分数阶系统的迭代最小二乘辨识算法
最小二乘辨识
[a1 a2 an b1 b2 bn ]T
则应有
（10）
y(k ) ai y(k i) bi u (k i) e(k , )
i 1 i 1
n
n
（11）
并定义其中e (k,θ）为方程误差.在这种情况下,方程的误差 项除了噪声v(k)误差外,还应包括由于模型参数θ不等于真实参 数θ0而引起的误差.显然有 e(k , 0 ) v(k ) （12）
Y T Y T T Y Y T T T
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法
（23）
16
将式(23)代入式(20),可得
2 Y 2 ls 0
T T
LS T Y
T
（24）
通常把式(24)称为最小二乘法的法方程(或称正则方程)
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法 4
本章的主要内容有：
•基本最小二乘法 •加权最小二乘法 •递推最小二乘法 以最小二乘法为基础，并作了某些改进 的一些辨识方法，如： •辅助变量法 •广义最小二乘法 •相关函数——最小二乘相结合的辨识方法 •增广矩阵法 •限定记忆的最小二乘法等。
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法 5
T (n i ) T (n i 1) ( N ) T (N I )
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法
（ 8）
10
它们的维数分别为:
(k )
:2n×1;
:2n×1;
Y：(N-n+1)×1;
0
0
def J ( ) T ( N , ) ( N , ) T e 2 (k , )
第4章最小二乘类辨识算法 2 优质课件
4.0 引言
m次独立试验的数据
(t1, y1) (t2 , y2 )
t (tm , ym )
f (t) a a h (t) a h (t) a h (t)
0
11
22
nn
• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。 •1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预
言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
因 L 0
所以 J ( ) WLS min , ˆWLS 是唯一的 30
通过极小化（4.3.2）式
计算 ˆWLS 称为加权最小二乘法
取 L I
（4.3.9）
则（4.3.7）式变化成
ˆLS
(
H
T L
H
L
)1
H
T L
ห้องสมุดไป่ตู้ZL
L k 1
h(k
)hT
(k
)
（4.3.1）
(k) - 加权因子，对 k, (k) 0
如 (k) Lk 0 1
K=1 时 (1) L1 1 ，K=L时 (L) 1
体现对不同时刻的数据给予不同程度的信任
27
准则函数 J ( ) 可写成二次型形式
J ( ) (z L H L )T L (z L H L )
确定多项式 A(z 1 ) 和 B(z 1 ) 的系数
20
在最小二乘问题中，一般对模型作以下假设
首先，模型的阶次 na ， nb 已定
且一般 na nb
其次，将（4.1.4）模型写成最小二乘格式
z(k) hT (k) n(k)
分数阶系统的迭代最小二乘辨识算法
分数阶系统的迭代最小二乘辨识算法
李大字;范伟光;高彦臣;靳其兵
【期刊名称】《江南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(009)004
【摘要】针对等比例阶次的分数阶系统的特点,提出了一种分数阶系统频域辨识的迭代最小二乘算法,井将运算数据的实部和虚部分离计算引入辨识过程,简化了计算的复杂度.此算法是整数阶系统辨识频域最小二乘算法的推广.通过无噪声和有噪声两种情况下的仿真实验,证明了该算法的有效性.
