭阳联考)⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 4的系数是( B ) A ．－210 B ．－120 C ．120D ．210[解析] ⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1x 10－r (－x )r ＝(－1)r C r 10x 2r －10，由2r －10＝4得r ＝7，∴x 4的系数为(－1)7C 710＝－120.故选B.2．(2020·河北保定期末)⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( D ) A ．1项 B ．2项 C ．3项D ．4项[解析] ⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项．3．(2019·全国)(2x ＋1)6的展开式中x 的系数是( B ) A ．120 B ．60 C ．30D ．15[解析] 由二项式(2x ＋1)6的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ＝26－r C r 6x 6－r 2， 令6－r2＝1，解得r ＝4， 则(2x ＋1)6的展开式中x 的系数是22C 46＝60，故选B.4．(2020·山东省临沂市期末)⎝⎛⎭⎪⎫2x －134x 6的展开式的中间项为( B )A ．－40B ．－40x 2C ．40D ．40x 2[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫2x －134x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－134x k ，则中间项为T 4＝C 36(2x )3⎝⎛⎭⎪⎫－134x 3＝20×23×⎝⎛⎭⎫－14×x 2＝－40x 2.故选B. 5．(2021·湖南省六校联考)设常数a ∈R .若⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的二项展开式中x 7项的系数为－15，则a ＝( D )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] ⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的二项展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r ·C r 5·x 10－3r ， r ＝0,1,2,3,4,5.令10－3r ＝7，得r ＝1，所以展开式中x 7项的系数为a ·C 15＝－15，解得a ＝－3. 故选D.6．(2021·广州测试)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·x －32r ＝C r n ·3n －r·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件：当r ＝2时，n ＝5，故选B.7．(2021·四川达州诊断)已知(2＋x )8＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 8(1－x )8，则a 6＝( B )A ．－252B ．252C ．112D ．－112[解析] (2＋x )8＝[3－(1－x )]8＝a 0＋a 1(1－x )＋…＋a 8(1－x )8，其通项T r ＋1＝C r 838－r [－(1－x )]r ＝(－1)r 38－r C r 8(1－x )r ，∴a 6＝32C 68＝252，故选B.8．(2021·广西南宁二中、柳铁一中联考)(1－x )(1＋2x )3展开式中x 2项的系数为( B ) A ．5 B ．6 C ．－6D ．－4[解析] x 2项为1×C 23(2x )2＋(－x )×C 13(2x )＝6x 2.9．(2021·四川绵阳南山中学诊断)已知(2x －1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5，则a 2＝( C )A ．10B ．80C ．40D ．120[解析] 由已知得令x －1＝t 有(2t ＋1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，又T r ＝C r 5(2t )5－r＝25－r C r 5t 5－r.令5－r ＝2得r ＝3.∴a 2＝25－3C 35＝40.故选C.10．(2021·新高考八省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( D ) A ．60 B ．80 C ．84D ．120[解析] (1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29， 因为C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1且C 22＝C 33， 所以C 22＋C 23＝C 33＋C 23＝C 34， 所以C 22＋C 23＋C 24＝C 24＋C 34＝C 35，以此类推，.C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120. 故选D.11．(2021·河南信阳调研)已知(x ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有x 2项，n ∈N *，则n 的值可以是( C )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 因为(x ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有x 2项，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中不含常数项，不含x 项，不含x 2项⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式的通项为：T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r n x n －4r，r ＝0,1,2，…，n ，所以当n 取5,6,7,8时，方程n －4r ＝0，n －4r ＝1，n －4r ＝2无解，检验可得n ＝7，故选C.12．(2021·江苏南京调研)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则不正确．．．的是( D ) A ．a 0的值为2 B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120[解析] 令x ＝0，得a 0＝2，故A 正确；2×(－2)5C 55＋(－2)4C 45＝16，故a 5＝16，B 正确；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3①，又a 0＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－5，故C 正确；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝243②，由①②得：a 1＋a 3＋a 5＝－123，D 错误．