第一章 整式的运算
第一章：整式的运算概念
第一章：整式的运算单项式整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
整 式 的运 算4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
七年级下册数学各章知识点总结
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整 式 的 运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
整式的运算(总结)教案
第一章 整式的运算, 回顾与思考（1）教学目标:1.知识目标: ①整式的概念及其加减混合运算, ②幂的运算性质, ③整式的乘法, ④整式的除法教学难点：形成知识体系, 灵活运用所学知识解决问题教学过程: 一、本章知识结构框架图1、引导学生回忆本章的内容, 初步组成框架图2.教师用多媒体显示框架图现实世界其他学科数学中的问题情境 ①整式的概念及其运算②整式及其运算解决问题二、根据知识结构框架图, 复习相应概念法则1.请学生看书P3并回答下列问题例1（多媒体显示）在代数式中, a, -b , , 3 , , 5中哪些是单项式？哪些是多项式？若是单项式, 请说出它的系数和次数, 若是多项式, 请说出它是几次几项式？2.请学生计算例2 （2x2y+3xy2）-(6x2y-3xy2)答案: 6xy2-4x2y并回答如何进行整式的加减运算？ 整式加减的一般步骤是什么？3、进行幂的运算法则是什么？有哪些条件限制？小级讨论合作回答: ①n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）②mn n m a a =)(（m 、n 为正整数）③n n n b a ab =)(（m 、n 为正整数）④ （a ≠0, m 、n 为自然数, m>n ）⑤a 0=1（a ≠0）⑥a-p= （a ≠0, P 为自然数）例3：计算, 并指出运用什么运算法则①x 5·x 4·x 3 ②(21)m ·（0.5）n ③(-2a 2b 3c)2 ④(-9)3·(31)3·(-32)3⑤b n+5÷b n-2⑥(27a 3b 2)÷(9a 2b)·(-31b)-14.整式的乘法:例4: 计算 ①（31a 2b 3）·(-15a 2b 2) ②(21x 2y-2xy+y 2)·2xy ③(2x+3)(3x+4) ④(3x+7y)(3x-7y)⑤(x-3y)2 ⑥(x+5y)2答案:①-5a 4b 5 ②x 3y 2-4x 2y 2+2xy 3 ③6x 2+17x+12 ④9x 2-49y 2 ⑤x 2-6xy+9y 2 ⑥x 2+10xy+25y 2学生演算后并回答是用的什么运算法则或乘法公式5.整式的除法复习单项式除以单项式, 多项式除以单项式的运算法则例5: ①（a2b2c2d ）÷( ab2c) ②(4a3b-6a2b2+2ab2)÷(-2ab)解: ①原式=2acd ②原式=-2a2+3ab-b三、小结:回到框架图, 并讨论它们之间的联系四、作业P 44复习题A 部分习题第一章 整式的运算, 回顾与思考（2）教学目标:1.知识点①整式的混合运算, ②整式的综合应用, ③进一步加强对全章知识体系的认识。
第一章整式的运算
一
＝
５ — ） ３ — ）一（ Ｙ ２ — ） （ Ｙ一 （ Ｙ — ）＋ （ Ｙ
２ — ） （ ｙ
＝ （ Ｙ 一 （ Ｙ ７ ｚ— ） ６ 一 ）
—
（） １ 单项式 的系数 ： 单项式 中的数字因数 ；
（） ２ 单项 式的次 数 ： 单项 式 中所 有字母 的指
数和 ；
解 ： ＋ ＋ ） ２ｙ 把 ＋ ： ， Ｙ ＝（ ｙ 一 ｘ ， Ｙ ８ ｘ ｙ＝１ 入 上 式 ， 式 ＝８ ２代 原 一２×１ ６ ２ ２＝ ４— ４＝
４ ． ０
２ｂ ｘ一４ ｘ．
学 法 指 导
【 知识趣律总结】
在本章 的学 习中 ， 要通过对上册学 习的数 的
一
倒 １ 项式 一 单
次 单项 式 ． 单项式 一 ２ 次单 项 式． 单项式 一 ４ 次 单 项 式．
的 系数 是
—
—
，
它 是
的系数是
—
一
，
它 是
２ ） 所 以 阴影 部分 的 面积 是 ａ 一（ 一２ ） ｂ ｚ． ｂ 。 （一
的 系数 是 一 １
，
正整 数 ） ．
２ 幂的运算性 质 （ ． 同底数 幂 的乘法 、 的乘 幂 方、 积的乘 方 、 同底 数幂的除法 、 零指数幂 和负整 数指数幂 ） ． ３ 整式 的乘 法运 算 （ ． 包括 单 项 式乘 以单项
式、 单项 式乘以多项式 、 多项式乘 以多项式 、 方 平 差公式 、 完全平方公式 ） ．
固（ ｂ ＝ａ ２ ｂ＋ｂ ， ａ＋ ） ＋ ａ 同时帮 助学 生进 一步 理解（ ａ＋ｂ 。 ａ ｂ ） 与 ＋ 的关 系． 图 １中阴影部 求
3.整式、分式及函数
( 14 3)2 ( 14 3)2 14 29 (14 9)2 15 10
例7 a1 a2 a3 a15 1
(1) ( x 1)7 ( x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15 (2) ( x 1)7 (2x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15
【考点的典型例题】
[题型1] 乘法公式的恒等变形 例1. 设 a , b , c 是互不相等的实数，且 x a 2 bc，y b2 ac，z c 2 ab ，则 x , y , z 满足（ ） A. 都大于 0 B. 至少有一个大于 0 C. 都不小于 0 D. 至少有一个小于 0 E. 都小于 0
