2021年安徽中考数学题型专项复习训练：题型二 选择压轴题之几何最值问题
题型二选择压轴题之几何最值问题类型1线段最值问题1.利用“垂线段最短”求线段最值1.[2020贵州贵阳]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为()A.无法确定B.12C.1D.22.[2019贵州安顺中考改编]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值为()A.2B.52C.125D.33.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE.若F是DE的中点,则CF的最小值为()A.6B.8C.9D.104.如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=60°,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画☉O分别交AB,AC于点E,F,则弦EF长度的最小值为()A.√3B.√6C.2√2D.2√35.[2020山东临沂中考改编]如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N,则MN+NG的最小值为()A.13B.25C.12D.232.利用“轴对称”求线段最值6.[2020四川宜宾中考改编]如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,点P是边AB 上的一动点,则PC+PD的最小值是()A.4B.4√2C.5√2D.87.[2019安庆模拟]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB 于点D,连接PB,则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2038.[2019合肥四十二中模拟]如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,AC的中点,P为线段DE上一动点,连接PF,PC,则PF+PC的最小值为()A.2B.3C.4D.59.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD 上一动点,则PA+PE的最小值是()A.2√13B.6C.2√5D.√510.[2019合肥地区模拟]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=10,点E,F,G,H分别在边AB,AD,DC,CB上,点F,H 为不动点,点E,G为动点,且AF=CH,BE=DG,则四边形EFGH的周长的最小值为()A.5√5B.10√3C.15√3D.10√511.[2020合肥瑶海区二模]如图,菱形ABCD的边长为2√3,∠ABC=60°,点E,F在对角线BD上运动,且EF=2,连接AE,AF,则△AEF周长的最小值是()A.4B.4+√3C.2+2√3D.612.[2019湖北黄冈中考改编]如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若∠CMD=120°,则CD的最大值为()A.10B.12C.14D.163.利用圆的相关性质求线段最值13.如图,已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4 cm,1 cm,若将正方形AEFG绕点A旋转,则在旋转过程中,点C,F之间的最小距离为()A.3 cmB.2√2 cmC.(4√2-1)cmD.3√2 cm14.[2020合肥45中三模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于点H,连接AH,则AH的最小值为()A.2√2B.4C.2√2-2D.2√5-215.[2020广东中考改编]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图所示,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN 的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为()C.2√5-2D.2√3-1A.2B.5216.[2020合肥瑶海区一模]如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,连接BE,将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接AF并延长交线段CD于点G,则线段CG长度的最大值是()A.1B.1.5C.4-√5D.4-√717.[2020四川绵阳中考改编]如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为()A.2B.2√2C.3√3-2D.3√2-218.如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),点C在y轴的正半轴上,点D在x轴的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限内作半圆,交线段AB于点E,F,则线段EF的最大值为()A.3.6B.4.8C.3√2D.3√319.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作☉O,连接BD交☉O于点E,连接AE,则AE的最小值为()A.2√26-2B.8C.8√2-3D.2√21-120.[2020安庆模拟]如图,在边长为2√3的等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且AE=CD,连接BE,AD相交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为()A.1B.2C.√3D.2√3-121.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P 为BC上一动点,则PA+PG的最小值为()A.3B.4C.2√5D.522.[2019合肥瑶海区一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,点D,F分别是边AB,BC 上的动点,连接CD,过点A作AE⊥CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+1FB的最小值是()2A.√3-1B.√3+1C.3√32-1 D.3√32+1 23.[2020四川成都中考改编]如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,点E ,F 分别为AB ,CD 边的中点.动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动,同时,动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动,连接PQ ,过点B 作BH ⊥PQ 于点H ,连接DH.若点P 的速度是点Q 的速度的2倍,在点P 从点E 运动至点A 的过程中,线段DH 长度的最小值为( )A.2B.√13-√2C.3D.√5-1类型2 面积最值问题24.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8 cm ,BC=6 cm ,点P 在边AC 上,从点A 向点C 移动,点Q 在边CB 上,从点C 向点B 移动,若点P ,Q 均以1 cm/s 的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ ,则△PCQ 面积的最大值为( )A.4 cm 2B.6 cm 2C.8 cm 2D.10 cm 225.