故选D.二、填空题13．(2018·天津高考)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为 52 .[解析] ⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 5x 5－3r 2. 令5－3r2＝2，可得r ＝2.所以⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中的x 2的系数为⎝⎛⎭⎫－122C 25＝52. 14．(2021·山西大同学情调研)在(2x －1)7的二项展开式中，第四项的系数为 －560 .[解析] 在(2x －1)7的二项展开式中，第四项的系数为：C 37·24·(－1)3＝－560.15．(2020·安徽池州统测)已知⎝⎛⎭⎫x －2x n 的展开式中二项式系数之和为512，则展开式中常数项为 －672 .[解析] 由题意得：C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝512，解得：n ＝9，∴⎝⎛⎭⎫x －2x 9展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 9(x )9－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 9x 9－3r 2， 当9－3r ＝0，即r ＝3时，T 4＝(－2)3C 39＝－672， ∴常数项为－672.16．(2020·广东省东莞市期末)若(3＋ax )(1＋x )4展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为 64 .(用数字作答)[解析] 由题意得3C 14＋a ＝13，∴a ＝1.令x ＝1得(3＋ax )(1＋x )4的展开式中各项系数和为(3＋1)(1＋1)4＝64.B 组能力提升1．(2019·浙江，13)在二项式(2＋x )9的项的个数是 5 .[解析] (2＋x )9展开式的通项T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r＝C r 9·29－r 2·x r(r ＝0,1,2，…，9)，令r ＝0，得常数项T 1＝C 09·292·x 0＝292＝162，要使系数为有理数，则只需9－r 2∈Z ，则r 必为奇数，满足条件的r 有1,3,5,7,9，共五种，故系数为有理数的项的个数是5.2．(2021·中原名校质量测评)若⎝⎛⎭⎫x －2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 1 .[解析] 由⎝⎛⎭⎫x －2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，所以n ＝10；令x ＝1，可求得展开式中各项的系数和是(1－2)10＝1.故答案为1.3．(2021·上海普陀区二模)502 019＋1被7除后的余数为 2 .[解析] 502 019＋1＝(1＋72)2019＋1＝1＋C 12 019·72＋C 22 019·74＋…＋C 2 0192 01974 038＋1＝72C 12 019＋74C 22 019＋…＋74 038C 2 0192 019＋2.故余数为2. 4．(2021·内蒙古包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A ．1B ．243C ．121D ．122[解析] 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B.5．(2021·衡水模拟)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为( B )A ．8B ．7C ．6D ．5[解析] 依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.6．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)(2x ＋y ＋1)6的展开式中，xy 3的系数为( A )A ．120B ．480C ．240D ．320[解析] 解法一：(2x ＋y ＋1)6＝[2x ＋(y ＋1)]6，其展开式通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (y ＋1)r ， 令r ＝5得，T 6＝2C 56x (y ＋1)5， 又(y ＋1)5展开式通项P s ＋1＝C s 5y 5－s ， 令s ＝2得P 3＝C 25y 3， ∴xy 3的系数为2C 56·C 25＝120，故选A.解法二：(2x ＋y ＋1)6＝(2x ＋y ＋1)·(2x ＋y ＋1)…(2x ＋y ＋1)6个从六个括号中1个取2x,3个取y 、2个取1即得xy 3项，其系数为2C 16·C 35·C 22＝120，故选A.7．(2021·江西重点中学联考)若多项式(2x ＋3y )n 展开式仅第5项的二项式系数最大，则多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－4n －4展开式中x 2的系数为( A ) A ．－304 B ．304 C ．－208D ．208[解析] 多项式(2x ＋3y )n 展开式仅第5项的二项式系数最大，故n ＝8，多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－44展开式中x 2的系数为C 14·(－4)3＋C 24·C 12·(－4)＝－256－48＝－304，故选A.。
高考数学二轮复习考点十八《二项式定理》课件
Tr
＋
1
＝
C
r 12
(2
＋
x )12 －
r·－2x0202212 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必须满足 r＝0，T1＝(2＋ x)12，x5 的系数为 22C1102＝264.故选
B.
二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
17．(2021·湖南第三次模拟)在3x－
1xn的展开式中，各项系数和与二项
式系数和之和为 128，则( )
三、填空题 19．(2021·北京高考)x3－1x4 展开式中常数项为________．
答案 －4 解析 x3－1x4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C4r(x3)4－r－1xr＝(－1)rCr4x12 －4r，令 12－4r＝0，得 r＝3，则常数项为 T4＝(－1)3C34＝－4.
20．(2021·山东青岛一中模拟)(x2＋2)x－1x10的展开式中，x6 的系数为 ________．
6．(2021·湖南长沙一中模拟)(1－ x)10 的二项展开式中，x 的系数与 x4 的系数之差为( )
A．－220 B．－90 C．90 D．0
答案 D
r
解析 因为(1－ x)10 的二项展开式中，通项公式为 Tr＋1＝C1r0·(－1)r·x2， 故 x 的系数与 x4 的系数之差为 C210－C810＝0.故选 D.
数为 C16×－23×25＝－128.故选 D.
