17.1勾股定理的应用——画无理数
E
X
B
6
F
4
C
（1）求等边三角形的边长；
（2）求△ABC的面积。
A
B D
C
练习 : 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD
=900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC
= 12， 求CD；
D A C B
折叠中的计算问题
１、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在 BC边上的点F处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求: (1)CF 10 D (2)EC. A
A A'
C
B
C'
B'
实数
一一对应
数轴上的点
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数
A
-2 -1
B
0
C
1 2
D
你能在数轴上表示出 13 的点吗？
探究3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与 数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。 l
17.1勾股定理
---在数轴上表示无 理数
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结 论：斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等。学习了勾股定理后，你能 证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， =90°，AB=A'B',AC=A'C' C＝C， 求证: △ ABC ≌△ A' B' C '
B
A
∴点C即为表示 13 的点
0
1
2
3 C 4
你能在数轴上画出表示
17 的点和 15 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
1
1
3
2
4
5
练习1:已知等边三角形ABC的边长是6cm，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC （3）求D到AB的距离 A
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
C
变式：如图，等边△ABC，高AD=6，
人教版八年级数学教案：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数
2.培养学生对无理数概念的理解，提高数学抽象和直观想象能力；
3.培养学生运用数轴表示无理数，增强其数学建模和数据分析能力；
4.通过举例生活中的无理数应用，激发学生数学学习的兴趣，培养其数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）勾股定理的灵活运用：引导学生掌握勾股定理，并在解决实际问题时能够灵活运用。
（3）实际生活中的无理数应用：引导学生发现并理解无理数在实际生活中的应用，提高数学应用意识。
举例：讲解无理数在建筑、工程设计等领域的应用，如π在计算圆周长和面积中的应用。
在教学过程中，教师要针对这些重点和难点内容进行详细讲解和举例说明，确保学生能够透彻理解和掌握。同时，通过课堂讨论、练习和课后作业等形式，帮助学生巩固知识点，提高解决问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和无理数在数轴上的表示方法这两个重点。对于难点部分，如无理数与有理数的区别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的问题，如如何在数轴上表示π。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪纸或测量工具，让学生直观感受无理数的实际长度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
勾股定理的无理数解与近似计算
勾股定理的无理数解与近似计算勾股定理是数学中的一条重要定理，被广泛应用于几何学和代数学等领域。
它描述了直角三角形中三边关系的基本原理。
本文将探讨勾股定理的无理数解以及近似计算的方法。
一、勾股定理的无理数解勾股定理可表述为：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示就是a² + b² = c²，其中a和b分别代表两条直角边的长度，c代表斜边的长度。
然而，对于某些特殊的直角三角形，勾股定理的解并不总是有理数，而是无理数。
无理数是指无法表示为两个整数之间的比值的数。
勾股定理的无理数解可以通过实际计算和证明得出。
一个经典的例子是边长均为1的等腰直角三角形，即一个45度的角。
根据勾股定理，斜边的长度为√2，这是一个无理数。
更一般地，对于任意一个直角三角形，当两条直角边的长度为有理数而斜边的长度为无理数时，都可以满足勾股定理。
二、近似计算的方法尽管无理数的精确计算可能是困难的，但可以使用近似计算的方法来获得较为准确的结果。
以下是两种常见的近似计算方法：1. 小数近似法：将无理数转化为十进制小数进行计算。
以π为例，它是一个无理数且约等于3.14159。
通过将π代入勾股定理的相关式子，可得到边长或斜边的近似值。
2. 分数近似法：将无理数转化为一个分数的近似值。
以√2为例，可以将它近似为1.41，然后化简为分数形式33/23。
这个近似值可以更方便地运用于实际计算和应用中。
需要注意的是，近似计算只是一种对无理数解进行估算的方法，并不能得到其精确值。
因此，在实际问题中，根据具体情况选择适当的计算方法，并理解近似计算的局限性。
三、勾股定理的实际应用勾股定理作为数学中的基础原理，具有广泛的实际应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三角测量：勾股定理可以用于测量角度和距离，例如在导航系统中计算两个位置之间的直线距离。
2. 建筑与工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用于计算角度、边长和斜边的关系。
【公开课教案】人教版八年级数学下册教案：17.1利用勾股定理表示无理数
利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用．二、重难点目标【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．【教学难点】会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A．5＋1 B．－5＋1C．5－1 D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．活动2 巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上( C )A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝ 2 ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；….依此继续，得OP2018＝2019，OP n＝n＋1(n为自然数，且n＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22，10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1.(2)直角三角形的三边分别为2，22，10，如图2.(3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！。
17.1勾股定理的应用在数轴上表示无理数
你能在数轴上画出表示 15 点吗？
B
0 •A1 2 3C 4 5
动脑筋
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点 A为端点,你能画出几条边长为 1的0 线段?