【总页数】5页(P404-408)
【作者】李大字;范伟光;高彦臣;靳其兵
【作者单位】北京化工大学,信息科学与技术学院,北京,100029;北京化工大学,信息科学与技术学院,北京,100029;青岛市工业信息化技术重点实验室,山东青
岛,266045;北京化工大学,信息科学与技术学院,北京,100029
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
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最小二乘法辨识
T 1 T T 1 T ˆ E [ θ ] E [ θ ( Φ Φ ) Φ ξ ] θ E [( Φ Φ ) Φ ξ ]
LS无偏估计的充要条件为：
E [( Φ Φ )
T 1
Φ
T
ξ] 0
下面讨论无偏估计的充分条件。
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
最小二乘的最早思想： 未知量的最大可能的值是这样 一个数值，它是实际观测值和计算 值的差值的平方和达到最小的数值。
基本的最小二乘估计 解决问题：在模型阶次n已知的情况下，根据系 统的输入输出数据，估计出系统差分方程的各 项系数。 1.基于输入/输出数据的系统模型描述
SISO系统的差分方程为
x ( k ) a 1 x ( k 1) a n x ( k n ) b 0 u ( k ) b n u ( k n ) y (k ) x(k ) n(k )
(k ) n(k )
a n(k i)
i i 1
n
则当前输出为：
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
ˆ min J
下面我们推导θ估计值的计算方法。
J取得最小值，也即J为极值，则有：
J ˆ θ
0
ˆ T ˆ [ (Y Φ θ ) (Y Φ θ ) ] ˆ θ
0
T ˆ 2 Φ (Y Φ θ ) 0
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
系统辨识方法之最小二乘法
目录一、系统辨识的定义.................................................................................................................. - 2 -二、最小二乘法的引出.............................................................................................................. - 2 -三、最小二乘法的原理.............................................................................................................. - 3 -3.1 最小二乘法一次完成推导[1]........................................................................................ - 3 -3.2最小二乘法的缺陷[ 5].................................................................................................... - 5 -四、其他系统辨识方法.............................................................................................................. - 5 -4.1 基于BP神经网络的系统辨识方法特点[3]................................................................. - 5 -4.2 基于遗传算法的系统辨识算法................................................................................... - 6 -五、结论...................................................................................................................................... - 7 -六、参考文献.............................................................................................................................. - 7 -系统辨识方法简介摘要：在研究一个控制系统过程中，建立系统的模型十分必要。
第3章最小二乘辨识
u(1)
u(2)
y(n N 1)
y(N)
u(n N)
y(n) y(n y(n
1) N
1)
y(1) u(n 1)
y(2) u(n 2)
y(N) u(n N)
u(1)
第3章 最小二乘法辨识
近代辨识：最小二乘法、极大似然法 辨识对象：以单输入/单输出系统差分方程为模型 辨识内容：系统模型参数和系统模型阶次n 学习内容：各种参数估计算法的推导、特点、
流程、优缺点及适用范围
2019/7/11
1
3.1 基本的最小二乘估计
解决问题：在模型阶次n已知的情况下，根据系统的输入输出数 据，估计出系统差分方程的各项系数。
k n
u(k)u(k 1)
n N 1
u(k n 1)u(k 1)
kn
n N 1
u(k 1)u(k)
k n
n N 1
u2 (k)
k n
n N 1
u(k n 1)u(k)
k n
nN1 u(k 1)u(k n 1)
哪些输入信号{u(k)}的Ru是强对角线占优矩阵？以下输
入信号均能满足Ru正定的要求：
(1)白噪声序列；
(2)伪随机二位式噪声序列；
(3)有色噪声随机信号序列。
工程上常用“伪随机二位式噪声序列”、“有色噪声随机
2019/7/11 信号序列”作为输入信号。
16
4. 最小二乘估计的统计性质
系统辨识—最小二乘法_3
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------系统辨识—最小二乘法最小二乘法参数辨识 1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号 u 和等价准则 J=L(y，yM)(一般情况下，J 是误差函数，是过程输出 y 和模型输出 yM 的一个泛函)；然后选择使误差函数J 达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使1 / 17用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