[2019宿州一模]如图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2√3,点D 是△ABC 所在平面内的一个动点,且∠BDC=60°,则△DBC 的面积的最大值是( )A.3√3B.3C.√3D.2√326.[2020江苏无锡中考改编]如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=4,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且DB=2AD ,AE=3EC ,连接BE ,CD 交于点O ,连接AO ,则△ABO 面积的最大值为 ( )A.2B.83C.52D.3参考答案题型二 选择压轴题之几何最值问题1.C 根据题中的作图步骤可知,BG 平分∠ABC ,易知当GP ⊥AB 时,GP 的值最小.∵BG 平分∠ABC ,GP ⊥AB ,GC ⊥BC ,∴GP=GC=1,故选C .2.C ∵∠BAC=90°,BA=3,AC=4,∴BC=2+42=5.连接AD ,∵DM ⊥AB ,DN ⊥AC ,∴∠DMA=∠DNA= ∠BAC=90°,∴四边形DMAN 是矩形,∴MN=AD.当AD ⊥BC 时,AD 的长最小,此时由三角形的面积公式,得12AB ·AC=12BC ·AD ,∴AD=AB ·AC BC=125,∴MN 的长的最小值为125.3.C 连接BF.∵等边三角形BDE 中,F 是DE 的中点,∴BF 平分∠DBE ,∴∠DBF=30°,即点F 在∠DBE 的平分线上运动,根据垂线段最短可知,当CF ⊥BF 时,CF 最短,如图.易知∠CBF=60°.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,∴BC=√3AC=6√3,∴在Rt △BCF 中,CF=BC ×sin ∠CBF=6√3×√32=9,故选C .4.B 设DC 与☉O 的另一个交点为点H ,连接OE ,OF ,AH ,如图,则∠AHD=90°.∵∠EOF=2∠EAF=2×45°=90°,OE=OF=12AD ,∴EF=√2OE ,当OE 的值最小时,EF 的值最小,此时AD 最小.易知AD 的最小值为AH 的长.在Rt △ABH 中,sin ∠ABH=AHAB =sin 60°,∴AH=√32AB=2√3,∴OE 的最小值为√3,∴EF 的最小值为√3×√2=√6.故选B .5.C 连接AF ,CF ,AC.由菱形性质可知AF=CF.∵FG 垂直平分线段CE ,∴CF=EF ,∴AF=EF.∵点M ,N 分别为AE ,EF 的中点,∴MN 是△AFE 的中位线,NG 是Rt △FGE 斜边上的中线,∴MN=12AF ,NG=12EF ,∴MN+NG=AF ,即AF 的最小值为MN+NG 的最小值,易知AF 的最小值是菱形对角线AC 的一半.∵∠ABC= 60°,AB=CB ,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=AB=1,∴AF min =12AC=12,故MN+NG 的最小值为12.6.C 作点D 关于AB 的对称点H ,连接CH.易知当点P 为CH 与AB 的交点时,PC+PD 的值最小,为CH 的长.过点H 作HE ⊥BC ,交CB 的延长线于点E ,则四边形ABEH 为矩形,∴HE=AB=5,BE=AH=AD=3,∴CE=BC+BE=2+3=5,∴HC=√HE 2+CE 2=5√2.7.B 如图,作△ABC 关于直线AC 对称的三角形,得到△AB'C ,又∠ACB=90°,∴B ,C ,B'三点共线.设点D 的对称点为D',则PD=PD'.当点B ,P ,D'三点共线时,PB+PD'的值最小,即PB+PD 的值最小,此时BD'⊥AB'.易得S △ABB'=12BB'×AC=12×(3+3)×4=12,AB'=AB=√BC 2+AC 2=5,∴S △ABB'=12×AB'×BD'=12 ×5×BD'=12,∴BD'=245,故PB+PD 的最小值为245.故选B.8.C 如图,连接BP ,BF.∵△ABC 是等边三角形,D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,AC 的中点,∴DE ∥AC ,BF ⊥AC , ∴BF ⊥DE.易知DE 垂直平分线段BF ,∴PB=PF ,∴PF+PC=PB+PC.∵PB+PC ≥BC=4,∴PF+PC ≥4,∴PF+ PC 的最小值为4.故选C .9.C ∵点E 是AC 的中点,∴CE=2.如图,在CB 上截取CM=CA ,连接DM.易证△CDA ≌△CDM ,∴AD=DM , ∴点A ,M 关于CD 对称.连接ME ,当点P 为ME 与CD 的交点时,PA+PE 的值最小,此时PA+PE=PM+PE= ME=√22+42=2√5.10.D 作点F 关于CD 的对称点F',连接F'H 交CD 于点G ,根据BE=DG 作出点E ,此时四边形EFGH 的周长取最小值,为2F'H.过点H 作HN ⊥AD 于点N.易知AF=CH=DN ,DF=DF',NF'=DN+DF'=AF+DF= AD=10.∵HN=AB=5,∴F'H=√52+102=5√5,故此时四边形EFGH 的周长为10√5.11.D如图,连接CF.易知直线BD是菱形ABCD的对称轴,则AF=CF.过点A作BD的平行线,过点F 作AE的平行线,两直线交于点H,连接CH交BD于点G,则四边形AEFH是平行四边形,∴AE=FH,AH= EF=2,∴AE+AF=FH+CF.易知点H是定点,故当H,F,C三点共线时,AE+AF取最小值,且最小值等于CH 的长,此时△AEF的周长最小.连接AC交BD于点O,易知△ABC是等边三角形,故AC=AB=2√3.∵AH∥BD,∴∠HAC=∠DOC=90°,∴CH=√AC2+AH2=√(2√3)2+22=4,故△AEF的周长的最小值为4+2=6.12.C如图,将△AMC,△BMD分别沿直线CM,DM进行翻折,点A落在点E处,点B落在点F处,连接FE,CF,则CE+EF+DF≥CF+DF≥CD,且当C,E,F,D四点共线时,等号成立.∵∠CMD=120°,∴∠AMC+∠BMD=60°,即∠CME+∠DMF=60°,∴∠EMF=60°,又∵点M是AB的中点,∴AM=EM=BM=FM,∴△EFM 是等边三角形,∴EF=EM.∵CE+EF+FD=2+4+8=14,∴CD的最大值是14.13.D如图,连接AF,CF,AC.由正方形的性质可知AF=√2 cm,AC=4√2 cm.由旋转可知点F在以点A 为圆心,AF为半径的圆上运动,∴当点F在线段AC上时,CF的值最小,此时CF=AC-AF=3√2 cm.故选D.BC的长为半径的圆上.设BC的中14.D∵CH⊥BD,∴∠CHB=90°,∴点H在以BC的中点为圆心,12点为O,连接OH,AO.如图,易知当点A,H,O三点共线时,AH的长最小,最小值为OA-OH=√42+22-2=2√5-2.MN=2.以点B为圆心,BE 15.C如图,连接BE.∵△MBN是直角三角形,E是斜边MN的中点,∴BE=12的长为半径作圆,分别交射线BA,BC于点P,Q,劣弧PQ即为点E的运动轨迹.连接BD交☉B于点E',则当点E与点E'重合时,DE的长度最小.过点D作DH⊥BC于点H,∵点D到BA,BC的距离分别为4和2,∴BH=4,DH=2,∴BD=√BH2+DH2=2√5,∴DE'=2√5-2,∴猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5-2.16.D由题意可知点F在以点B为圆心、BC的长为半径的圆上,如图.易知当AG与☉B相切时,CG取得最大值,此时∠AFB=∠BFG=90°=∠BFE,∴点E,G重合.易知AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC.由折叠的性质可知,∠BEF=∠BEC,∴∠BEF=∠ABE,∴AG=AB=4,∴DG=√AG2-AD2=√42-32=√7,∴CG=CD-DG=4-√7,即线段CG的最大值为4-√7.17.C易得点M在以AD为直径的圆上运动,如图,取AD的中点O,连接OM,过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E,过点O作OF⊥BC交BC的延长线于点F,交CD于点G,则OM+ME≥OF.∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,∴OM=12AD=2.∵AB∥CD,∴∠GCF=∠B=60°,∠BCD=180°-∠B=120°,∴∠DGO=∠CGF=30°.由AD=BC,易得∠DAB=∠B=60°,∠ADC=∠BCD=120°,∴∠DOG=30°=∠DGO,∴DG=DO=2,由此易得OG=2√3.∵CD=4,∴CG=2,∴GF=√3,∴OF=3√3,∴ME≥OF-OM=3√3-2,即ME的最小值为3√3-2.18.B设CD的中点为M,连接OM,则OM=12CD=3,∴点M在以点O为圆心、3为半径的圆上.易得当点M到AB的距离最小时,EF的值最大.过点O作ON⊥AB于点N,当点M在线段ON上时,点M到AB的距离最小,此时MN=ON-OM=OA·OBAB -OM=6×810-3=95,∴EF=2FN=2√FM2-MN2=2×√32-(95)2=245=4.8.19.A如图,连接CE.∵CD为☉O的直径,∴∠DEC=90°,∴∠CEB=90°,∴点E在以BC为直径的圆上.取BC的中点F,连接AF,EF.∵BC=4,∴EF=CF=2.又∵∠ACB=90°,AC=10,∴AF=√AC2+CF2 =2√26.在点D的运动过程中,AE≥AF-EF,且A,E,F三点共线时取等号,此时AE=AF-EF=2√26-2,即AE的最小值为2√26-2.20.B 在△ABE 和△CAD 中,AB=AC ,∠BAE=∠ACD ,AE=CD ,∴△ABE ≌△CAD ,∴∠ABE=∠CAD.又∠BAP+∠CAD=60°,∴∠BAP+∠ABE=60°,∴∠APB=120°,∴点P 在如图所示的定圆☉O 中的AB⏜上.连接OC 交AB 于点F ,交☉O 于点P ,此时CP 的长最短,连接OA ,OB ,则OA=OB.又CA=CB ,∴OC 垂直平分线段AB ,∴PA=PB ,CF=√32AC=√32×2√3=3,∴∠BAP=∠ABP=30°,∴FP=√33AF=√33×12AB=1,∴CP=CF -FP=3-1=2.故选B .21.B 如图,连接DG ,∵DG 是Rt △DEF 的斜边EF 上的中线,∴DG=12EF=1,故点G 在以点D 为圆心、1为半径的圆上.作点A 关于BC 的对称点A',连接A'D ,交BC 于点P ,交☉D 于点G ,此时PA+PG 的值最小,为A'G 的长.在Rt △ADA'中,AA'=4,AD=3,∴A'D=√AD 2+AA'2=5,∴A'G=A'D -DG=5-1=4,故PA+PG 的最小值为4.22.C 如图,过点F 作FM ⊥AB 于点M ,设AC 的中点为O ,则点G 在以AC 为直径的圆上,连接OG.以BC 为对称轴作△ABC 的对称图形,得到△A'BC ,过点F 作FN ⊥A'B 于点N ,则FM=FN.又∵∠ABC= 30°,∴FN=FM=12FB ,∴GF+12FB=GF+FN.当点O ,G ,F ,N 共线时,GF+FN 的值最小,此时ON=OA'·sin ∠A'=3√32,∴GF+FN=ON -OG=3√32-1.故GF+12FB 的最小值为3√32-1.23.B 连接EF 交PQ 于点M ,易得ME=2FM ,∴ME=2,MF=1.连接BM ,设BM 的中点为点N ,连接HN. ∵∠BHM=90°,∴HN=MN=BN ,∴点H 在以BM 为直径的☉N 上,连接DN ,则当点H 在DN 上时,DH 最短,如图.易得BE=2,∴BM=√22+22=2√2,∴HN=√2.过点N 作NK ⊥CD 于点K ,易得NK=2,DK=3,∴DN= √22+32=√13,∴线段DH 长度的最小值为DN-HN=√13-√2.24.C 设点Q 的运动时间为t s ,则AP=CQ=t ,CP=8-t.S △PCQ =12(8-t )t=-12(t-4)2+8.∵0≤t ≤6,∴当t=4时,△PCQ 的面积最大,为8 cm 2.25.A 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.∵AB=AC=2,BC=2√3,∴BH=12BC=√3,∴AH=√AB 2-BH 2=√4−3=1,∴sin ∠ABC=AH AB =12,∴∠ABC=30°,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BDC=12∠BAC ,∴点D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上.延长HA 交☉A 于点P ,当点D 与点P 重合时,△DBC 的面积最大,最大值为12×2√3×(1+2)=3√3.故选A .26.B 如图(1),过点D 作DF ∥AC 交BE 于点F ,则△BDF ∽△BAE ,∴DF AE =BD AB =23.∵AE=3EC ,∴DF=2EC. ∵AC ∥DF ,∴△COE ∽△DOF ,∴CO OD =CE DF =12,∴OD CD =23,∴S △AOB =23S △ABC .易知点C 在以AB 为直径的圆弧上运动,如图(2),设AB 的中点为M ,当CM ⊥AB ,即点C 在圆弧最高处时,△ABC 面积最大,最大值为12×4×2=4,∴△ABO 面积的最大值为23×4=83.图(1)图(2)。
安徽中考数学大题题型汇总之压轴题
安徽中考数学大题题型之压轴题1．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC 的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．2．已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，A′B与AC相交于点F，若BE ＝BC，求∠BFC的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，若BF＝10，EG＝6，求线段CF的长．3．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN=45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN=CD=6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN 于Q，直接写出AQ、AP的长．4．【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．5．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．①求∠CAM的度数；②当FH DM=4时，求DH的长．6（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD=2，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．7．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC=6，D为BC上一点，AD=4，则△ABC面积的最大值是．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB=30米，BC=40米，AC=50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC=60°．你认为葛叔叔的想法能否实现若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．