四川省乐山市沫若中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷 文(含解析)

2015-2016学年四川省乐山市沫若中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列赋值语句错误的是（）A．i=i﹣1B．x*y=aC．k=D．m=m2+12．已知f（x）=ax3+9x2+6x﹣7，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A． B． C． D．3．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，极小值﹣27D．极小值﹣27，无极大值4．执行如图的程序框图．若输入n=7，则输出的值为（）A．2B．3C．4D．55．（文）某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（）A．65人，150人，65人B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人D．80人，120人，80人6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2[15.5，19.5）4[19.5，23.5）9[23.5，27.5）18[27.5，31.5）11[31.5，35.5）12[35.5，39.5）7[39.5，43.5）3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A． B． C．5D．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）A．＞，s＜B． =，s＞C． =，s=D． =，s＜9．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）11．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A． B． C．D．12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．执行下面的程序输出的结果是．14．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为．15．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是．16．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计．（1）这次抽样的样本容量是多少？（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；（3）旅客购票用时的中位数为多少？18．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围为？19．设函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．20．已知函数f（x）=2x3﹣3x2+3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．21．已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图．（1）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；（2）为了估计池塘中鱼的总重量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5），第二组[0.5，1），…，第九组[4，4.5]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年四川省乐山市沫若中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列赋值语句错误的是（）A．i=i﹣1B．x*y=aC．k=D．m=m2+1【考点】赋值语句．【分析】根据赋值号左边只能是变量，右边可以是任意表达式，即可得到答案．【解答】解：执行i=i﹣1后，i的值比原来小1，则A正确；执行k=后，k的值是原来的负倒数，则C正确；执行m=m2+1后，m的值等于原来m的平方再加1，则D正确；赋值号的左边只能是一个变量，则B错误．故选：B．2．已知f（x）=ax3+9x2+6x﹣7，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】利用导数公式，先求出f'（x），再将x=﹣1代入，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵f'（x）=3ax2+18x+6，又∵f'（﹣1）=4，∴3a﹣18+6=4，解得．故选B．3．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，极小值﹣27D．极小值﹣27，无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：A．4．执行如图的程序框图．若输入n=7，则输出的值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n＞100，计算输出k的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行n=2×7﹣1=13，不满足条件n＞100，循环，k=2；第二次运行n=2×13﹣1=25，不满足条件n＞100，循环，k=3；第三次运行n=2×25﹣1=49，不满足条件n＞100，循环，k=4；第四次运行n=2×49﹣1=97，不满足条件n＞100，循环，k=5；第五运行n=2×97﹣1=193，满足条件n＞100，终止循环，此时k=5；输出k=5，故选：D．5．（文）某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（）A．65人，150人，65人B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人D．80人，120人，80人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为，∴专科生被抽的人数是本科生要抽取=150，研究生要抽取故选 A．6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2[15.5，19.5）4[19.5，23.5）9[23.5，27.5）18[27.5，31.5）11[31.5，35.5）12[35.5，39.5）7[39.5，43.5）3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（）A． B． C． D．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】根据所给的数据的分组和各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知本组数据的总数，求两个点比值得到符合条件的数据所占的比．【解答】解：根据所给的数据的分组和各组的频数知道，大于或等于31.5的数据有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，可以得到共有12+7+3=22，∵本组数据共有66个，∴大于或等于31.5的数据约占，故选B7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A． B． C．5D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，a，b，n的值，当n=4时不满足条件n≤k，退出循环，输出M的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，k=3，n=1满足条件n≤k，M=，a=2，b=，n=2满足条件n≤k，M=，a=，b=，n=3满足条件n≤k，M=，a=，b=，n=4不满足条件n≤k，退出循环，输出M的值为．故选：A．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）A．＞，s＜B． =，s＞C． =，s=D． =，s＜【考点】茎叶图．【分析】分别计算甲、乙运动员成绩的平均数与方差，进行比较即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，方差是= [（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=；乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，方差是= [（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=；∴=，＜．故选：D，9．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）【考点】线性回归方程．【分析】根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论．