3．(2021·福建福州高三 5 月调研)在(x＋y＋z)6 的展开式中，xyz4 的系数 是( )
A．15 B．30 C．36 D．60 答案 B
解析 (x＋y＋z)6 相当于 6 个(x＋y＋z)相乘，由二项式定理的原理可知 xyz4 的系数是 C16C15C44＝6×5×1＝30.故选 B.
排列组合二项式定理综合测试卷(B卷)
演练篇 核心考点AB 卷 """""t""高二数学 2021年5月 T 于王"排"#合二&式（）综合测试卷（B -）■河南省南乐县第一高级中学吉晓波D. 3医院了：果店一、选择题1 -已知 A ' = 100 A ',则'=（ ）。
A. 11 B. 12#. 13 D. 142. 满足条件C ）>#6的正整数"的个数是（ ）。
A. 10B. 9#. 43. 小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去 水果店买水果，然后 去花店买花，最后到达医院。
相关.........................的网格纸上，网格线是道........图1路，则小张所走路程最短的走法种数为！）。
A. 72B. 56#. 48 D. 404. 在一-次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙3人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种。
A. A ）B. 43#. 34 D. #3/ 2 \ 65. （2' — 3；?"的展开式中'3的系数为（ ）。
#. 64D. —1286. 由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）$A. 24B. 12#. 10 D. 67. 从2名教师和5名学生中选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的3人中至少有1名教师，则不同的选取方案数是（ ）$A. 20B. 25#. 30 D. 558. 将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张$如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那 么不同的分法数是！）$A. 24B. 18#. 12 D. 69.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图2所示的4个格子涂色，每个格子涂图2一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有（）$A.360 种B.510 种#.630 种 D.750 种10.如图 3, *MON的边O8上有4个点A i 、A 2、A 3、A 4,ON 上有 3 个点 21、22、2,，则以 O 、A 1>A 2>A 3>A 4>21、22、23中的3个点为顶点的三角形的个数为（）$A. 30B. 42#. 54 D. 5611. A 、2、C 、/4名学生报名参加学校的 甲、乙、丙、丁 4个社团，若学生A 不参加甲社团，2不参加乙社团，且4名学生每人报一个社团，每个社团也只能1人报名，则不同的 报名方法数为（ ）$A. 14B. 18#. 12 D. 412.为了提高命题质量，命题组指派5名 教师对数学卷的选择题、填空 题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）$A. 90B.36#. 150D. 10813. 2020年春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战&某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人到湖北省的A , 2, C 三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生&则选派方案有（ ）$A. 9 种B. 12 种#. 54 种D.72 种14.（2------2）（1 + "y ）6 展开式中'23315中孝生皋捏化演练篇核心考点AB卷高二数学2021年5月项的系数为160,则a=!"$A.2B.4C-—22-—2215.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列种数为！"$A.A4A5B.A3A4A5C.C1A4A5 2.A2A4A516.若（2+a'"$（a（0）的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大，则a的取值范围为（"$A.（—7,0）UC.+317.已知二项式（1+丄一2'），则展开式中常数项为！)$A.49B.—47C.—1 2.11）已知二项式（2'2+1）的展开式中二项式系数之和等于64,则展开式中常数项等于（）A.240B.120C.48 2.361*.某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科），根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科，语文、数学、英语只排在第二节，物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案数为（）$A.36B.48C.144 2.28820.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站正中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（）$A.240种B.252种C.264种 2.288种21.已知（3—'）（2'—3）8"a$+a1（'—1）+a2（'—1）2+…+a g（'—1）9,则a6"（）$A.—1792B.1792C.—5376 2.537622.5名护士上班前将外衣放在护士站,下班后从护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有2人拿到了自己的外衣，另外3人拿到别人外衣的情况有！）$A.60种B.40种C.20种 2.10种23.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有！）$A.A5种B.2A5A4种C.5A5种 2.6A5种24.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）$A.C；—12B.C；—8C.C4—6 2.C8—425.从装有$+1个不同小球的口袋中取出,个小球（0V，'$,,,$#N$）,共有C,+1种取法$在这C,+1种取法中，可以分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有C$・C,种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有C1・C,1种取法。
高中试卷-6.3 二项式定理(精讲)(含答案)
6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4+的展开式为 ．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729nnnn n n n n C C C C C -+-++-=L ，则n 的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 (14＝4＋C 143·1)＋C 2421)2＋C 341)3＋C41)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x＋1x2.方法二 (14＝3x ＋14＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 4(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C-+-++-=L 得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n n n n n n C C C C C ---××-+××-××-+××-×-+++=×L 则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )A ．(2x+2)5B ．2x 5C ．(2x-1)5D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrr C x -+-，故为()5211x éù+-ëû的展开式，化简()()555211232x x x éù+-==ëû.故选D.2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---×+×+×++×=_________.【答案】101n -【解析】()()()()011020201211212(31)3131...3131n n n n n nn n n n n C C C C ----+=´´+´´++´´+´´则2012222412233331(31)10n n n n n nn n n n C C C C ---×+×+×++×+=+=L 所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---×+×+×++×=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x æö+ç÷èø的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为)4410C =9410C （2）二项式81x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ´´´=´´´，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x--+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====，12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+æö=-=-ç÷èø令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x æö+ç÷èø二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr r r r T C xC x x ---+æö=××=××ç÷èø，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=×=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x æ+çè的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______.【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==，令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)nx x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n nn C xC x x ---æö××=××ç÷èø，而常数项是第7项，则3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x æö+-ç÷èø的展开式中常数项是（ ）A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x æö+-ç÷èø的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）Q 5a x x æö-ç÷èø的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x --+=×××-，显然，25r -为奇数，Q 若求5(2)a x x x æö+-ç÷èø展开式的常数项，251r \-=-，解得2r =故5(2)a x x x æö+-ç÷èø的展开式的常数项等于：23580C a ×=-2a \=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x æö+-ç÷èø展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421(r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=×=取430r m --= 当0m =时，4r = 系数为：4440(1)1C C ´´-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ´´-=- 常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x x x ææö-+ç÷çèøè的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51æçè 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x æææö-+=-ç÷ççèøèè 554311x x ææ-+ççèè，根据式子可知当4r = 或2r = 时有常数项，令4r = 41455(1)T C Þ=- ; 令232352(1)r T C =Þ=-;故所求常数项为13553C C -´ 53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x æö++ç÷èø的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x æö+ç÷èø的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=×=×××，令4r =，则4615C =，所以()64111x x æö++ç÷èø的展开式的常数项为11516+=.