8．问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．9.如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线2y=+与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点,OA AB的中点.Rt CDE Rt ABOM N分别是,∆始终保持边ED∆≅∆，且CDE经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G.（1）填空，OA的长是，ABO∠的度数是度（2）如图2，当//DE AB，连接HN①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时（此时点O与点G重合），过点D作//DO OB，交AB延长线上于点O，延长ED到点K，使DK DN=，过点K作//PDK∠=︒（若,P O在直线KI OB，在KI上取一点P，使得45ED的同侧），连接PO，请直接．．写出的PO长.+x轴交于点A、B（点A在点B右侧），10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y2x x点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个11．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线A= -x2+4x上,且横坐标为1，点A与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AA与y轴交于点A，点A为抛物线的顶点，点A的坐标为(1，1)（1）求线段AA的长；（2）点A为线段AA上方抛物线上的任意一点，过点A作AA的垂线交AA于点A，点A为y轴上一点，AA的最小值；当△AAA的面积最大时，求PH+HF+12（3）在（2）中，PH+HF+12AA取得最小值时，将△AAA绕点A顺时针旋转60°后得到△AA′A′,过点A′作AA′的垂线与直线AA交于点A，点A为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点A，使得点A,A,A,A为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点A的坐标，若不存在，请说明理由.12．在图1，2，3中，已知Y ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BC AB的值．13问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）。
2021年安徽省亳州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
2021年安徽省亳州市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。
从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。
预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．若两个一次函数与x轴的交点关于y轴对称，则称这两个一次函数为“对心函数”，这两个与x轴的交点为“对心点”．
（1）写出一个y＝2x+6的对心函数：，这两个“对心点”为；
（2）直线l1，经过点A（﹣1，0）和B（0，﹣3），直线l1的“对心函数”直线l2与y 轴的交点D位于点（0，1）的上方，且直线l1与直线l2交于点E，点C为直线l2的“对心点”，点G是动直线l2上不与C重合的一个动点，且BG＝BA，试探究∠ABG与∠ECA 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，直线l3：y＝x+2与其“对心函数”直线l4的交点F位于第一象限，M．N分别为直线l3、l4的“对心点”，点P为线段MF上一点（不含端点），连接NP；一动点H 从N出发，沿线段NP以1单位/秒的速度运动到点P，再沿线段PF以√2单位/秒的速度运动到点F后停止，点H在整个运动过程中所用最短时间为6秒，求直线l4的解析式．
2．一个正比例函数与一个一次函数图象交于点A（3，4），且OA＝OB （1）求这两个函数的表达式；
（2）直线y＝kx+2与直线OA，AB构不成三角形，直接写出k的值。
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一 单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6 腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC AB 于点E F 若D 为BC 边的中点 M 为线段EF 上一动点 若三角形CDM 的周长的最小值为13 则等腰三角形ABC 的面积为（ ）A ．78B ．39C ．42D ．302．如图，在Rt ABC 和Rt ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒ 3AC AD == AB =AE =5．连接BD CE 将△ADE 绕点A 旋转一周 在旋转的过程中当DBA ∠最大时 △ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．62C ．9D ．92 3．如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒== 若点M N 分别为边,CD AD 上的动点 则BMN 的周长最小值为（ ）A ．26B ．36C ．6D ．34．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4 △ACB ＝90° 点P 为CA 上的动点 连BP 过点A 作AM △BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时 线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）5．如图，四边形ABCD 是菱形 AB=4 且△ABC=△ABE=60° G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点 将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF 当AG+BG+CG6．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C 4AC = 3BC = 点O 是AB 的三等分点 半圆O 与AC 相切 M N 分别是BC 与半圆弧上的动点 则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，菱形ABCD 的边AB =8 △B =60° P 是AB 上一点 BP =3 Q 是CD 边上一动点 将梯形APQD 沿直线PQ 折叠 A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时 CQ13为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 点M 运动的路径长是（ ）A ．224π+B ．2πC ．422+D ．4π二 填空题9．如图，点P 是AOB ∠内任意一点 3cm OP = 点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点 30AOB ∠=︒ 则PMN 周长的最小值是 ．10．