广义逆矩阵
矩阵论广义逆矩阵
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于 的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设 ，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且 如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ， ；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意 矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设 ，则 的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵 才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
矩阵的广义逆
矩阵的广义逆矩阵的广义逆，也称为矩阵的伪逆或摩尔-彭若斯广义逆，是指对于任意一个矩阵A，存在一个矩阵A+，使得满足AA+A = A和A+AA+ = A+。
有时也会写作A†来表示矩阵A的广义逆。
对于一个非方阵矩阵，它的伪逆可以分为两种情况：1. 如果矩阵 A 的行数小于列数，那么 A 的伪逆定义为满足 A A+ A = A 的矩阵 A+。
而对于方阵矩阵，它的伪逆和逆矩阵可以等价。
即 A A-1 A = A。
矩阵的广义逆具有以下的性质：1. A+ 也是广义逆矩阵。
即 A++ = A+。
2. A+ 的列空间就是 A 的列空间的伪逆。
即Col(A+) = Col(A)⊥。
其中⊥ 表示正交补。
6. 若 A 是满秩的，则其广义逆 A+ 就是其逆 A-1。
广义逆的应用相当广泛，其中一个典型的例子就是矩阵最小二乘问题。
在最小二乘问题中，我们需要求解一个线性方程组 Ax = b，其中矩阵 A 不一定满秩。
在这种情况下，我们可以使用广义逆来求解这个问题。
具体方法是通过求解矩阵 (ATA)+ ATb 来得到线性方程组的近似解。
由于经过广义逆变换后的矩阵 A+ 可以在秩不足的情况下仍然存在，因此我们可以使用广义逆来获得一个较好的近似解。
同时，广义逆还可以用于求解线性回归、广义线性回归和主成分分析等问题。
总之，矩阵的广义逆是线性代数中一个非常常用的概念，具有广泛应用和重要的数学意义。
通过理解和掌握广义逆的性质和应用，可以帮助我们更好地处理线性方程组等问题，从而有效提高数据分析和科学计算的效率和准确性。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是数学中常见的一种概念，它也被称为奇异值分解（SVD）或反矩阵（INV）。
它的定义可以用矩阵的形式表示：它是一个方阵A的反函数，可以把方阵A的列投影到A的行上，并且，A的行可以投影到A的列上。
广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，而且还有许多应用，比如科学数值计算和模式识别等都要用到它。
广义逆矩阵最早被提出于1890年，由英国数学家哈密尔顿发现，他发现了一个定理：任何原矩阵A可以化简为一个单位矩阵U和一个单位对称矩阵V的乘积，其中U和V的乘积就是A的广义逆矩阵。
这个定理是有益的，可以极大地简化计算乘积的过程，使得求解大型矩阵的逆矩阵成为可能。
为了更好地理解广义逆矩阵，我们可以用一个实际的例子来说明：假设有一个5x5的方阵A，它的第一行是：a11, a12, a13, a14, a15如果我们求这个方阵A的广义逆矩阵，则我们需要将该矩阵A化简为单位矩阵U和单位对称矩阵V的乘积，同时要求U和V分别除以矩阵A的每一行：u1/a11, u2/a12, u3/a13, u4/a14, u5/a15v1/a11, v2/a12, v3/a13, v4/a14, v5/a15最后，乘积U和V就是方阵A的广义逆矩阵了。
广义逆矩阵也可以用来求解一般的线性方程组。
假设要求解一元n次方程组ax+by=c，其中a，b和c是实数，x和y是未知数。
首先，我们可以把方程组以矩阵形式写出：A = [ a b ; c 1 ]然后可以计算A的广义逆矩阵A^-1，关于x和y的一元n次方程组的解就是A^-1中的每一列向量：x = [ x ; y]因此，我们只要计算出A的广义逆矩阵，就可以得到方程组的解。
此外，广义逆矩阵在科学数值计算和模式识别中也有重要的应用。
在科学数值计算中，它可以用来简化符号计算，以及求解矩阵的积分。
在模式识别中，它可以用来求解线性模型，如最小二乘拟合，和多变量模型，从而用于数据分析和建模等。
综上所述，广义逆矩阵是一个极其重要的概念，它在数学、科学计算和科学模式识别中都有着重要的应用，可以大大简化计算过程，使得解决大型矩阵的问题成为可能。
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。
广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。
经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。
此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。
