第84练 极坐标与参数方程 Word版含答案
高中数学极坐标与参数方程练习题及参考答案2023
高中数学极坐标与参数方程练习题及参考答案2023一、选择题：1. 下列哪个不是一个极坐标?A. (2, π/3)B. (-3, 4π/3)C. (2, -5π/6)D. (5, 4π/7)2. 以下哪个函数是参数方程？A. y = 3x + 1B. x^2 + y^2 = 4C. y = sin 2xD. x = t - 1, y = t + 23. 一个曲线的极坐标方程为r = 4 sinθ，该曲线的形状是？A. 玫瑰线B. 半径为4的圆C. 极坐标线段D. 直线二、计算题：1. 已知曲线的极坐标方程为r = 3sinθ，计算该曲线在θ∈[0,π/2]的弧长。
解：由弧长公式可知，弧长需要对r关于θ求导，并同时进行积分操作。
{l = ∫[0,π/2 {√[r^2 + (dr/dθ)^2]}dθ = ∫[0,π/2] {√[9cos^2θ + 9sin^2θ]}dθ= ∫[0,π/2] {3dθ} = 3π/2所以该曲线在θ∈[0,π/2]的弧长为3π/2。
2. 已知曲线的参数方程为 x = t^2 + 2t，y = t^2 - 2t，求该曲线的极坐标方程。
解：根据极坐标与参数方程的转换公式，可得：r^2 = (x-1)^2 + y^2替换x和y，得到：r^2 = [(t^2 + 2t - 1)^2 + (t^2 - 2t)^2]= (t^2 + 2t - 1)^2 + (t^2 - 2t)^2展开式子，得到：r^2 = 2t^4 + 2t^2 + 2因为π是常数，所以就能得到该曲线在极坐标下的表示：r = √[2t^4 + 2t^2 + 2]三、应用题：一艘船沿着曲线r = 2sinθ 前进，求当船越过双极点时速度的大小和方向。
解：当船越过双极点时，θ的值从π- ε 到π+ε （ε接近0），根据速度的定义，得到速度v的表达式：v = ds/dt = √[(dr/dt)^2 + (rdθ/dt)^2]因为θ的变化非常小，所以可认为θ是常数，dθ/dt = 0。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
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《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x +y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C 3P ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2AB PA PB⋅5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩程为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2=，点R （2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案 一．解答题（共16小题）1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P （1,0），倾斜角为，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．3π（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1．∴曲线C 1的直角坐标方程为=1，∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得．2134120t t +-=设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴+． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C3P ,02⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2ABPA PB⋅【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=6x ．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l 的参数方程可化为，代入y 2=6x 得t 2﹣4t ﹣12=0．解得t 1=﹣2，t 2=6．∴||=|t 1﹣t 2|=8．2AB 2PA PB 3=⋅ 5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方程3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为．由得，曲线C2的直角坐标方程为．（2）设P（2cosα，2sinα），则点P到曲线C2的距离为．当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M 1M 2|的最小值为．12．设点A 为曲线C ：ρ=2cosθ在极轴Ox 上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，（1）求曲线C 的参数方程；（2）以A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B 在A 的右下方），求点B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）θ为参数）1cos (0sin 2x y θπθθ=+⎧≤≤⎨=⎩（2）：设A （ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B （ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]，则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，]；（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sin∠TAO=，由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，由于∠TAO=∠TOX，所以∠TOX=，T点的极坐标为（，）．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
完整word版高考极坐标与参数方程大题题型汇总附详细答案
高考极坐标与参数方程大题题型汇总?cos1?x???OC x xoy(为参数）为极点，的参数方程1．在直角坐标系中，圆．以轴的??sin?y?非负半轴为极轴建立极坐标系．C）求圆的极坐标方程；（1?????lC3?3cos3)?(sin?:OM的交点为，与圆）（2的极坐标方程是直线射线3l O PQQ P与直线的交点为的长．、，求线段, 22????C1?yx(?1)?sin?y cos?,x; ，又圆的普通方程是:解(1)??C2cos?所以圆分.---5的极坐标方程是???1?2cos???111????),(P. (2)为点设解得的极坐标，则有????11??????113?3???3?????3?(sin3?3cos)2222????),(Q设为点解得的极坐标，则有????22??????223?3?????2?PQ???PQ的长为由于，所以线段，所以2.2121x??4t?a?Olt xOy点为极2．已知直线中，以的参数方程为为参数），在直角坐标系（?y?3t?1?x M的方程为轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆点，2???8sin??6?．M）求圆的直角坐标方程；（1la3M的值．所得弦长为（2）若直线，求实数截圆22222???13???8?x(y?)?y????6?sin?8xy6）∵1解：（，221?x(?3)?yM分）(5；的直角坐标方程为∴圆．ax??4t??lt0?4y??4?3a3x，（化为普通方程得：2）把直线为参数）的参数方程（?1?3ty??ll3(0,3)MMM为长的圆心所得到直线离的距∵直线弦截，且圆圆913a|3|16?93732??a?aa??d1)??或．，∴(10或分）2662522??cos5x?2?????sin5y?1???，以直角坐标系原点为极点，为参数的参数方程为) (3．已知曲线C Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
c的极坐标方程（1）求曲线?ll的极坐标方程为截得的弦长。
极坐标与参数方程专项训练和详细答案