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最小二乘法参数辨识201403027摘要:系统辨识在工程中的应用非常广泛,系统辨识的方法有很多种,最小二乘法是一种应用极其广泛的系统辨识方法.阐述了动态系统模型的建立及其最小二乘法在系统辨识中的应用,并通过实例分析说明了最小二乘法应用于系统辨识中的重要意义.关键词:最小二乘法;系统辨识;动态系统Abstract: System identification in engineering is widely used, system identification methods there are many ways， least squares method is a very wide range of application of system identification method and the least squares method elaborated establish a dynamic system models in System Identification applications and examples analyzed by the least squares method is applied to illustrate the importance of system identification.Keywords: Least Squares; system identification; dynamic system引言随着科学技术的不断发展,人们认识自然、利用自然的能力越来越强,对于未知对象的探索也越来越深入.我们所研究的对象,可以依据对其了解的程度分为三种类型:白箱、灰箱和黑箱.如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制了解很深入的话,这样的研究对象通常称之为“白箱”;而有的研究对象,我们对于其内部结构、机制只了解一部分,对于其内部运行规律并不十分清楚,这样的研究对象通常称之为“灰箱”;如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制及运行规律均一无所知的话,则把这样的研究对象称之为“黑箱”.研究灰箱和黑箱时,将研究的对象看作是一个系统,通过建立该系统的模型,对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律.对于动态系统辨识的方法有很多,但其中应用最广泛,辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法,研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义.1．1 系统辨识简介系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
最小二乘参数辨识方法及原理
' ' ' f cy ( x, y) , f cy ( x, y) x , f cy ( x, y) y ] T ；
Y ( x, y ) ＝ f r ( x, y) f c ( x, y) ；
i 1 i 1 n n
如果定义
h(k ) [ y(k 1), y(k 2),, y(k n),u(k 1),u(k 2),, u(k n)]
[a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn ]
T
z (k ) h(k ) v(k )
z ( k ) y ( k ) v( k )
z
1、问题的提出
v(k )
t (k )
G (k )
y (k )
z (k )
m次独立试验的数据
f (t )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
t
(tm , ym )
z(k ) a0 a1h1 (k ) a2h2 (k ) an hn (k ) v(k )
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
零偏 标度因数 输出轴灵敏 度误差系数 二阶非线性 误差系数 摆轴灵敏度 误差系数
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算法， 并将 运算 数据 的 实部 和虚部 分 离计算 引入辨 识过 程 ， 简化 了计 算的 复杂 度 。 算 法是 整数 阶 此 系统辨识 频域 最 小二 乘算 法的推 广 。 通过 无 噪 声和 有 噪 声 两种 情 况 下 的仿 真 实验 ， 明 了该 算 法 证
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Ｋｅ ｗｏ ｄｓ： ｆａｃｉ ｎ ｌ ｏ ｄ ｒ ｓ ｓｅ ， ｉ ｎｔｆｃ ｔｏ ｉ ｆｅ ｕ ｎｃ — ｏ ｉ ｙ ｒ ｒ ｔｏ ａ ｒ ｅ ｙ ｔ ｍ ｄｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｎ ｒ ｑ ｅ ｙ ｄ ｍａ ｎ， ｉｅ ａ ｉ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｔｒ ｔｖ ｅ ｓ ｓ ａ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｑｕ ｒ ｌ ｏ ｉｈ
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分 数阶 系统 的迭 代 最 小 二乘 辨 识 算 法
李 大 字 范伟 光 ， ， 高彦 臣 ， 靳 其 兵
（． １北京化工大学 信息科学与技术学院， 北京 １￣ ９２青 岛市Ｓ业信息化技术重点实验室 ， ｆ Ｙ ；． ２ － 山东 青岛 ２６４） ６０５
ｓ ｓｅ ｎ ｔ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｄ ｍａ ｎ Ａｎ ｉ ｒ ｔｖ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｉ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ｎ ａｇ ｒｔ ｍ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｙ ｔｍ ｉ ｈ ｑ ｅ ｃ ｏ ｉ ． ｒ ｔ ａ ｉｅ ｌ ａ ｔ ｓ ｕ ｒ ｄ ｎ ｉ ｃ ｔ ｌ ｏ ｉ ｅ ｆ ｏ ｈ ｗａ ｒ ｐ ｓ ｄ
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第 ９卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ８月
江 南 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏＪ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ＮＯ． １９ ４
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分 数 阶微 积 分 理论 在越 来 越 多 的领 域受 到 了 人们 的关注 ， ： 弹性 材 料 的特性 表 述 … 、 如 粘 电特 性 描述 ｌ 和材 料 的记 忆特 性 等 ， 是 因为分数 阶微 ２ Ｊ 这
ｉ ｒ ｄｕ ｅ ． Ｔｈ ｉ ｌ ｔｏ ｅ ｕｌｅ ｔ ｎ ｉｅ ｆｅ ｎｄ ｎｏｓ ｔ ｅ ｉ ｅ ｈ ｆｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｏ ｈｅ ｎｔｏ ｃ ｄ ｅ ｓ ｍｕ ａ ｉｎ ｒ ｓ ｔ ｄ ｗｉｈ ｏ ｓ —ｒ ｅ ａ ｉ ｙ ｄａ ａ ｖ ｒｆ ｄ ｔ ｅ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｓ ｆｔ ｉ
的有 效性 。 关键词 ： 数 阶 系统 ； 分 频域 辨识 ； 迭代 最小 二乘算 法
中 图分 类号 ：Ｐ３ １ 文 献标 识码 ： 文章 编号 ：６ １—７ ４ （０ ０）４０ ０ Ｔ ９ Ａ １７ １ ７ ２ １ ０ － ４—０ ４ ５
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