置换群

n n 2 3
12
S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= p . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 有六个元素: 2)、 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 4)、 3)、 4)、 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 有三个元素: 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 4)、 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 1]，有八个元素: 3)、 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 4)、 2)、 4)、 3)、 4)、 配分[4]，有6个元素：(1 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 4)、 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 4)、 2)、 3)、 由§1.3节的讨论知， S 与 D 群同构，所以 S 也 1.3节的讨论知， 有两个一维与一个二维不可约表示. 有两个一维与一个二维不可约表示.
对 σ 中的每个数字分别施行置换 τ 得：
( 615 )( 42 )( 3 ) = τστ −1
与前面所得结果相同. 与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， σ 与它的共轭元素 τστ−1有 相同的循环结构. 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素
10
一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 S 群中共轭类的数目, 人 群中共轭类的数目, 们引入了配分的概念: 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 可分解为一些不增加的整数之和，称为n 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
(2 3 6) = (3 6 2) = (6 2 3)
单循环往往省去不写，如(2)式可写成 单循环往往省去不写，如(2)式可写成
3
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 = (1 4) (2 3 6)
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
对 σ 的上下两行数字同时施行置换 τ 得：
6 5 1 4 2 3 τστ = 1 6 5 2 4 3 = (615) (4 2) (3)
−1
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 σ 的共轭 置换 τστ−1 , 先将 σ 与 τ 写成独立的循环之积的形
−1
1 2 ⋯⋯ n σ1 σ2 ⋯⋯ σn τ= τ τ ⋯⋯ τ = τ τ ⋯⋯ τ σ σ σ n 1 2
1 2 n
σ1 σ2 ⋯⋯ σn 1 2 ⋯⋯ n τ1 τ2 ⋯⋯τn τ1 τ2 ⋯⋯τn τστ = τ τ ⋯⋯ τ σ σ ⋯⋯ σ 1 2 ⋯⋯ n = τ τ ⋯⋯τ σ 1 2 σ n σ σ σ σ
1 2 3 P= 2 3 1 = (1 2 3)
2 3 1 P−1 = 1 2 3 = (1 3 2)
显然两个偶( 显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
却是唯一的. 却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 (1 2 3 4) =(1 2)(2 3)(3 4) =(1 4)(1 3)(1 2) . 反之，若长度k为 反之，若长度k 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 (1 2 3) = (1 2)(2 3) = (1 3)(1 2) . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 有相同的奇偶性. 如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 = (1 4) (2 3 6) (5) (2)
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 不变. 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 二循环，它代表1变为4，而4又变为1. 三循环，代表2变为3 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 变为6 又变为2. 一般用记号
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积， 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5
e 3 3 3
13
S 4 有不变子群
H = {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为： 其中
S 4 H = {H, K 1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 = (1 2) H = {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K2 = (1 3) H = {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K3 = (2 3) H = {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K4 = (1 2 3) H = {(1 2 3),(1 3 4),(2 4 3),(1 4 2)} K5 = (1 3 2) H = {(1 3 2),(2 3 4),(1 2 4),(1 4 3)}
n n
6
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元 并且由于偶× 偶满足封闭,
pe ∈ A n，另 偶−1 ∈ An ，故 A n (恒等置换—零个对换) 零个对换)
构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 的一个子群，且是一个不变子群. 于任意的 p A ∈ A n ， pS ∈Sn有
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论. 换群的有关结论.
§3.1 置换群 S n 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
(1 2 3) = (1 2)(2 3) = (1 3)(1 2)
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 = 3 1 2 = (1 2 3)
1 3
31 12
2 1 2 3 = 2 3 1 =(1 2 3) 1
而一般情况下可以证明：
(p1 p2 ⋯⋯ pk ) = (p1 pk )(p1 pk−1 )(p1 pk−2 )⋯⋯(p1 p2 ) (3) = (p1 p2 ) (p2 p3 ) (p3 p4 )⋯⋯(pk−1 pk )
4
当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
(1 2)(1 3) = (1 3 2) ≠ (1 3)(1 2) = (1 2
n
− p S p A p S1 ∈ A n
显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 = {1} 是二阶群, 与Z = {1, − 1}, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 群一定有两个不等价的一维表示, 其中一个是 Z = {1} ，即 S 中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 = {1, − 1} , 在该表示中所有偶置换都对应于1 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
n n
2
n
1
n
7
都对应于－1. 都对应于－1.
2.
Sn
的共轭类
n
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 σ 与 τ ，它们都是 S 的群元素， 其中
1 2 ⋯⋯ n σ= σ σ ⋯⋯ σ n 1 2
则 σ 的共轭元素为：
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式，然后对 σ 的每个循环因子中的数字分别施行 τ 置换. 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 σ= 3 1 2 5 4 6 = (132 )( 45 )(6)
1 2 3 4 5 6 τ= 6 5 1 4 2 3 = (163 )( 25 )( 4 )
n
p = (1 2 3) ( 4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 或简记为[3 2 1]. 由于是相同的. 循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 S 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 的一个共轭类中的所有元素对应于n 一个配分，所以置换群 的共轭类数目等于n 一个配分，所以置换群 S 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 同的配分数. 例1: S 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= p e . 有一个元素: 配分 [2], 有一个元素: (1 2). 有一个元素: S 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= p e . 有一个元素: 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 有三个元素: 2)、 3)、 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2). 有两个元素: 3)、