、如图，AB＝2，点C表示的数是( B ).
（A） 12 （B） 13
（C） 14
（D） 15
l B
01
AC 23
知识回顾---勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。
Rt△ABC中，∠C=90° a
c
a2 b2 c2
b
知识回顾---勾股定理
图中的x等于多少?
x 5
1
1
x 10
2
3
x 13
4
2
1
3
x 15
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5 的线段.
1
17
1
2
345
6
知识回顾---数轴与实数
必做题： 1、在数轴上画出表示 5 的点 2、在数轴上画出表示 20 的点 选做题： 在数轴上画出表示 2 2 ，24 的点
知识拓展
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅 美丽的“海螺型”图案 由此可知,利用勾股定 理,可以作出长为
2, 3, 5, , n
的线段.
111 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
第七届国际数学
教育大会的会徽
课堂小结
• 这节课你学会了什么？
• 说说在数轴上画出无理数要用到哪些 学过的知识？
课后作业：
一一对应 实数
数轴上的点
数轴上画出表示无理数
17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点235重点：在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用.思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用． 师生行为：学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可． 我们不妨先来画出长为的线段．213232323232131313132生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边． 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c=，两直角边为a ，b ，根据勾股定理a 2+b 2=c 2即a 2+b 2=13．若a，b 为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．•所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA=3.2．作直线L 垂直于OA ，在L 上取一点B ，使AB=2.3．以原点O 为圆心、以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A 点表示男孩头顶的位置，C 、B •点是两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．即5 0002=BC 2+4 8002，所以BC=1 400米．21313131313飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB •是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB ，BC ⊥AD ．所以在Rt △ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，即（AC+3）2=AC 2+62，AC 2+6AC+9=AC 2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：② 学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示的点． 解：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．171717师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会.解：延长AD 、BC 交于E.∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°.∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34.∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32.∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.（三）巩固练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.173．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．在数轴上画出表示－52,5 的点.答案1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32；4．略.（四）课堂小结1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；2、你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．（五）、板书设计17.1 勾股定理复习勾股定理相关内容问题引入： 你能在数轴上表示出的点吗？的点例题讲解： 例1 例2随堂练习 213呢？新课教授：在数轴上表示无理数的方法和步骤强调：理解数轴上的点与实数一一对应．小结 1、利用勾股定理解决直角三角形问题 2、会利用勾股定理得到一些无理数 布置作业：（六）、课后作业 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC .答案：1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=23，BC=2+23，S △ABC = =2+23；4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，S△ABC=12AC·BD=254；教学反思注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣.学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志.通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力.但是，这些并不是几何学的全部教育功能.从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平.这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因.按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程.根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式.从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在“为什么”的层面上认识图形.显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任.因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标.。
2019春八年级数学下册勾股定理17.1勾股定理第3课时利用勾股定理表示无理数课件(新版)新人教版
1.数轴上的点可以表示 有理数
,也可以表
示 无理数
,长为 17的线段可以是直角边长分别为正整
数 1 , 4 的直角三角形的斜边长.
2.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的
长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( A )
1.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则△ABC的边长 为无理数的边数有( )
A.0
B.1
C.2
D.3
C
关闭
答案
2.如图,作一个正方形,使其边长为单位长度,以表示数1的点为圆心, 正方形对角线的长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是 ()
A.-12
B.-13
C.1- 3 D.1- 2
答案
关闭
D
答案
3.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的
直尺在这个“田字格”中最多可以作出
条长度为 5 的线
段.