[题型2] 考查待定系数法 例3 如果多项式 f ( x) x px qx 6 含有一次因式 x +1 和 3 x ，则多项式另外一个一次因式是（ ） 2 A. x – 2 B. x + 2 C. x – 4 D. x + 4 E. x + 5
3 2
3 f ( x) x px qx 6 ( x 1)( x )( x m) 2 3m f ( 0) 6 m4 2
系统班数学第二部：代数
第一章 整式、分式和函数 第二章 方程和不等式 第三章 数列
第一章 整式、分式和函数
第一节 整 式
一、代数式及其分类
单项式：仅是数与字母非负整数幂的乘积
1 2 xy 2
整式
代数式 分式
1 2 xy 3xz 多项式：有限个单项式的代数和 2
二. 整式的运算 1. 整式的加减运算: 去括号、合并同类项 . 2. 整式的乘法运算: 分配率、合并同类项
七年级数学下第一章整式的运算试题
2、在代数式：x5+5,－1,x2－3x,π,，x+整式的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．若5x|m|y2—(m－2)xy－3x是四次三项式，则m=___
4、计算：
5．已知a=，b=，c=，求1234a+2468b＋
617c的值．
6．已知：A=2x2+3ax－2x－1, B=－x2+ax－1且
（4）运算结果不是最简形式运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式．
（5）忽略符号而致错在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”号而致错．
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、鹿泉，2分）下列计算中，正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．a·a3=a3
C、a6÷a2=a3D、（－ab）2=a2b2
a b2c,－,－a3b2
12．若出为互为相反数，求多项式a+2a+3a+…+
100a+100b＋99b+…+2b+b的值．
13．已知代数式2x2＋3x+7的值是8，则代数式4x2
+ 6x+ 200=___________
14．证明代数式16＋a－｛8a－［a－9－（3－6a〕｝的值与a的取值无关．
（2）按题目要求写出一个与上述不同的代数恒．等式，画出与所写代数恒等生对应的平面几何图形即可（答案不唯一）．
点拨：本题是一道阅读理解题，是中考的热点题型．
三、针对性训练：( 30分钟) (答案：219 )
1、下列两个多项式相乘，可用平方差公式（）．
（1）（2a－3b）（3b－2a）；
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文第一章：整式的乘法1.1 教学目标理解整式乘法的基本概念掌握整式乘法的基本法则能够正确进行整式乘法运算1.2 教学内容整式乘法的定义和基本概念整式乘法的基本法则整式乘法的运算步骤1.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式乘法的运算技巧1.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式乘法的应用能力第二章：整式的除法2.1 教学目标理解整式除法的基本概念掌握整式除法的基本法则能够正确进行整式除法运算2.2 教学内容整式除法的定义和基本概念整式除法的基本法则整式除法的运算步骤2.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式除法的运算技巧2.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式除法的应用能力第三章：因式分解3.1 教学目标理解因式分解的基本概念掌握因式分解的基本方法能够正确进行因式分解运算3.2 教学内容因式分解的定义和基本概念因式分解的基本方法因式分解的运算步骤3.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解因式分解的概念和法则使用多媒体教学工具，展示因式分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固因式分解的运算技巧3.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对因式分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对因式分解的应用能力第四章：多项式的乘法4.1 教学目标理解多项式乘法的基本概念掌握多项式乘法的基本法则能够正确进行多项式乘法运算4.2 教学内容多项式乘法的定义和基本概念多项式乘法的基本法则多项式乘法的运算步骤4.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式乘法的运算技巧4.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式乘法的应用能力第五章：多项式的除法5.1 教学目标理解多项式除法的基本概念掌握多项式除法的基本法则能够正确进行多项式除法运算5.2 教学内容多项式除法的定义和基本概念多项式除法的基本法则多项式除法的运算步骤5.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式除法的运算技巧5.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式除法的应用能力第六章：平方差公式与完全平方公式6.1 教学目标理解平方差公式和完全平方公式的基本概念掌握平方差公式和完全平方公式的运用能够运用平方差公式和完全平方公式进行整式的运算6.2 教学内容平方差公式的定义和基本概念完全平方公式的定义和基本概念平方差公式和完全平方公式的运用6.