例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。
此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。
上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。
可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。
总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。
如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。
矩阵广义逆
矩阵广义逆
1 矩阵广义逆
什么是矩阵广义逆？矩阵广义逆，又称为双射矩阵（Bidiagonal Matrix），是指一个n阶方阵A，对于该矩阵有一个n阶矩阵B满足
AB=BA=E，其中E为n阶单位矩阵，那么矩阵B就叫做矩阵A的广义逆。
记B为A^#。
2 求解矩阵广义逆
矩阵A的广义逆矩阵B存在，当且仅当A^*A存在逆矩阵，即A^*A 的逆矩阵为：(A^*A)^-1=A^-1*(A^*)^-1，其中A^*为A的共轭转置。
那么矩阵A的广义逆矩阵变成B=(A^*)^-1*A^-1。
这样，就可以使用共轭转置和逆矩阵的公式将矩阵A的广义逆矩阵B计算出来。
3 应用
矩阵广义逆在线性数学中有广泛的应用，例如在图像处理和微分
方程求解中都有广泛的应用。
在求解复杂的线性方程组时，通常也会
使用矩阵的广义逆来求解，从而简化求解的步骤。
在框架计算中，矩
阵的广义逆也被用来构建有效的模型，以了解问题的最优解。
因此可以看出，矩阵广义逆在线性数学中有着重要的作用，其计
算方法也非常简便，是一种重要的数学工具。
矩阵的广义逆和极小二乘解法
矩阵的广义逆和极小二乘解法矩阵是线性代数中非常基础的概念之一，其应用非常广泛，涉及到各个领域，如计算机科学、工程学、物理学、统计学等等。
然而，在矩阵的运算之中，我们常常会遇到矩阵的求逆问题。
然而，实际上，在一些情况下，矩阵并没有逆矩阵，这时候，我们就需要引入矩阵的广义逆(Generalized Inverse)，来解决问题。
1.矩阵的广义逆在一些情况下，我们无法找到一个矩阵A的逆矩阵，这时候，我们可以引入矩阵的广义逆概念。
对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得B满足以下条件:AB = A,BA = B,(AB)^T = AB,(BA)^T = BA，那么我们称矩阵B是矩阵A的广义逆。
矩阵A不一定存在逆矩阵，但是一定存在广义逆矩阵。
矩阵的广义逆具有如下性质:(1)A A+ A=A;(2) A+A A+= A+;(3) (A A+)A= A;(4) (A+A)A+= A+.在数值计算中，广义逆矩阵的应用非常广泛，常常用于求解那些没有精确解的问题，如线性回归、最小二乘法等等。
2. 矩阵的极小二乘法矩阵的极小二乘法(Least Squares)是一种数据拟合方法，用于寻找一条曲线(or 平面)最能拟合给定的数据点。
假设我们有n个数据点(x, y)，我们想寻找一条形如y = A + Bx的线性函数，使得它最能拟合这n个数据点。
在这个问题中，我们令y为坐标轴上的纵坐标，x为坐标轴上的横坐标，A为垂直截距，B为斜率。
同时，我们假设y和x之间的关系是线性关系，即y ≈ A + Bx。
对于给定的n个数据点(x1, y1), (x2,y2),…, (xn, yn)，我们可以将其表示为一个矩阵形式:y = [y1 y2 … yn]^T,X = [1 x1; 1 x2; … ; 1 xn];其中y是一个n维列向量，X是一个n行2列的矩阵，对于每一行i，它表示为[1 xi]。
我们的目的是寻找一个2维列向量β，使得它最能拟合y，即：y ≈ Xβ在这里，我们考虑一个误差函数，它描述了我们模型的预测值与真实值之间的差异。
广义逆矩阵与线性最小二乘
广义逆矩阵与线性最小二乘广义逆矩阵及其应用是线性代数中一个重要的研究方向。
在许多实际问题中，我们需要找到一种方法来解决超定方程组的问题。
而广义逆矩阵就是解决这类问题的有效工具之一。
本文将介绍广义逆矩阵的定义和性质，并探讨其在线性最小二乘问题中的应用。
一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵，也被称为伪逆矩阵，是矩阵理论中的一种扩展。
对于任意的实矩阵A，它的广义逆矩阵记作A⁺。
如果存在一个矩阵B，满足以下条件：1）ABA=A；2）BAB=B；则矩阵B为A的广义逆矩阵。
二、广义逆矩阵的性质广义逆矩阵具有以下性质：1）(A⁺)⁺=A，即广义逆矩阵的广义逆矩阵等于原矩阵本身；2）(AB)⁺=B⁺A⁺，即矩阵乘法的广义逆等于矩阵广义逆的乘法；3）(Aᵀ)⁺=(A⁺)ᵀ，即转置矩阵的广义逆等于广义逆的转置；4）如果A是满秩矩阵，则A⁺=A⁻¹，即广义逆矩阵等于逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性最小二乘线性最小二乘问题是指在一组超定方程中，通过最小化误差的平方和，找到最佳的解。
设A为一个m×n的实矩阵，b为一个m维实向量，我们的目标是找到一个n维实向量x，使得||Ax-b||²取得最小值。
利用广义逆矩阵，线性最小二乘问题可以转化为求解如下方程的问题：A⁺Ax = A⁺b其中，A⁺表示A的广义逆矩阵。