一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中.圆C ：ρ2+k 2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4.﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线.则切线长为（ ）B二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下.直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为..则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为_________ ．7．在极坐标系中.点M （4.）到直线l ：ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A.B 两点.则点M （﹣1.2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sinθ.以极点为坐标原点.极轴为x的正半轴.建立平面直角坐标系.直线l 的参数方程是为参数）.则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建极坐标系.两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acosθ（a ＞0）.过点P （﹣2.﹣4）的直线l 的参数方程为.直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列.则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A.B..则|AB|=13．在平面直角坐标下.曲线.曲.若曲线C 1、C 2有公共点.则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中.直线l 的参数方程为（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位.且以原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴）中.圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B.若点P 的坐标为.求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1.0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M.N 两点.则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中.已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点.求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中.圆C 的参数方程为（θ为参数）.直线l经过点P（1.1）.倾斜角.（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A.B.求点P到A.B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中.曲线C 的参数方程为（θ为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴）中.直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中.圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）则圆心所以.2．过点A（4.﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线.则切线长为（）.）即==43．在平面直角坐标系xOy中.点P的坐标为（﹣1.1）.若取原点O为极点.x轴正半轴为极轴.建立极坐（（（|OP|=∠POX=2kπ+∠POX=2kπ﹣.kB∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下.直线与圆的公共点个数是1 ．解：直线.x+y=半径等于圆心到直线的距离等于.6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为..则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为d=|CQ|=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中.点M （4.）到直线l ：ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d=．））化成直角坐标方程为（2.2）故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．4ρ解：∵极坐标方程∴4ρ=5.9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A.B 两点.则点M （﹣1.2）到弦AB 的中点的距离为 ．==. ×=…（故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sinθ.以极点为坐标原点.极轴为x的正半轴.建立平面直角坐标系.直线l的参数方程是为参数）.则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．.圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建极坐标系.两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acosθ（a ＞0）.过点P （﹣2.﹣4）的直线l 的参数方程为.直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列.则实数a 的值为 1 ．2|x |x 程则由∴2=.2=|x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A.B..则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=.把曲线=联立得：..x ﹣|AB|=．213．在平面直角坐标下.曲线.曲线.若曲线C 1、C 2有公共点.则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线.曲线∴﹣2|≤2.≤2a﹣2≤2≤a≤1+.故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中.直线l 的参数方程为（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位.且以原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴）中.圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B.若点P 的坐标为.求|PA|+|PB|． 的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ）即由于所以=15．已知过定点P（﹣1.0）的直线l ：（其中t为参数）与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0交于M.N两点.则PM．PN= 7 ．：（）﹣4×t=7=0.三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中.已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点.求点P到直线l距离的最小值．）化简为：ρcosθ+ρsinθ=2d=cosγ=.sinγ==2．17．在平面直角坐标系xOy中.圆C的参数方程为（θ为参数）.直线l经过点P（1.1）.倾斜角.（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A.B.求点P到A.B两点的距离之积．的参数方程把直线∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为（θ为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴）中.直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。
极坐标及参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位。
直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014)〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，〔α为参数〕交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是。
极坐标与参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ）（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）223(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____..【答案】5 【解析】.5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
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1．(2016·安庆一模)在极坐标系中，点(2，π
3)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为( )
A ．2 B. 4＋π2
9
C.