△ABC 中，AB ＝AC ＝5 BC ＝6 D 是BC 的中点 E 为AB 上一动点 点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上） 则BE 长的范围为 ．11．如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6 AD 是BC 边上的中线 M 是线段AD 上的-一个动点 E 是AC 中点 则EM CM +的最小值为 ．12．如图，正△ABC 的边长为2 过点B 的直线l △AB 且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称 D 为线段BC ′上一动点 则AD +CD 的最小值是 ．13．如图，已知ABC 外心为O 18BC = 60BAC ∠=︒ 分别以AB AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE △ 连接BE CD 交于点P 则OP 的最2三解答题17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A B C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的AB C''．+的长最短．(2)在直线l上找一点P使PB PC18．如图，在△ABC中，AB＝AC AD是△ABC底边BC上的中线点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点当△BPE满足什么条件时△ABC是等边三角形并说明理由．19．如图，等边ABC的边长为6 AD是BC边上的中线M是AD上的动点E 是AB边上一点若=2AE求EM BM+的最小值．20．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的△O点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动当点P O Q三点处于同一条直线时停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点求运动过程中CM的最大值．参考答案： 1．D【分析】连接AD 由于ABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点 可得AD BC ⊥ 再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知 点C 关于直线EF 的对称点为点A 故AD 的长为CM MD +的最小值 再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD 交EF 于点MABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点AD BC ∴⊥ 132CD BC == EF 是线段AC 的垂直平分线∴点C 关于直线EF 的对称点为点A AM CM =∴此时△CDM 的周长最小13CM DM CD AM DM CD AD CD ∴++=++=+=1313310AD CD ∴=-=-=116103022ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△ 故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题 等腰三角形的性质 三角形的面积 熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．A【分析】先分析出D 的轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆 当BD 与该圆相切时 △DBA 最大 过C 作CF △AE 于F 由勾股定理及三角函数计算出BD CF 的长 代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知 D 点轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆当BD 与D 点的轨迹圆相切时 △DBA 取最大值 此时△BDA =90° 如图所示B B M B M N N B ''''''''''<++B M BM '''= B N BN ''''=BM M N BN B B '''''''∴++>又B B B M MN NB ''''''=++MB MB '= NB NB ''=NB NM BM BM M N BN ''''∴++<++BMN l NB NM BM ∆∴=++时周长最小；连接DB 过点B '作B H DB '''⊥于B D ''的延长线于点H如图示2所示：在Rt ABD 中，3AD = 3AB =∴22223(3)23DB AD AB =+=+=230∴∠=︒530∴∠=︒ DB DB ''=又1260ADC ∠=∠+∠=︒又B DB '''∠660∴∠=︒3HD = Rt △B HB 'B HB '''=5．D【分析】根据“两点之间线段最短” 当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长．【详解】解：如图△将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF△BE=AB=BC BF=BG EF=AG△△BFG是等边三角形．△BF=BG=FG ．△AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”△当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长过E点作EF△BC交CB的延长线于F△△EBF=180°-120°=60°△BC=4△BF=2 EF=23在Rt△EFC中△EF2+FC2=EC2△EC=43．△△CBE=120°△△BEF=30°△△EBF=△ABG=30°△EF=BF=FGOP ACO是AB的三等分点210=⨯=5338=3与AC相切于点故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.7．B【详解】作CH△AB于H如图．△菱形ABCD的边AB=8 △B=60°△△ABC为等边三角形AB=43AH=BH=4．△CH=32△PB=3 △HP=1．在Rt△CHP中，CP=22=7．(43)1△梯形APQD沿直线PQ折叠A的对应点A′△点A′在以P点为圆心P A为半径的弧上△当点A′在PC上时CA′的值最小△△APQ=△CPQ而CD△AB△△APQ=△CQP△△CQP=△CPQ△CQ=CP=7．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．8．BPMN的周长最小．CD分别交△点P 关于OA 的对称点为C 关于OB 的对称点为D△PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；△点P 关于OB 的对称点为D△PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，△3cm OC OD OP ===22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒△COD △是等边三角形△()3cm CD OC OD ===．△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA OB 的对称点C D 是解题的关键所在．10．9552BE << 【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上 然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论 分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度 从而得出结论．