解x = A⁺b即可得到最小二乘解。
2. 线性方程组的逼近解对于一个不一定可逆的矩阵A，我们可以通过广义逆矩阵来逼近求解线性方程组Ax=b。
即使A不是方阵，也可以通过广义逆矩阵来找到一个近似解。
通过求解A⁺Ax=A⁺b，我们可以得到一个逼近解x = A⁺b。
这在实际问题中往往是非常有用的，特别是当我们无法求解方程组的精确解时。
四、总结广义逆矩阵是一种重要的工具，在线性代数中广泛应用于解决超定方程组的问题。
它具有许多重要的性质，使得它成为线性最小二乘和逼近解的有力工具。
通过合理利用广义逆矩阵，我们可以在实际问题中找到最佳的解，为相关领域的研究和应用提供了新的途径。
广义逆矩阵
广义逆矩阵方程
设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1， 它具有如下性质：
AA1 I
A1 A I
AA1 A A
A1 AA1 A1
或者说， A-1是下述矩阵方程组的解
AXA A
(P1 )
XAX X
AX H AX
(P2 ) (P3 )
XAH XA (P4 )
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：
1 2 0 1 H 0 0 1 1,
0
设A的满秩分解为 A
0
0
BC
0
，则
B
2 1
1 1 ,
C 1 2 0
1
1 2
0 0 1 1
于是
A C H (CC H )1(BH B)1 BH
x min Ax b xC n
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满足矩阵方程AXA = A的解X可以表达为6.1式。 ⎡ Y1 Y2 ⎤ P 设X = Q ⎢ ⎥ ⎣Y3 Y4 ⎦ 0 ⎤ −1 ⎡ Y1 Y2 ⎤ −1 ⎡Er 0 ⎤ −1 −1 ⎡Er AXA = P ⎢ Q Q⎢ PP ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣ 0 0⎦ ⎣Y3 Y4 ⎦ Y2 ⎤ ⎡Er 0 ⎤ −1 −1 ⎡ Y1 Q =P ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0⎦ 0 ⎤ −1 0 ⎤ −1 −1 ⎡ Y1 −1 ⎡Er Q =P ⎢ Q =P ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣ 0 0⎦ 所以，Y1 = Er , Y2 ,Y3 ,Y4为相应阶数的任意子块。
0 0 0 − 1⎤ ⎡ 1 0 ⎢0 − 3 0 0 1 1⎥ ⎥ ⎢ 1 0 2 ⎥ ⎢0 − 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ → ⎢1 − 2 − 2 ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢0 0 0 ⎦ ⎣ − 1 ⎤ ⎡1 0 0 0 ⎢0 − 1 0 − 1/3 − 1/3⎥ ⎥ ⎢ 0 1 −1 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 1 ⎥ → ⎢1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 1 ⎦ ⎣
定理6.1
设矩阵A ∈ Cr , 且有可逆矩阵P ∈ C m 使得 ⎡Er 0 ⎤ PAQ = ⎢ ⎥ 0 0 ⎦ ⎣ 则 ⎡E A − ={X | X = Q ⎢ r ⎣Y W⎤ P,其中，W,Y,Z为相应阶数的任意子块} ⎥ Z⎦
m ×n m× m
和Q ∈ C n
n×n
证明：验证AXA = A ⎡Er 0⎤ −1 ⎡Er W ⎤ −1 ⎡Er 0 ⎤ −1 Q Q⎢ PP ⎢ Q AXA = P ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣ Y Z⎦ ⎣ 0 0⎦ W ⎤ ⎡Er 0 ⎤ −1 0 ⎤ −1 −1 ⎡Er −1 ⎡Er =P ⎢ Q =P ⎢ Q =A ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0⎦ ⎣ 0 0⎦
注意几点： 1. 验证有解条件b = AA−b, 只要取某一个A− 验证就可以了， 因为，b = AA−b只要对一个减号广义逆成立，则对所有减号 广义逆成立。 2. 由(6.4)可以看出，A−b是方程Ax = b的一个解，而 ( E − A− A) z ( z是任意的）为齐次Ax = 0的通解.从而，方程 Ax = b的解的结构为： 非齐次的一个特解＋对应齐次的通解。 3. (6.4)从理论上给出了方程Ax = b的解的形式，正如 x = A−1b从理论上给出了Ax = b的唯一解。
− −1
⎡E2 b = AA b = P ⎢ ⎣0
下面，我们考虑方程Ax = b的通解：
例题