1＋π2
9
D. 3
2．(2016·马鞍山二模)直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝6，圆C ：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos θy ＝sin θ
(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为( ) A ．32＋1 B ．3 2 C ．32－1
D ．32＋2
3．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 1
2y ＝t －1
2
B.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝sin t y ＝1
sin t
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos t y ＝1
cos t
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝1
tan t
4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的图象为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
5．直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋2t y ＝2＋t
(t 为参数)被圆x 2
＋y 2
＝9截得的弦长为( )
A.125
B.
125
5 C.955
D.
910
5
6．(2017·黄山质检)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A ．4 3
B ．5 3
C ．4
D ．5
7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin(θ＋π
3
)
D ．ρ＝4sin(θ－π
3
)
8．(2016·皖南八校联考)若直线l ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2t y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ为参数)相切，则实数m 为( ) A ．－4或6 B ．－6或4 C ．－1或9 D ．－9或1
二、填空题
9．已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2
y ＝t
(t ∈R )，则它
们的交点坐标为________．
10．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B
分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为
________．
11．已知曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋cos t
y ＝3＋sin t (t
为参数)，C 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝8cos θ
y ＝3sin θ(θ为参数)．若曲
线C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2
，Q 为曲线C 2上的动点，则线段PQ 的中点M 到直线C 3：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2t y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值为________．
12．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：ρsin 2
θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t ，y ＝－4＋22
t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等比
数列，则a 的值为________.
答案精析
1．D [由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3
＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3
可知，点(2，π
3
)的直角坐标为(1，3)，圆
ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2＋y 2
＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.]
2．A [由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6，圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝1，则圆心到直线的距离d ＝
6
2
＝32，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为32＋1.] 3．D [由xy ＝1，知x 取非零实数即可，而选项A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制．] 4．C [由ρcos θ＝4sin θcos θ，得cos θ＝0或ρ＝4sin θ.即θ＝k π＋π2或x 2＋y
2
＝4y ，所以方程表示的是一条直线和一个圆．]
5．B [由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t ，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋
5t ×25
，
y ＝2＋
5t ×
1
5
，
把直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2
＋y 2
＝9，
得(1＋2t )2
＋(2＋t )2
＝9，5t 2
＋8t －4＝0， |t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－852＋165＝125，
弦长为5|t 1－t 2|＝1255
.]
6．A [直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2
＝16，圆心坐标为(0,0)，则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝
222＝2，所以直线被圆截得的弦长为242
－22
＝4 3.]
7．A [圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝4，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，圆x 2
＋(y －2)2
＝4与直线x ＝2显然相切．]
8．A [由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t
y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ
为参数)，得曲线C ：x 2
＋(y －m )2
＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
|m －1|
22
＋1
＝5，解得m ＝－4或m ＝6.] 9．(1，25
5
)
解析 由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)得x 2
5
＋y 2
＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2y ＝t
(t ∈R )得x ＝54
y 2
，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
5＋y 2＝1，
x ＝5
4
y 2
，则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2
＝－4(舍去)，则x ＝54
y
2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为(1，25
5)．
10．1
解析 消掉参数θ，得到曲线C 1的普通方程为(x －3)2
＋y 2
＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是单位圆，所以|AB |的最小值为3－1－1＝1. 11.855
解析 曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2
9＝1，曲线C 1
为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．当t ＝π
2时，点P 的坐标为(－4,4)．Q 为曲线C 2上的动点，
设Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ)，
直线C 3的参数方程化为普通方程为x －2y －7＝0， 点M 到直线C 3的距离d ＝
5
5
|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值85
5.
12．1
解析 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为y 2
＝2ax ，将直线l 的参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t y ＝－4＋22
t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，得到t 2
－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.
设直线上的M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )．因为|MN |2
＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2
＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝t 1t 2，解得a ＝1.。