【解答】解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由=30， =（64+69+75+82+90）=76，故回归直线过样本中心点（30，76），故选：B．11．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A． B． C．D．【考点】茎叶图．【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．【解答】解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，[0，5）的频数为20×0.01×5=1个，[5，10）的频数为20×0.01×5=1个，[10，15）频数为20×0.04×5=4个，[15，20）频数为20×0.02×5=2个，[20，25）频数为20×0.04×5=4个，[25，30）频数为20×0.03×5=3个，[30，35）频数为20×0.03×5=3个，[35，40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A，故选：A．12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．执行下面的程序输出的结果是15 ．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时不满足条件i≤4，退出循环，输出S=15．【解答】解：当i=1时，s=0×2+1=1；当i=2时，s=1×2+1=3；当i=3时，s=3×2+1=7；当i=4时，s=7×2+1=15．退出循环，输出S=15故答案为：15．14．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为71 ．【考点】频率分布直方图．【分析】同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分【解答】解：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80）的小长方形面积为x，则（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，解得x=0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．答案：7115．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是{a|a ＜﹣1或a＞2} ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．16．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是10 ．【考点】茎叶图；循环结构．【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故答案为：10三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计．（1）这次抽样的样本容量是多少？（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；（3）旅客购票用时的中位数为多少？【考点】频率分布直方图；频率分布表．【分析】（1）根据频率分布直方图，用频率=，即可求出样本容量n；（2）根据频率分布直方图，用频率=，即可求出①②的数据；再补全频率分布直方图即可；（3）利用中位数的两边频率相等，列出方程求出中位数．【解答】解：（1）根据第二组的频数为10，频率为0.1，得样本容量是n==100；（2）①的数据为100×0.50=50；②的数据为=0.10；所补频率分布直方图如图中的阴影部分：（3）因为0.1+0.1=0.2＜0.5，0.2+0.5=0.7＞0.5，所以中位数在[15，20）内，设为x，则（x﹣15）×0.1+0.2=0.5，解得x=18；即中位数是18．18．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围为？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】（本小题解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故输出的S的取值范围为：[﹣3，6]．19．设函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据f′（1）=0，求出a的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣a+，当x=1时取得极值，则f′（1）=0，即：1﹣a+2=0，解得：a=3，经检验，符合题意．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x2﹣3x+2lnx，∴f′（x）=x﹣3+=，（x＞0），令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0解得：1＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞）；单调递减区间为（1，2）．20．已知函数f（x）=2x3﹣3x2+3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则﹣m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．【解答】解：（1）当x=2时，f（2）=7故切点坐标为（2，7）又∵f′（x）=6x2﹣6x．∴f′（2）=12即切线的斜率k=12故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=12（x﹣2）即12x﹣y﹣17=0（2）令f′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=0时，函数f（x）取极大值3，当x=1时，函数f（x）取极小值2，若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）21．已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图．（1）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；（2）为了估计池塘中鱼的总重量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5），第二组[0.5，1），…，第九组[4，4.5]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20．由题意知，求出池塘中鱼的总数目，由此能求出估计鲤鱼数目和鲫鱼数目．（2）①根据题意，结合直方图能求出池塘中鱼的重量在3千克以上的条数．②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7、x+14，由此能求出第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，从而将频率分布直方图补充完整．③由频率分布直方图能求出众数和平均数，从而得到鱼的总重量．【解答】解：（1）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20．由题意知，池塘中鱼的总数目为1 000÷=20 000（条），则估计鲤鱼数目为20 000×=16 000（条），鲫鱼数目为20 000﹣16 000=4 000（条）．（2）①根据题意，结合直方图可知，池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克0的条数约为20 000×（0.12+0.08+0.04）×0.5=2 400（条）．②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7，x+14，则有x+x+7+x+14=100×（1﹣0.55），解得x=8，故第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44，据此可将频率分布直方图补充完整（如图）．③众数为2.25千克，平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02（千克），所以鱼的总重量为2.02×20 000=40 400（千克）．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；（Ⅲ）由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，得到h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，∵a＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递增，∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，综上a=﹣；（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．。