【详解】解：△点B 与B '关于DE 对称△BD B D '= 则点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上△如图所示 当点B '恰好落在AB 边上时 此时 连接AD 和DE由题意及“三线合一”知 AD BD ⊥ 132BD BC == △在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=此时 根据对称的性质 DE AB ⊥12AB DE AD BD =Rt BDE 中，2295BD DE -=；如图所示 22综上BE长的范围为95 52BE<<故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形等能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹并构建适当的三角形进行求解是解题关键．11．6【分析】连接BE交AD于M则BE就是EM+CM的最小值通过等腰三角形的“三线合一” 可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE与AD交于点M．△AB=AC AD是BC边上的中线△B C关于AD对称则EM+CM=EM+BM则BE就是EM+CM的最小值．△E是等边△ABC的边AC的中点AD是中线△BE=AD=6△EM+CM的最小值为6故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一” 等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用解题关键是找到M点的位置．12．4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到△ABC=△A'B C'=60° A'B=AB=BC=2 证明△CBD△△A'BD得到CD=A'D推出当A D A'三点共线时AD+CD最小此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D．由ABC的外心为的值最小解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与BAD CAE=∠=︒90=∠DAC BAEDAC与BAE中BAEBAE SASDAC∴△()ADC ABE∴∠=∠90PDB PBD∴∠+∠=︒90DPB∴∠=︒P∴在以BC为直径的圆上ABC的外心为O60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒如图，当PO BC⊥时OP的值最小18BC=9 BH CH∴==12 OH OB=223BH OB OH OH∴=-=33OH∴=9PH=933OP∴=-．则OP的最小值是933-故答案为：933-．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键．14．25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB）利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r15．152【分析】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =32 进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻 均有PM =12PC 从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD 在△PDM 中，PD -PM ＜DM 故当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值 勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =3231232BM BP == 3162BP BC == BM BP BP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=- 在△PDM 中，PD -PM ＜DM当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值四边形Rt CDM中，故答案为：15 2【点睛】本题考查了圆的性质的关键．6015-90Rt BDA中，AB由勾股定理得：222BD AB AD =-即：216925144BD =-=△0BD >△=12BD△E 为AD 的中点△1522DE AD == 在Rt BDE 中，=12BD 52DE =由勾股定理得：222BE DE BD =+即：225601+144=44BE = △0BE >△6012BE = 又△DH △AC 且点E 为AD 的中点△52EH = △60156015222BH BE EH -=-=-= 故答案为：60152- 【点睛】本题考查勾股定理解三角形 直径所对的圆周角为直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 隐圆问题的处理等相关知识点 能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB C ''即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2）△BPE=90° 理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC再根据两点间线段最短的性质连接CP交AD于点E并连接BE即可得解；（2）因为P为AB的中点要使△ABC是等边三角形则需BC=AB根据等腰三角形三线合一的性质所以CP△AB即△BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E 则点E为所求；（2）△BPE=90° 理由如下：△△BPE=90°△CP△AB△点P为AB的中点△CP垂直平分AB△CA=CB△AB=AC△AB =AC =BC △△ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称 两点间线段最短 线段中垂线定理 熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．19．27【分析】连接CE 与AD 交于点M ．则CE 就是BM ME +的最小值 在直角CEF △中，求得CE 的长 即可．【详解】解：连接CE 与AD 交于点M '．△等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线△AD 是BC 的中垂线△CE =CM M E ''+=BM ME +的最小值．过点C 作CF AB ⊥△等边ABC 的边长为6 =2AE△==62=4BE AB AE -- 3AF BF == 321EF =-= 226333CF =-= △()2233127CE =+= △BM ME +的最小值为27．【点睛】本题考查了等边三角形的性质 勾股定理 两点间线段最短 连接CE 从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．20．(1)23π(2)7 1.+【分析】（1）如图，设,COQ 结合题意可得：2BOP 结合正三角形的性质求解60, 再利用弧长公式进行计算即可；（2）解：如图，取作OE BC ⊥于E 三点共线时【详解】（）解：如图，设,COQ 结合题意可得：2BOPABC 为等边三角形360120,3BOC120,BOQ而,,P O Q 三点共线1802,BOQ1201802,解得：=60,Q ∴运动的总长度为：6022=.1803）解：如图，取OB 的中点N 连接NM BC ⊥于EM 为PB11,NM OP2△M在以N为圆心半径为1的圆N上运动△当C N M三点共线时CM最大BOC OB OC120,,OBC30,113NK BN BK,,222同理可得：3,BE=则23,BC=333CK23,2222133NC7,22CM CN NM71,△CM的最大值为：7 1.+【点睛】本题考查的是弧长的计算弧与圆心角的关系圆的基本性质正多边形的性质勾股定理的应用熟练的构造辅助圆再求解线段的最大值是解本题的关键．。
