数学分析之曲线积分
曲线积分的基本概念与运算
曲线积分的基本概念与运算曲线积分是微积分中重要的一部分。
它主要处理的问题是沿着曲线的积分。
在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
曲线积分的基本概念和运算是学习曲线积分的前提，本文将对曲线积分的基本概念和运算进行阐述。
一、曲线积分的基本概念曲线积分是一种重要的线积分，指函数沿着曲线的积分。
对于一条曲线C，其方程可以表示为：C：r(t) = x(t)i + y(t)j 0 ≤ t ≤ 1其中，i和j分别表示x轴和y轴的单位向量，x(t)和y(t)分别表示C上点的横坐标和纵坐标，t表示C上点的参数。
设f(x,y)是在曲线C上连续定义的函数，则曲线积分的定义为:∫C f(x,y) ds其中，ds表示曲线C上的长度元素，即：ds = || r'(t) || dt其中，|| r'(t) || 表示 r(t) 的切向量的模长，也称作速度。
上述式子中，f(x,y)是被积函数，称为速度函数或微分形式。
曲线积分根据路径有向或路径无向分为有向曲线积分和无向曲线积分。
对于有向的曲线C，其有向曲线积分表示为：∫C f(x,y) ds其中，ds的各项都为正，表示沿着曲线从一个端点到另一个端点的积分。
如果积分方向和C的方向相反，则有向曲线积分变为负数。
对于无向曲线C，其无向曲线积分表示为：∫C f(x,y) ds无向曲线积分只考虑积分路径，不考虑积分方向。
二、曲线积分的运算1. 曲线积分的计算曲线积分的计算需要求出函数f(x,y)在曲线C上的值，并将其乘以曲线C的长度。
可以先将曲线C的参数限定在[0,1]区间上，并将积分区间划分为n个小区间，则：∫C f(x,y) ds = lim∑f(xk,yk) ∆s其中，∆s是C上相邻两点之间的距离，即：∆s = || r(tk) - r(tk-1) || = || r'(tk) ||∆t其中，∆t表示曲线C的参数t的步长（∆t=1/n），r'(tk) 表示曲线C在参数t=tk处的切向量。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学分析中有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的一些常见方法。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，它描述了函数沿着曲线的变化情况。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们分别对应着不同的计算方法。
对于第一类曲线积分，也称为向量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P、Q是定义在曲线上的连续函数。
那么第一类曲线积分的计算公式为∫C Pdx+Qdy=∫[a,b](P(x(t)),Q(y(t)))·(x'(t),y'(t))dt，其中[a,b]是曲线的参数区间。
对于第二类曲线积分，也称为标量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为f(x,y)，其中f是定义在曲线上的连续函数。
那么第二类曲线积分的计算公式为∫C f(x,y)ds=∫[a,b] f(x(t),y(t))·|r'(t)|dt，其中[a,b]是曲线的参数区间，|r'(t)|表示曲线在参数t处的切线长度。
除了以上介绍的基本计算方法外，还有一些特殊情况下的曲线积分计算方法，比如在极坐标系下的曲线积分、在三维空间中的曲线积分等。
这些方法在具体问题中有着重要的应用，需要根据具体情况进行灵活运用。
总之，曲线积分的计算方法是微积分中的重要内容，它涉及到向量场、标量场以及曲线的参数方程等多个概念。
掌握曲线积分的计算方法对于理解微积分的理论和应用具有重要意义，希望以上介绍能够对大家有所帮助。
曲线积分的定义与应用领域分析
曲线积分的定义与应用领域分析曲线积分（line integral）是微积分中的一个重要概念，用于描述沿着曲线的路径对向量场或标量场进行积分的过程。
它在数学和物理学中有广泛的应用，涉及到多个领域，如电磁学、流体力学、热力学等。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
对于一个可求长曲线C，可以将其分割为n个小曲线段，每个小曲线段的长度为Δs，方向为Δl。
如果在曲线上的每一个点上都有一个向量函数F(x, y, z)，那么曲线积分就定义为：∮CF·dl = ∮(F·T)ds其中，F是向量场，T是单位切向量。
曲线积分是将向量场F在曲线C上进行积分，其结果是一个标量值。
曲线积分在物理学中有着广泛的应用。
下面我们将分析曲线积分在电磁学、流体力学和热力学等领域的具体应用。
1. 电磁学：曲线积分在电磁学中有着重要的地位。
例如，根据安培环路定理，曲线积分可以用来计算闭合回路上的磁场强度。
另外，在法拉第电磁感应定律中，曲线积分可以计算电动势的大小。
曲线积分在电磁学中的应用还包括计算磁通量、电场强度等。
2. 流体力学：曲线积分在流体力学中的应用是十分广泛的。
例如，在计算流体通过控制体的质量流量时，可以使用曲线积分。
另外，在计算流体的环量或环流时，也可以利用曲线积分。
曲线积分在流体力学中的应用还包括计算质心、力矩等。
3. 热力学：在热力学中，曲线积分的应用可以帮助我们计算热流量。
例如，在计算热通量通过物体表面时，可以利用曲线积分来完成。
曲线积分在热力学中的应用还包括计算热势、熵等。
除了上述三个领域，曲线积分在其他领域中也有着重要的应用。
例如，在几何学中，曲线积分可以用于计算曲线的弧长。
在机械学中，曲线积分可以计算力场所做的功。
在化学中，曲线积分可以计算化学反应的速率。
总结起来，曲线积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用。
它在电磁学、流体力学、热力学等领域中起着关键的作用。
通过曲线积分，我们能够对向量场和标量场进行更深入的分析与研究，从而推动科学的发展与进步。
《数学分析》第20章 曲线积分ppt课件
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,, k ) 在ci (i 1, 2, , k )为
k
常数, 则 L i1 ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t (t
), ),
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds 都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4． 若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |f ( x, y)|ds 也存在,
k
k
L i1 ci fi ( x, y)ds i1 ci L fi ( x, y)ds.