故选：D.4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】在1020201(1)x x++的展开式中，通项公式为T r +110rC=•20201rx x æö+ç÷èø.对于20201rx x æö+ç÷èø，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x æö-+ç÷èø的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x æöæöæö-+=+-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x æö+ç÷èø的通项为10102110101rr r r r r T C x C x x --+æö=×=ç÷èø令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ×=令1026r -=解得2r =所以6x 的项为2661045a C x ax -×=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x æö-ç÷èø的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x æö+ç÷èø的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x æö-ç÷èø的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x æö+ç÷èø的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x æö-ç÷èø的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x æö-ç÷èø的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-Î的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则næçè的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n =8æ-çè的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r •（﹣1）r •x 4﹣r ，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x ―1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2―1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x ―1)5展开式中常数项为1x ×C 452x ×(―1)4=10，故选C .3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ö-÷ø展开式中二项式系数最大的项的系数 .【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++L ，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ö÷ø展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --æö=-=-=ç÷èø.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x æö-Îç÷èø的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -æö+=-ç÷èø()6262612r r r r C x --=-令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++L .求：（1）017a a a ++¼+；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．②由①-②得13572()28a a a a +++=，∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2rrrr rr T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=L ，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+L ．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==´+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=-L ，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=+L ，()()220210139a a a a a a +++-+++L L ()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++L L))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L _____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++L 两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++L ，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=L .4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++L 展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++L ;（3）求.312232222n na a a a ++++L .【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=\= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++=L L （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=L ，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++L 21072701()m m N =+´+Îg 2105041m =+g 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=××»»L 故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-Q ()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+-L 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+L 所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++L ，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817********8888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =×+×´-+×´-++×´-+×´-K 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =×+×´-+×´-++-+×´-K ，所以转化为求80885(2)256C ×´-=被5除所得的余数，因为2565151=´+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=´-´+´-´ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941»故选B。
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二项式定理测试题
一、选择题
1．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P
＋S ＝272，则n ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
2.⎝
⎛⎭⎫x 2＋1
x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
3．(1＋2x )3(1－3
x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2
D ．4
4．在⎝
⎛⎭⎪⎫
x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )
A ．－15
4
B.154 C ．－38
D.38
5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7
B ．0
6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63
D ．31
7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33
D ．－31
8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )
A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5
B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6
C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6
D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5
二、填空题(每小题5分，共10分)
9．若(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004)＝________.(用数字作答)
10．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝________.
11．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为__________． 12．若⎝⎛⎭
⎫x －
a x 2
6
展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
13．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x －124x n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．
14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．
16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；
(2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．
17．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…a9y9，求：
(1)各项系数之和；
(2)所有奇数项系数之和；
(3)系数绝对值的和；
(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．
18．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n－1＝29－n，求n.。