数学物理方法8-无界域的定解问题
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什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
数学物理方法第八章
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
Wuhan University
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
Wuhan University
习题课
二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
三类典型的数学物理方程
内容回顾
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
数学物理方法--格林函数法
第二类边界条件 第三类边界条件
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
u (r ) 和 设
T
在
上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV
T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u
f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问 题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
u (r ) 和 设
T
在
上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV
T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u
f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问 题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '
数学物理方程及定解问题
这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)
膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
数学物理方法2015.02
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
数学物理方法2015.02
第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
数学物理方法2015.02
第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
数学无界的定义
数学无界的定义数学无界是指数学领域中存在着无穷多的数学对象、无穷多的数学问题以及无穷多的数学理论。
与其他科学领域不同的是，数学不受时间、空间、和人类认知能力的限制，因此具有无界性。
数学无界体现在数学对象的无穷性上。
数学研究的对象可以是整数、有理数、实数、复数等等，而这些数集都是无穷的。
无论是自然数的集合还是实数的集合，都包含着无穷多的元素，没有边界或限制。
数学家们探索这些数集的性质，研究它们之间的关系和相互作用，从而推动了数学的发展。
数学无界还体现在数学问题的无穷性上。
在数学领域中，存在着无数个数学问题等待解决。
无论是代数、几何、概率、统计还是数论等等，都有大量的问题等待研究者去发现、去探索、去解决。
这些问题可能是基础的，也可能是复杂的，但它们的数量是无穷的。
数学家们通过研究这些问题，探索出新的数学定理和原理，推动了数学的发展。
数学无界还体现在数学理论的无穷性上。
数学是一个自洽的体系，其中的理论和定理相互联系、相互支撑。
数学理论的发展是无穷的，每个理论的推导和证明都会引申出更多的理论和定理。
数学家们通过不断地研究和探索，创造出了许多重要的数学理论，如微积分、线性代数、群论等等。
这些理论为解决实际问题提供了强大的工具和方法。
数学无界还体现在数学应用的无限性上。
数学是一门应用广泛的学科，在各个领域都有着广泛的应用。
从物理学到工程学，从经济学到计算机科学，数学都扮演着重要的角色。
数学的无界性使得它具有广泛的应用领域，而且这些应用领域也在不断地扩展和深化。
数学的应用无限，推动了其他科学领域的发展。
数学无界是指数学领域中存在着无穷多的数学对象、无穷多的数学问题以及无穷多的数学理论。
数学的无限性使得它具有广泛的应用领域，并且推动了数学和其他科学领域的发展。
数学无界的存在使得数学成为一门富有创造力和无限潜力的学科，也是人类认知和探索世界的重要工具之一。
第一讲定解问题
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
(
x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M,t)|t0(M) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
其中 f F . c
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
忽略重力作用：
2u t 2
a2
(
x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M,t)|t0(M) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
其中 f F . c
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
忽略重力作用：
2u t 2
a2
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三、半无界问题
关于延拓的讨论：
1 最简单的非平凡延拓是奇延拓或偶延拓； 2 泛定方程中u关于x的导数项是偶数阶导数，不论
作奇延拓或偶延拓，只要它在x 0满足方程，在x 0 会同样满足方程。
若存在条件u(0, t ) 0, 则u( x , t )关于x作奇延拓； 3 在x 0， 若存在条件ux (0, t ) 0, 则u( x , t )关于x作偶延拓。
三、半无界问题
奇延拓：
x0 ( x ), ( x ) ( x ), x 0
x0 ( x ), ( x ) ( x ), x 0
tt a 2 u xx 0, u x R1 , t 0 新的定解问题： u ( x , 0) ( x ), x R1 1 u ( x , 0) ( x ), x R t
速度v a
左行波 G x at
二、一维波动方程的初始值问题（柯西问题）
例:
utt a 2 uxx , x R, t 0 1 x , x [1, 0] u( x , 0) 1 x , x [0,1] 0, 其它 u ( x , 0) 0, x R t