2. 若曲线段 L由曲线 L1, L2 ,, Lk 首尾相接而成,
f ( x, y)ds (i 1,2,,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
k
f ( x, y)ds
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
数学分析中的曲线积分计算
数学分析中的曲线积分计算数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是函数、极限、连续性等数学概念的性质和相互关系。
曲线积分是数学分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍曲线积分的计算方法。
曲线积分是沿曲线对函数进行积分的一种方法。
在计算曲线积分时，我们首先需要确定曲线的参数方程。
常见的参数方程有直角坐标系参数方程和极坐标系参数方程。
对于直角坐标系参数方程，我们可以用x=f(t)和y=g(t)来表示曲线上的点，其中t是参数。
对于极坐标系参数方程，我们可以用r=f(t)和θ=g(t)来表示曲线上的点。
在确定了曲线的参数方程后，我们可以通过求导来计算曲线的切向量。
曲线的切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
对于直角坐标系参数方程，曲线的切向量可以通过求导得到。
对于极坐标系参数方程，我们可以利用向量的乘法和导数的链式法则来计算曲线的切向量。
曲线积分的计算方法主要有两种：第一种是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分；第二种是沿曲线的参数对函数进行积分，称为第二类曲线积分。
在实际应用中，我们常常会遇到第二类曲线积分的计算问题。
对于第二类曲线积分，我们需要将曲线的参数方程代入到被积函数中，并对参数进行求导。
然后，我们可以通过对参数的积分来计算曲线积分的值。
在计算曲线积分时，我们需要注意参数的取值范围和积分的方向。
参数的取值范围决定了曲线的长度，积分的方向决定了曲线的走向。
曲线积分的计算方法不仅仅局限于直角坐标系和极坐标系参数方程。
在实际应用中，我们还可以使用其他参数方程来计算曲线积分。
例如，对于三维空间中的曲线，我们可以使用参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)来表示曲线上的点。
然后，我们可以通过类似的方法来计算曲线积分。
曲线积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，我们可以利用曲线积分来计算电场和磁场的功率。
在流体力学中，我们可以利用曲线积分来计算液体的流量和压力。
曲线积分基本概念
曲线积分基本概念曲线积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线上函数的积分值。
曲线积分可以帮助我们理解曲线上的物理量分布以及曲线所代表的实际问题。
一、曲线积分的定义曲线积分是将曲线划分为无限小的线段，然后计算每个线段上函数的值与线段长度的乘积，最后对所有线段的积分进行求和。
曲线积分可以分为第一类和第二类两种情况。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分，计算的是函数在曲线上的沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，函数为f(x,y)，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第一类曲线积分的计算公式为：∮C f(x,y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线的弧长元素，r'(t)表示曲线的导数。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，计算的是向量场沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，向量场为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第二类曲线积分的计算公式为：∮C F(x,y) · dr =∫[a,b] [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt其中，·表示向量的点乘运算，dr表示曲线的切向量元素，x'(t)和y'(t)表示曲线参数方程的导数。