⎡ 1 − 2 − 2 − 1⎤ −1 ⎤ 0 ⎡0 ⎢0 0 ⎥ 1 0 ⎥ ⎡E2 0 ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ − − 0 1/3 1/3 取A = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 1 0 0 0 1 ⎥⎢ ⎣ ⎦ 4×3 ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − 1 ⎦ 0 0 0 1 ⎣ ⎦ − 1 ⎤ ⎡0 2/3 − 1/3⎤ 0 ⎡ 1 − 2 − 2 − 1⎤ ⎡0 ⎢0 0 ⎥ ⎢0 − 1/3 − 1/3⎥ ⎢0 ⎥ 0 0 1 0 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ =⎢ ⎢0 1 0 0 ⎥ ⎢0 − 1/3 − 1/3⎥ 0 1 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡0 2/3 − 1/3⎤ ⎡2 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎡ 5 ⎤ ⎢0 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥, 则A −b = ⎢ ⎢0 − 1/3 − 1/3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎣− 4 ⎥ ⎦ ⎢0 ⎥ 0 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
广义逆
定义：设矩阵A ∈ C m×n ,若X ∈ Cn× m满足下面四个 方程： 1. AXA = A, 2. XAX = X, 3. 4. (AX)H = AX, (XA)H = XA,
的一个或几个，称X为矩阵A的广义逆。 如前面的减号广义逆，也称为{1}－逆。广义逆的种类
2 3 4 + + + 一共有C1 C C C 4 4 4 4 = 15种
证明：先证明有解的充要条件。 若AA−b = b, 则x = A−b就是方程Ax = b的解。 反之，若系统Ax = b有解，则b = Ax = AA− Ax = AA−b 下面我们证明(6.4)为方程Ax = b的通解 首先，验证(6.4)是解： Ax = A( A−b + ( E − A− A) z ) = b + Az − Az = b 其次，若x是方程Ax = b的解，则 x = x + A−b − A−b = x + A−b − A− Ax = A−b + ( E − A− A) x 从而具有(6.4)的形式。
⎡ 1 − 2 − 2 − 1⎤ 0 0 1 − ⎤ ⎡ ⎥ ⎢0 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥, 所以，P = ⎢0 − 1/3 − 1/3⎥,Q = ⎢ ⎢0 1 0 1⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣1 − 1 0 0 0 1 ⎦ ⎣ ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎡E2 0 ⎤ ⎥ ⎢ PAQ = ⎢0 1 0 0 ⎥ = ⎢ ,从而，矩阵A的减号广义逆为： ⎥ ⎣ 0 0 ⎦ 3× 4 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎦ ⎣ ⎡E2 A = Q⎢ ⎣ Y2
Σ 0⎤ ⎡Σ 0 ⎤ ⎡Σ 0 ⎤ H ⎡ H H =A AXA = U ⎢ V V U U V ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0⎦ m× n ⎣ 0 0⎦ n× m ⎣ 0 0⎦ m × n Σ 0⎤ ⎡Σ 0 ⎤ ⎡Σ 0 ⎤ H H ⎡ H =X XAX = V ⎢ U U V V U ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0⎦ n × m ⎣ 0 0⎦ m× n ⎣ 0 0⎦ n× m 0⎤ ⎡Σ 0 ⎤ H ⎡Σ H AX = U ⎢ V V U 为Hermite阵； ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0⎦ m× n ⎣ 0 0⎦ n × m ⎡Σ 0 ⎤ ⎡Σ 0 ⎤ H XA = V ⎢ U U⎢ V H 为Hermite阵； ⎥ ⎥ ⎣ 0 0⎦ n× m ⎣ 0 0⎦ m× n ⎡Σ 0 ⎤ H 所以，X = V ⎢ U 是A的加号逆。 ⎥ ⎣ 0 0⎦ n× m
⎡E2 (E − A A)z =(E − Q ⎢ ⎣0
−
0⎤ −1 ⎡E 2 PP ⎢ ⎥ 0 ⎦ 4 ×3 ⎣0
0⎤ ⎡E2 −1 Q )z =(E − Q ⎢ ⎥ 0 ⎦ 3× 4 ⎣0
0⎤ Q −1 )z ⎥ 0 ⎦ 4×4
0 2 1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎥ y 0 − 1 0 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥, 0 0 − 1⎥ ⎢y3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 0 − 1⎦ ⎣y4 ⎦ 1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎡0 0 2 ⎢0 ⎥ ⎢0 0 − 1 0 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ 所以，Ax = b的通解为x = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎢ 1⎥ ⎢0 0 0 − 1⎥ ⎢y3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 1 − ⎦ ⎣y 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡0 ⎢ ⎡0 0 ⎤ − 1 ⎢0 Q z= = Q⎢ ⎥ ⎢0 ⎣0 − E 2 ⎦ ⎢ ⎣0