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
一、二阶线性偏微分方程的分类
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
其中系数：
2 2 A11 a11 x 2a12 x y a22 y A12 ... A a 2 2a a 2 22 11 x 12 x y 22 y B1 ... B2 ... C c F f
当 1/4a≤ t ≤ 1/2a
0 x 1 x, 2 at 1 1 at , 2 2 at x at u ( x, t ) 1 at x 1 at 2 at , 1 ( x at ), 1 at x 1 2 2 at 1 1 2 (1 x at ), 2 at x 1 at
一、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式：
a u
j 1 i 1 ij
n
n
xi x j
bi uxi cu f
i 1
n
其中，aij，bi，c，f 是自变量的已知函数。
两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
2
一、二阶线性偏微分方程的分类
dy dy a11 2a12 a22 0 dx dx
被称为二阶线性偏微分方程的特征方程。 x , y 常数 设方程的解 x , y 常数 对应的曲线称为特征曲线。
2
一、二阶线性偏微分方程的分类
dy dy a11 2a12 a22 0 dx dx
2 根据判别式 x , y a1 2 a11a12的符号将
2
二阶线性偏微分方程（PDE）分为三类：
1 x , y a a11a12 0, 称双曲型PDE； 2 2 x , y a12 a11a12 0, 称抛物型PDE； 2 3 x , y a12 a11a12 0, 称椭圆型PDE。
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ),
1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
1 ( x at ) ( x at ) , at x 2 u ( x, t ) 1 (at x) ( x at ) , at x 2
当 0 ≤t ≤ 1/4a
0 x at x, 1 x , at x 2 at 1 1 u ( x, t ) 1 2 at , 2 at x 2 at 1 x, 1 2 at x 1 at 1 2 (1 x at ), 1 at x 1 at
1 1 x at ( x , t ) ( x at ) ( x at ) u ( )d x at 2 2a
则有
( x, t ) x 0 且 u( x, t ) u
(0, t ) 0 u(0, t ) u
1 x at 1 ( x at ) (at x ) ( )d , 0 x at 2 2a at x u( x , t ) 1 ( x at ) ( x at ) 1 x at ( )d , x at 2a x at 2
2
一、二阶线性偏微分方程的分类
dy dy a11 2a12 a22 0 dx dx
方程可分为两个方程： dy a a 2 a a 12 11 12 12 a11 dx 2 a a dy 12 12 a11a12 a11 dx
当 0≤t≤1/2a
1 2 (1 x at ), 1 x, u ( x, t ) 1 at , 1 x, 1 2 (1 x at ), 当 1/2a≤ t≤1/a 1 at x 1 at 1 at x at at x at at x 1 at 1 at x 1 at
物理解释： 认为弦很长，给定初始位移和速度，并且 没有强迫外力作用。
二、一维波动方程的初始值问题（柯西问题）
utt a 2 uxx 0, x , t 0 u( x , 0) ( x ), u ( x , 0) ( x ), x t 2 dx 2 解：特征方程为： a 0 dt
一、二阶线性偏微分方程的分类
a z 2a12 zx z y a z 0
2 11 x 2 22 y
若视y为x的函数，由隐函数求导法则， zx dy dx zy 则上述方程变为一个常微分方程： dy dy a11 2a12 a22 0 dx dx
U 设： f , 则U f d G 0
U , F G 则：u( x , t ) F x at G x at F ( x ) G( x ) ( x ) 代入初始条件， ( x) F '( x ) G '( x ) a 1 1 x 1 F ( x) ( x) ( s )ds C 0 2 2a 2 积分后得： G ( x ) 1 ( x ) 1 x ( s )ds 1 C 2 2a 0 2
u( x , t )
x
t
三、半无界问题
定解问题——半无界弦的自由振动
x 0, t 0 utt a 2 uxx , u( x , 0) ( x ), ut ( x , 0) ( x ), x 0 u(0, t ) 0, t0
1 延拓 x , x 的定义到整个实轴； 2 延拓u x , t 的定义到全平面 x R1 , t 0 ; 3 用D'Alembert公式求解； 4 再把得到的解限制在 x 0, t 0内。
三、半无界问题
对于 ux 这种类型的半无界问题，
x பைடு நூலகம்0
与上面完全类似地作偶延拓求解。
• 举例
utt a 2u xx , x, u ( x , 0) 1 x, 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 2] x [ 1 2 ,1] 其它 xR t0
一、二阶线性偏微分方程的分类
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
为使方程具有更简单的形式，作自变量代换， 令 x , y , x , y 同时，x x , , y y ,
二、一维波动方程的初始值问题（柯西问题）
D’Alembert公式：
1 1 x at u( x , t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
依赖区间 影响区域
二、一维波动方程的初始值问题（柯西问题）
“通解” u( x, t ) F x at G x at 右行波 F x at
1 at x at at x 1 at 1 at x at at x 1 at
当 t >1/a
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 2 (1 x at ), 1 (1 x at ), 2
2 12
（两个自变量）
二、一维波动方程的初始值问题（柯西问题）
弦振动方程的初始问题-无界弦的振动(教材P260)
utt a 2 uxx 0, x , t 0 u( x , 0) ( x ), u ( x , 0) ( x ), x t
x , t x at 两个特解为： x , t x at 作自变量代换，u x , t U , , 代入泛定方程得： 2U 0