二、曲线积分的应用曲线积分在物理和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 力学曲线积分可以用于计算物体在曲线路径上所受的力的功。
通过计算曲线上的力和位移的点积，可以求得沿曲线路径所做的功。
2. 电磁学在电磁学中，曲线积分可以用于计算沿闭合曲线的电场强度和磁场的环流。
根据所给的电场和磁场，可以计算出闭合曲线上的电场通量和磁场强度的环积分。
3. 流体力学曲线积分在流体力学中也有广泛应用。
曲线积分的总结
曲线积分的总结曲线积分是微积分中的重要概念，用于描述沿曲线路径上的向量场或标量场的积分。
它在物理学、工程学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
本文将总结曲线积分的概念、计算方法和应用，并探讨其在实际问题中的意义。
首先，我们来介绍曲线积分的基本概念。
曲线积分可以分为第一类和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是指对向量场沿曲线路径的积分，而第二类曲线积分是指对标量场沿曲线路径的积分。
第一类曲线积分可以理解为单位质点在曲线路径上受到的力的做功，而第二类曲线积分可以理解为沿曲线路径上的某一量的积分。
曲线积分的结果是一个实数，表示从曲线的起点到终点的累积效应。
接下来，我们将介绍曲线积分的计算方法。
曲线积分的计算可以通过参数化曲线和路径独立性来进行。
参数化曲线是指将曲线上的点表示为一个参数的函数，即将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式。
路径独立性是指曲线积分与路径的选择无关，只与路径的起点和终点有关。
路径独立性可以通过梯度场的概念进行判定，即如果向量场是梯度场，则曲线积分与路径的选择无关。
曲线积分的计算方法可以通过参数方程中的变量替换和分段路径的选择来简化计算过程。
然后，我们将探讨曲线积分在实际问题中的应用。
曲线积分在物理学中常用于描述质点沿曲线路径所受到的力的做功。
例如，当质点沿着闭合曲线运动时，曲线积分可以用于计算闭合路径上的力的环流。
在电磁学中，曲线积分可以用于计算磁场沿闭合路径的环流，并由安培环路定理得到磁场的大小。
此外，曲线积分还可以用于计算参数化曲线的弧长、质心和质量中心等物理量，以及沿着曲线路径的标量场的积分。
在工程学中，曲线积分可以用于计算沿着管道的流体的流量和电流通过导线的大小等。
曲线积分在计算机图形学中也有广泛的应用，用于表示曲线的弯曲程度和路径的变化等。
最后，我们来讨论曲线积分的意义。
曲线积分将对曲线路径上的向量场或标量场的积分转化为一个实数，表示从曲线的起点到终点的累积效应。
曲线积分不仅可以描述物理过程中的做功或环流，还可以计算物理量的大小和路径的变化。
数学分析考研讲义10
∫ 的部分，计算积分 xyds . C
{ 解：因C :
x = r cosθ y = r sinθ
，0
≤θ
≤
π 2
，所以
∫ ∫ ∫ xyds =
π
2 r2 sinθ cosθ
r2 dθ = r3
uLv+
r
∫ （2） L = L1 + L2 ，
F ( x, y) d r
L
uv
r uv
r
= ∫L1 F ( x, y) d r + ∫L2 F ( x, y) d r .
（3） （4）
∫L ∫L
k
⋅
uv F
(
x,
uv uFv
(
x,
y
r
)y+) rdGuvr(=x,kuyv⋅)∫L
uv F
(
∴
∫L
(
x,
y
)
ds
=
1
∫0
xdx
+
1
∫0
ydy
+
1
∫0
(
x
+
1
−
x
)
2dx
= 1 + 1 + 2 =1+ 2 . 22
∫ 例 10.1.2 （湖南大学考研试题）计算 x2 + y2 ds ，其中 c : x2 + y2 = −2 y . c
解：令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则 c : r = −2sinθ (−π ≤ θ ≤ 0) .