例题
4 1 ⎡2 ⎢1 2 −1 ⎢ ⎢− 1 − 2 − 2 ⎢ 0 0 ⎢1 ⎢0 1 0 ⎢ 0 1 ⎢0 ⎢0 0 0 ⎣ 0 − 3 3 1 0 2⎤ 1 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎢0 ⎥ − 0 3 3 0 1 1 2 0 1 0⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 1 0 0 1⎥ ⎢− 1 − 2 − 2 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ → 1 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0 1 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥ ⎢0 0 0 1 1 ⎦ ⎦ ⎣
例题
4 1 1⎤ ⎡2 ⎥, 求A−， (1) 设A = ⎢ A 1 2 1 2 ( , A{1}) − ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣− 1 − 2 − 2 1 ⎥ 4 1 1 1 0 0⎤ ⎡2 ⎥ ⎢1 2 1 2 0 1 0 − ⎥ ⎢ ⎢− 1 − 2 − 2 1 0 0 1⎥ ⎡ A E3 ⎤ ⎢ ⎥ 解： = 1 0 0 0 ⎢E ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣ 4 ⎦ ⎢0 ⎥ 1 0 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 0 0 1 ⎦ ⎣
2 2 − 1 0 0 − 1⎤ 0 −3 3 0 1 1 ⎥ ⎥ 0 −3 3 1 0 2 ⎥ ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎥ 1 0 0 ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎥ 0 0 1 ⎦
例题
0 0 ⎡1 0 ⎢0 0 − 3 3 ⎢ ⎢0 0 − 3 3 ⎢ ⎢1 − 2 − 2 1 ⎢0 1 0 0 ⎢ 1 0 ⎢0 0 ⎢0 0 0 1 ⎣ 0 ⎡1 0 ⎢0 1 0 ⎢ ⎢0 0 0 ⎢ → ⎢1 − 2 − 2 ⎢0 0 1 ⎢ 0 ⎢0 1 ⎢0 0 0 ⎣
任意矩阵都有减号广义逆，减号广义逆 一般不唯一，当矩阵A是可逆的方阵 时，其逆（唯一）即为减号广义逆，所 以，减号广义逆是矩阵的逆的推广。
定理6.2
设A ∈ C m×n ,b ∈ C m , 则线性系统Ax = b有解的充要条件为： AA −b = b 其中，A −为矩阵A的任何一个减号逆。系统Ax = b有解时 的通解可写为： x = A −b +(E − A − A)z, z ∈ Cn
若矩阵A可逆，显然A −1满足上面4个方程，因此，广义逆 是矩阵逆的推广。
Moore-Penrose广义逆
同时满足 4个方程的广义逆，称为Moore − Penrose 广义逆，记为A+ .
m ×n 定理6.3 : 设矩阵A ∈ Cr , 则A的Moore − Penrose
广义逆A +存在且唯一。 证明：设矩阵A的奇异值分解为： ⎡Σ 0 ⎤ H A =U⎢ V , (6.5) ⎥ ⎣ 0 0⎦ m× n ⎡Σ 0 ⎤ H U 取X = V ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ n× m
−
Y1 ⎤ P, 而子块Y1,Y2 ,Y3为任意的。 ⎥ Y3 ⎦ 4×3
例题
−4]T , 若考虑方程Ax = b,其中b = [5,1, 取一个A −(Y1,Y2 ,Y3取相应阶数的零子块） ,验证是否有： 0⎤ 0⎤ 0⎤ −1 ⎡E 2 −1 ⎡E 2 Q Q⎢ Pb = P ⎢ Pb ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎦ 3× 4 ⎣ 0 0 ⎦ 4×3 ⎣ 0 0 ⎦ 3× 3 0 − 1 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎡0 ⎥Pb = Pb,⎢0 − 1/3 − 1/3⎥ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1⎥ 也即验证 : ⎢ 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣1 − 1 ⎦⎢ ⎣− 4 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ 因此，b = AA −b成立。