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解平方差公式和完全平方公式的概念使用多媒体教学工具，展示平方差公式和完全平方公式的运用过程提供充足的练习机会，让学生巩固平方差公式和完全平方公式的运用技巧6.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对平方差公式和完全平方公式的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对平方差公式和完全平方公式的应用能力第七章：分式的乘除法7.1 教学目标理解分式乘除法的基本概念掌握分式乘除法的运算方法能够正确进行分式乘除法的运算7.2 教学内容分式乘除法的定义和基本概念分式乘除法的运算方法分式乘除法的运算步骤7.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式乘除法的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式乘除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式乘除法的运算技巧7.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式乘除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式乘除法的应用能力第八章：分式的化简与分解8.1 教学目标理解分式化简与分解的基本概念掌握分式化简与分解的方法能够正确进行分式的化简与分解运算8.2 教学内容分式化简与分解的定义和基本概念分式化简与分解的方法分式化简与分解的运算步骤8.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式化简与分解的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式化简与分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式化简与分解的运算技巧8.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式化简与分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式化简与分解的应用能力第九章：整式与分式的综合应用9.1 教学目标理解整式与分式的综合应用的基本概念掌握整式与分式的综合应用的方法能够正确进行整式与分式的综合应用运算9.2 教学内容整式与分式的综合应用的定义和基本概念整式与分式的综合应用的方法整式与分式的综合应用的运算步骤9.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式与分式的综合应用的概念和方法使用多媒体教学工具，展示整式与分式的综合应用的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式与分式的综合应用的运算技巧9.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式与分式的综合应用的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式与分式的综合应用的应用能力第十章：复习与提高10.1 教学目标巩固本单元所学知识提高学生解决实际问题的能力培养学生的数学思维和综合运用能力10.2 教学内容复习整式、分式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式等基本概念和运算方法通过实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题总结本单元的重点知识和难点知识10.3 教学方法通过练习题和实际问题，让学生巩固所学知识使用多媒体教学工具，展示实际问题的解决过程组织小组讨论，培养学生的合作学习和解决问题的能力10.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对复习内容的掌握程度设计一些综合性的题目重点解析本文全面介绍了整式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式、分式的乘除法、分式的化简与分解、整式与分式的综合应用等基本概念、运算方法和实际应用。
【中考-章节复习五】 第一章 整式的运算
提高复习效 率,你一定 行!
知识点:
, a 2 h 等,都是数与字母的乘积,这 样的代数式叫做单顶式.几个单项式的和叫做多 π 1 1 项式,例如 ab - 16 b , 2 ab - 2 mn 等.单顶式和多项式 统称整式. 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个
2
π 2 3 像 16 b , 5 x
计算下列各式:
1 1 2 2 3 2 (1) (2xy ) • ( xy) = (2 × ) • ( xx) • ( y y ) = x y 3 3 3 2 3 [(-2) ×(-3)](a 2a) • b 3 = 6a 3b 3 (2) (-2a b ) • (-3a ) =
2
(3) ( 4 ×10 ) • (5 ×10 ) 5 4 9 10 = (4 ×5) • (10 ×10 ) = 20 ×10 = 2 ×10
幂 的 乘 方
?