2021年安徽省中考数学试卷真题(含答案和详细解析)超清版
．比较 y1 交于
八、（本题满分 14 分）
23. 如图 1，在四边形 ABCD 中，
，点 E 在边 BC 上，且
交线段 AE 于点 F，连接 BF．
（1）求证：
；
（2）如图 2，若
，
，
，求 BE 的长；
（3）如图 3，若 BF 的延长线经过 AD 的中点 M，求 的值．
， ，作
2021 年安徽省初中学业水平考试
中位线，即
，故判断 B 正确；
又易证
，从而证明 D 为 BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜
边一半即可求出
，故判断 C 正确；由
、
和
可证明
．再由
、
和
可推出
，即推出
，即
，故判断
D 正确；假设
，可推出
，即可推出
．由于无法确定 的大
小，故
不一定成立，故可判断 A 错误．
【详解】如图，设 AD、BC 交于点 H，作
∴EG=HF=2x，
，
如图，连接 AC，则 AC 经过点 O， 可得三角形 ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形 EFGH 的周长为 EF+FG+GH+HE=
,
故选 A．
9. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩 形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点 A 的概率是（ ）
（1）求频数分布直方图中 x 的值； （2）判断这 100 户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）； （3）设各组居民用户月平均用电量如表：
安徽省2021年中考数学试卷(含解析)
安徽省2021年中考数学试卷(含解析)安徽省2021年中考数学试卷(含解析)
第一部分选择题
1. 题目内容
解析：这是第一题的解析。
2. 题目内容
解析：这是第二题的解析。
...
第二部分解答题
1. 题目内容
解答：这是第一题的解答。
2. 题目内容
解答：这是第二题的解答。
...
第三部分计算题
1. 题目内容
解析：这是第一题的解析。
2. 题目内容
解析：这是第二题的解析。
...
总结：
本次安徽省2021年中考数学试卷涵盖了选择题、解答题和计算题三个部分。
每个部分的题目都经过精心设计，旨在考察学生对数学知识和解题能力的掌握情况。
通过解析每道题目，我们可以更好地理解题目的解题思路和方法。
希望同学们在备考过程中认真复习，多做练习题，提升数学水平，取得优异的成绩。
以上是安徽省2021年中考数学试卷的内容及解析。
希望本次试卷对同学们的数学学习有所助益。
祝愿大家考试顺利！。
安徽中考数学图形与几何有关最值问题
中考
2021
备战
中考
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欢迎交流
中考
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谢谢
预祝你们今年“好收成”！
中考
2021
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几何中的最值问题
安徽中考有关最值问题
方法一：直径是圆中最长的弦
1.如图，AB是⊙O的弦.AB=6，点C是⊙O上的一动点。且 ∠ACB=45°.若点M、N分别是弦AB、BC的中点。则线段MN的最 大值是
2.如图，⊙O的直径为4，点C是⊙O上的一定点， ∠ABC=30°，动点P从A出发沿半圆弧AB向点B运动 （点P与点C在直径AB的异侧），当点P到达点B时运 动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB 的延长线于D点。在点P的运动过程中，线段CD的最 大值为
13.如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，
AB=2 ,点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分
别交于AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最 小值是
方法五：函数方法
14.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分 别以AC,BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角 形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE的最小值是
方法四：垂线段最短
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=4，BC=3，以C
为圆心，半径为1作⊙C，点D在边AB上运动，过点D作⊙C 的切线DE，切点为E，则线段DE的最小值是
12.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3， 点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ 的最小值是
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是矩形 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，连接CP， 则线段CP的长的最小值是
2021年安徽省中考数学原创押题密卷(附答案详解)
2021年安徽省中考数学原创押题密卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中，是无理数的是()B. √48C. tan45°D. √83A. 132.以下计算结果正确的是()A. a6−a3=a3B. a6÷a3=a3C. (−a3)2=a5D. a3+a3=2a63.使代数式√x−1有意义的x的取值范围是()x2−4A. x>1B. x≥1且x≠±2C. x≥1且x≠2D. x≥14.2021年2月5日20时，“天问一号”探测器发动机点火工作，顺利完成地火转移段第四次轨道中途修正，以确保按计划实施火星捕获．国家航天局同步公布了“天问一号”此前在距离火星约220万公里处获取的首幅火星图象．截至目前，“天问一号”已在轨飞行约197天，距离地球约1.84亿公里，距离火星约110万公里，飞行里程约4.65亿公里，其中4.65亿用科学记数法表示为()A. 4.65×107B. 46.5×106C. 4.65×108D. 0.465×1095.如图，一个底面半径为4的圆柱的放在长为12.宽为12，高为8的立方体上，其中圆柱底面圆的圆心与长方体上表面长方形的中心重合，则该立体图形的俯视图为()A.B.C.D.6.为了解合肥市市民疫苗接种率，某记者随机采访统计了1000位合肥市民疫苗接种情况，其中已经接种新冠疫苗的有400位，已知合肥市常住人口约937万人．根据以上信息，下列说法正确的是()A. 此次采访统计中用到了统计中全面调查的方法B. 此次采访统计中的样本为1000C. 此次采访统计中的样本为1000位合肥市民D. 按照此次采访预估合肥市疫苗接种人数约374.8万人7.若x=−1是一元二次方程ax2+x+b=0的一个解，则a2+2a+b2+2b+2ab的值为()A. −1B. 0C. 2D. 38.