)
dx
+
Q
( x,
r
y
)
dy
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第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。
教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。
教学时数：10学时§1 第一型曲线积分一. 第一型线积分的定义:1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量2.曲线的质量:3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198二. 第一型线积分的计算:1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 .Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则. ( 证) P199若曲线方程为: , 则.的方程为时有类似的公式.例1 设是半圆周, .. P200例1例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有.例3计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周 . P201例3解由对称性知, ,=. ( 注意是大圆)§2 第二型曲线积分一.第二型曲线积分的定义:1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得, 即.2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例).设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量.,因此,.由, 得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义, 有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分.4. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此, 第二型曲线积分具有(R )积分的共性, 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性, 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二. 第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线, L : .A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. (证略)例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为ⅰ> 直线段ABⅱ> 抛物线;ⅲ> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 .P205例1例2计算积分, 这里L :ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1例3 计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线, 从到的一段 . P207例3例4 求在力场作用下,ⅰ> 质点由点A沿螺旋线到点B所作的功, 其中L: , .ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功P207例4第二十一章重积分教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。
教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。
教学时数：22学时§1 二重积分概念一.矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .定义二重积分 .例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形, 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .解.二. 可积条件: D . 大和与小和.Th 1 , .Th 2 , .Th 3 在D上连续, 在D上可积 .Th 4 设, 为上的可积函数.D,( 或 D ) . 若在D上有界, 且在D \ 上连续, 则在D上可积 .例2P217ex2三．一般域上的二重积分：1．定义：一般域上的二重积分.2．可求面积图形: 用特征函数定义.四.二重积分的性质:性质1 .性质2 关于函数可加性 .性质3 则在D上可积在和可积, 且.性质4 关于函数单调性 .性质5 .性质6 .性质7 中值定理 .Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线( 或)组成, 在D上连续, 则在D上可积 .例3去掉积分中的绝对值 .§2 二重积分的计算二. 化二重积分为累次积分:1.矩形域上的二重积分:用“体积为幂在势上的积分”推导公式.2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 , .解法一P221例3解法二为三角形, 三个顶点为,.例2 , . P221例2. 例3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4.§3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性一.Green公式:闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在”区域的正面上), 则其余四指( 弯曲)表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10. 若以L 记正向边界, 则用—L或L表示反向（或称为负向）边界.1. Green公式:Th21.11 若函数P和Q在闭区域D R上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有,其中L为区域D的正向边界. ( 证) P224Green公式又可记为.1.应用举例:对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1计算积分, 其中A B. 曲线AB为圆周在第一象限中的部分. P226例1解法一( 直接计算积分) 曲线AB的方程为.方向为自然方向的反向. 因此.解法二( 用Green公式) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点), 成闭路. 设所围区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有.例2计算积分I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2解. (和在D上有连续的偏导数)., .于是, I = .二. 曲线积分与路线无关性:单连通域和复连通域.1. 积分与路径无关的等价条件: P228Th21.12 设D R是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有连续的一阶偏导数, 则以下四个条件等价:ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有.ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.ⅲ> 是D内某一函数的全微分, 即在D内有.ⅳ> 在D内每一点处有.2. 恰当微分的原函数:若有, 则称微分形式是一个恰当微分. 恰当微分有原函数,( 它的一个) 原函数为:.或其中点D, 当点D时, 常取=.验证第一式: =;.例6 验证式是恰当微分, 并求其原函数.P231例4.§4 二重积分的变量变换:（4时）1. 二重积分的变量变换公式: 设变换的Jacobi, 则,其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象. 由条件, 这里的逆变换是存在的.一般先引出变换, 由此求出变换.而.例1 , . P235 例1.註当被积函数形如, 积分区域为直线型时, 可试用线性变换.例2 , .解设. 则.，.因此, .註若区域是由两组“相似”曲线( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别) 围成的四线型区域, 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域由以下两组曲线围成:第一组: ;第二组: .可试用变换. . 从中解出. 在此变换之下, 区域变成平面上的矩形区域.例3 求由抛物线和直线所围平面区域的面积 . P236例2.2. 极坐标与广义极坐标变换:极坐标变换:, .广义极坐标变换:, .例4 . P240例3.例5 ( Viviani问题) 求球体被圆柱面所割下立体的体积 . P240例4.例6 应用二重积分求广义积分. P241例5.例7 求橢球体的体积 . P241例6.四.积分换序:例8连续 . 对积分换序. .例9连续 . 对积分换序..例10 计算积分. .§5 三重积分简介一．三重积分的定义：1．长方体上的积分：2．一般可求体积立体上的积分：二．三重积分的计算：1．长方体上的积分：.2. 型体上的积分:⑴内一外二: = ,其中,为在平面上的投影.就函数为点密度的情况解释该公式 .⑵内二外一:=,其中介于平面和之间, 是用平面截所得的截面. 内二外一多用于围成的闭合曲面由一个方程给出的情况.例1 , : . P245例1.解,例2 , : .解.法一( 内二外一),其中为椭圆域, 即椭圆域, 其面积为. 因此.同理得, .因此.法二( 内一外二) 上下对称, 为的偶函数,, 其中为在平面上方的部分, 其在平面上的投影为椭圆. 于是., . 因此. 同理…….于是.例3设. 计算积分, : .解.三. 三重积分换元公式:Th 21.13 P247.1. 柱坐标: P248.例4 , : . P248例32. 球坐标: P249. P 250例4.§6 重积分的应用一、曲面的面积设曲面方程为. 有连续的一阶偏导数 .推导曲面面积公式,或.例1 P253例1`.二、重心P255三、转动惯量P256。