(2 ) = 2
3 6
(2) 8 = 8×8×8×8×8×8
= (2 )
3 6
?个2 3
(2 ) = 2
?
即
(a ) = a
m n
mn
(m,n都是正整数)
不变 相乘 幂的乘方,底数_____,指数_____.
------ 幂的乘方运算法则 2.如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体 3 积是乙球的 n 倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体,木 星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 10 2 倍, 3 (10 2 ) 3 = 10 6 它们的体积分别约是地球的____、_________倍. 10
= 20 ×10 = 2 ×10 2 12 答:它工作 5 ×10 秒可做 2 ×10 次运算.
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第一章 整式的运算
一、填空题
1、（a ＋b ）2= ，（a －b ）2= .
2、x 2＋y 2=（x+y ）2－ ＝（x －y ）2＋ .
3、m 2＋21m
＝（m ＋m 1）2－ . 4、(13x+3y)2= ,( )2=14
y 2-y+1. 5、( )2=9a 2-________+16b 2,x 2+10x+______=(x+_____)2.
6、若x －y ＝3，x ·y ＝10.则x 2＋y 2＝ .
7、(a-b)2+________=(a+b)2, x 2+
21x
+__________=(x-_____)2. 8、如果a 2+ma+9是一个完全平方式,那么m=_________. 9、(x+y-z)(x-y+z)=___________.
10、若016822=+-+-n n m ，则______________,==n m 。
11、若16)3(22+-+m x 是关于x 的完全平方式，则________=m 。
12、已知多项多项式14223--x x 除以多项式A 得商式为x 2，余式为1-x ，则多
项式A 为________________。
13、一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加12cm 2,•这个正方形的边长是
___________.
14、已知长方形的周长为40,面积为75,则以长方形的长和宽分别为边长的正方
形面积之和是___________.
二、选择题
1、下列运算中,错误的运算有( )
①(2x+y)2=4x 2+y 2, ②(a-3b)2=a 2-9b 2 ,
③(-x-y)2=x 2-2xy+y 2 ,④(x-12)2=x 2-2x+14
, A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、要使x 2－6x ＋a 成为形如（x －b ）2的完全平方式，则a ，b 的值（ ）
A .a ＝9，b ＝9
B .a ＝9，b ＝3
C .a ＝3，b ＝3
D .a ＝－3，b ＝－2
3、若a 2+b 2=2,a+b=1,则ab 的值为( )
A.-1
B.-12
C.-32
D.3 4、若x 2＋mx ＋4是一个完全平方公式，则m 的值为（ ） Ａ.2 Ｂ.2或－2 Ｃ.4 Ｄ.4或－4
5、若（x －y ）2＋Ｎ＝x 2＋xy ＋y 2，则Ｎ为（ ）
Ａ.xy Ｂ 0 Ｃ.2xy Ｄ 3xy
6、若2441x x -=-,则2x
=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
7、已知x-y=4,xy=12,则x 2+y 2的值是( )
A.28
B.40
C.26
D.25
8、若x 、y 是有理数,设N=3x 2+2y 2-18x+8y+35,则( )
A.N 一定是负数
B.N 一定不是负数
C.N 一定是正数
D.N 的正负与x 、y 的取值有关
三、计算：
（1）（x －2y ）（x ＋2y ）－（x ＋2y ）2；
（2）.(a +b －c )(a －b －c ) （3）.(2x +y －z )
2
四、简答题
1、先化简。
再求值：（x ＋2y ）（x －2y ）（x 2－4y 2），其中x ＝2，y ＝－1.
2、解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝4
1.
3、根据已知条件，求值：
（1）已知x －y ＝9，x ·y ＝5，求x 2＋y 2的值.
（2）已知a （a －1）＋（b －a 2
）＝－7，求22
2b a +－ab 的值.
思考题：1、如图1，化简|x －y +1|－2|y －x －3|+|y －x |+5
图1
2、已知222a b c ++-ab-bc-ca=0,试说明：a=b=c.
（作业）
2、计算
（1）（2a＋1）2－（1－2a）2；
（2）（3x－y）2－（2x＋y）2＋5x（y－x）.。