高等数学 曲线积分与曲面积分
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)
( )
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解
L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的 长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且
L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
高等数学 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
(ξ i ,η i ) Mi M2 M i 1 M1
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量 匀质之质量
M = ρ s.
A
o
L M n 1
分割 M 1 , M 2 ,L, M n1 → Δsi , 取 (ξ i ,η i ) ∈ Δsi , ΔM i ≈ ρ (ξ i ,η i ) Δsi . 求和 M ≈ ∑ ρ (ξ i ,ηi ) Δsi . 取极限 M = lim ∑ ρ (ξ i ,ηi ) Δsi .
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 Δ S i 的符号 可能为负吗？
思考题解答
ΔS i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ符号永远为正，它表示弧段的长度.
练习题
一、填空题: 1、已知曲线形构件 L 的线密度为 ρ ( x , y ) ,则 L 的质量 M =_______________； 2、 ∫ ds =_______________；
Γ
z = kθ的一段 . ( 0 ≤ θ ≤ 2π)
解
I = ∫ a 2 cos θ sin θ kθ a 2 + k 2 dθ 0 1 = πka 2 a 2 + k 2 . 2
2π
例5
求I = ∫ x 2ds ,
Γ
x2 + y2 + z2 = a2 , 其中Γ为圆周 x + y + z = 0.
L L
( 3) ∫ f ( x , y )ds = ∫ f ( x , y )ds + ∫ f ( x , y )ds .
L L1
( L = L1 + L2 ).
L2
三、对弧长曲线积分的计算
曲线积分曲面积分公式
曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。
一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。
一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。
2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。
第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。
第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。
3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。
它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。
在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。
二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。
一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。
2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。
第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。
第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。
3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。
它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
高等数学复习-曲线积分与曲面积分
高等数学复习-曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的物理意义？曲线形构件的质量f(x,y)为线密度ds为弧微分长度二、对弧长的曲线积分的性质？（1）数乘与加减性（2）分段性（3）比较性三、对弧长的曲线积分的计算法？（1）确定谁是谁的函数（2）函数对自变量求导（3）仅用自变量代换因变量（4）仅用自变量代换弧微分（5）将曲线积分转化为对自变量的定积分四、对坐标的曲线积分的物理意义？变力沿曲线做功五、对坐标的曲线积分的性质？（1）数乘与可加性（2）分段性（3）方向性六、对坐标的曲线积分的计算法？（1）找到P与Q；（2）确定x与y的参数方程（也可以是以x、y其中一个为参数）；（3）将x、y全部换成参数方程；（4）转化为对参数的定积分（注意参数的范围）。
七、两类曲线积分的转化？八、格林公式的物理意义？再平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L 上的曲线积分来表达。
若给出的是二重积分形式（1）找到Q对x的偏导，P对y的偏导按顺序作差后的值；（2）反推出P与Q（注意合理分配P与Q，例如可令其中一个为零）；（3）转化为坐标的曲线积分（令P、Q其中一个为零比较好计算）；（4）若给出的是对坐标的曲线积分（1）找到P与Q；（2）计算出Q对x的偏导，P对y的偏导（若两个偏导相等，则积分为零）；（3）两个偏导数按计算时的顺序作差；（4）转化为二重积分；（5）确定X（Y）型区域；（6）确定x的固定范围；（7）任取x确定y的变动范围；（8）转化为线对y的变上限积分再对x的定积分九、利用格林公式计算曲线积分？十、对曲面积分的物理意义？流向曲面一侧的流量（单位时间内流向制定曲面一侧流体的质量）十一、对曲面积分的计算法？（1）确定题目给出的是哪侧；（2）确定外侧还是内侧（外侧取正，内侧取负）；（3）确定需不需要分块（上前左取正，下后右取负）；（4）转化为二重积分。
十二、对坐标的曲面积分的物理意义？十三、对坐标的曲面积分的计算法？十四、两类曲面积分的转化？十五、高斯公式的物理意义？十六、利用高斯公式计算曲面积分？。
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
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Mk sk M k 1
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长 的曲线积分为
f ( k , k )sk L f ( x, y) ds lim 0 k 1
n
z )是
( k ,k , k )
义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
f ( x, y , z ) d s f ( k ,k , k )sk 0
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0) 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
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设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
s k
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
) 2 ( k ) t k , 2 ( k
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
组成)
2
f ( x, y , z ) d s
( l 为曲线弧 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
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3. 性质
(1)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
（k 为常数)
(3)
f ( x, y, z) ds
(由
1
f ( x, y , z ) d s
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
则Hale Waihona Puke : x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
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f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
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(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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y
2
2
o
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ds d y dx x x
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上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
lim f ( k , k )sk
0 k 1
n
证: 根据定义
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曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
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0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
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0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
B
Mk ( k ,k , k ) s 采用 为计算此构件的质量, k M k 1 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
n
A
k 1
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2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”