关闭
8
答案
4.利用勾股定理画出长为 6 cm的线段.
关闭
画法:(1)如图,画直角边长为 1 cm 的等腰直角三角形 ABC;
(2)以斜边 AC 为一条直角边,以 2 cm 长为另一条直角边,画 Rt△ACD. AD 即为长 6 cm 的线段.
A.-4和-3之间
B.3和4之间
C.-5和-4之间
D.4和5之间
【例题】 在数轴上作出- 5对应的点. 分析 5 是直角边长为1,2的直角三角形的斜边长,- 5 在原点 的左边. 解如图所示.
(1)作一个两直角边长分别为2,1的直角三角形; (2)以原点为圆心,所画直角三角形的斜边长为半径画弧,交数轴 的负半轴于一点A,点A就是表示- 5 的点.
人教版八年级下册 17.1 在数轴上表示无理数 教学设计
17.1 勾股定理 数轴表示根号13万全区第一初级中学 郭秀一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备 多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用.思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证. 探究：的点呢？（设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，……这样的无理数的数点却找不到，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．）师生行为：学生小组交流讨论此活动，教师应重点关注：这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．的线段即可．1的直角三角形的斜边．的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．•的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA=3.2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．13(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B•点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A 到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB ，BC ⊥AD ．所以在Rt △ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，即（AC+3）2=AC 2+62，AC 2+6AC+9=AC 2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．（设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．）师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：② 学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4的点．是两直角边为4和1的点如下图：（设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．） 师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积. 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会.解：延长AD 、BC 交于E.∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°.∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34.∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE -21CD·DE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.（三）巩固练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．在数轴上画出表示－52,5 的点.答案1．4； 2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32；4．略.（四）课堂小结1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；2、你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．（五）、板书设计（六）、课后作业1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC .答案：1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=BC=2+S △ABC = =2+4．作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，252-x 2=262-（17-x ）2，x=7，BD=24，S △ABC =12AC·BD=254；教学反思注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣.学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志.通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力.但是，这些并不是几何学的全部教育功能.从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平.这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因.按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程.根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式.从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在“为什么”的层面上认识图形.显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任.因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标.。
人教版八年级数学下《勾股定理 第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件
能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示 正无理数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变 求斜边：c a2 b2 形 求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个
勾股定理的实际应用画无理数课件
THANKS
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物理学
在物理学中，勾股定理用于描 述力和运动的关系，以及电磁 波的传播。
计算机科学
在计算机科学中，勾股定理用 于图形学和动画制作，例如绘 制直角三角形和计算像素位置。
CHAPTER 02
勾股定理在实际生活中的应用
建筑行业中的应用
建筑设计
勾股定理在建筑设计中被广泛应 用，如确定建筑物的垂直角度、 计算建筑物的斜率等。
绘制直角三角形
确定无理数点
在直角三角形上，根据无理数的性质 确定一个点，该点即为所求的无理数。
在直角坐标系中，根据确定的边长绘 制直角三角形。
画ห้องสมุดไป่ตู้理数的注意事项与技巧
选择合适的边长
选择合适的直角三角形边 长，使得斜边的长度尽可 能接近无理数。
精度要求
根据实际需求，选择合适 的精度来绘制无理数，以 满足实际应用的要求。
无理数的引入可以帮助我们更好地理解和预测现实世界中 的各种现象，从而为解决实际问题提供更准确的数学模型。
勾股定理与无理数在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，勾股定理和无理数都是重要的考点。通过这些知识点，竞赛者可 以解决一些复杂的问题，展示自己的数学能力和思维水平。
勾股定理和无理数在数学竞赛中的应用还包括与其他数学知识的结合，如代数、 函数、几何等。这种跨学科的综合性题目能够全面考察竞赛者的数学素养和解题 能力。
CHAPTER 03
勾股定理与无理数的关系
无理数的定义与特性
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的比的 实数，如π和√2。
无理数的特性
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
勾股定理与无理数的关系证明