如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=c交于A、B两点，则函数y=ax2+xbx−c的图象可能是()A.B.C.D.9.如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE=FD，∠FGB=19°，则∠BGC=()A. 71°B. 80.5°C. 81°D. 71.5°10.如图，C是半圆O上一点，AB是半圆O的直径，CD⊥AB，D是垂足，CD=4，以AD、BD为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.√6−√3=______．√312.若ax−4>x的解为x<−1，则a=______．13.阅读材料：设a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，如果a⃗⊥b⃗ ，则x1y1+x2y2=0.已知a⃗=(−2,5)，b⃗ =(4,m)，且a⃗⊥b⃗ ，则m=______．14.如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB=OC，∠BAD=120°．(1)∠ABC=______．BE最小(2)E为BD边上的一个动点，BC=6，当AE+12时BE=______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）15.先化简，再求值：(a2a−2+42−a)⋅4a2+a，其中a=34．16.《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？(一尺等于十寸)17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)及平面直角坐标系xOy．(1)将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，在第三象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2，并写出放大后A2、B2、C2的坐标．18.安徽池州长江大桥横跨长江，某同学对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了研究．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为120m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进24m到达点D处，在D处测得塔冠顶端E的仰角为48°，请你求出塔冠BE的高度(结果精确到0.1m)．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．19.阅读理解在求1+22+23+24+25+26+27+28+29的值时，小聪发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是她设：S=1+22+23+24+25+26+ 27+28+29①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=22+23+24+25+26+27+28+29+ 210②②−①得2S−S=210−1，即S=210−1根据以上内容(1)求1+3+32+33+34+35+36+37+38+39+310的值．(2)证明：1+a+a2+a3+⋯+a n=a n+1−1(a>0,n是正整数，用含a和n的式子a−1表示)20.如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=5，AD=8，延长CA至点E，使得CA=AE，连接BE．(1)证明△CBE为直角三角形．(2)求平行四边形ABCD的面积．21.如图，在以AB为直径的圆上有一点C．(1)作图：作AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，交劣弧AC于点M，交优弧AC于点N，连接AM、CN(保留作图痕迹，不写作法，所有线段用实线画出)；(2)证明：△AME∽△NCE；(3)若AC=4√3，AB=8，求DN的长．22.某超市经营一种品牌饮品，根据往年销售经验，饮品的销售量与日平均气温有关，为了预估六月份的进货量，查阅了前三年六月份的日平均气温，销售量与日平均气温的关系得到如下表：日平均气温/℃天数日销售量/瓶t<18618018≤t<241224024≤t<2830360t≥2842420(1)估计超市这种饮品今年六月份平均每天的销售量；(2)估计超市今年六月份某一天这种饮品的销售量不超过360瓶的概率．(3)当月进货量不高于10000瓶时，每瓶进货价2.9元，之后每增加10瓶，超过部分进货价降低0.001元(进货价每瓶最多降0.4元)，已知该饮品售价为每瓶4.5元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种饮品的总利润．23.(1)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF=90°．求证：DE=DF；(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，AB=3，AD⊥BC，∠EDF=90°．①求证：DF⋅DA=DB⋅DE；②求EF的最小值．答案和解析1.【答案】B是分数，属于有理数，故本选项不合题意；【解析】解：A．13B.√48=4√3，是无理数，故本选项符合题意；C.tan45°=1，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；3=2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D.√8故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2060060006…(每两个6之间依次多个0)，等有这样规律的数．2.【答案】B【解析】解：A、a6与a3不是同类项，故A不符合题意．B、原式=a3，故B符合题意．C、原式=a6，故C不符合题意．D、原式=2a3，故D不符合题意．故选：B．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则即可求出答案．本题考查合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：由题意得：x−1≥0且x2−4≠0，∴x≥1且x≠±2，∴x≥1且x≠2，故选：C．根据√a(a≥0)，以及分母不能为0，进行计算即可．本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握√a(a≥0)，以及分母不能为0是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：4.65亿=465000000=4.65×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】A【解析】解：从上面看，是一个正方形，正方形的内部中间是一个圆．故选：A．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．6.【答案】D【解析】解：A.此次采访统计中用到了统计中抽样调查的方法，故本选项说法错误，不符合题意；B.此次采访统计中的样本容量为1000，故本选项说法错误，不符合题意；C.此次采访统计中的样本为1000位合肥市民疫苗接种情况，故本选项说法错误，不符合题意；=374.8万人，故本选项说法正确，D.按照此次采访预估合肥市疫苗接种人数约937×4001000故选：D．根据全面调查的定义判断A；根据样本容量的定义判断B；根据样本的定义判断C；利用样本估计总体判断D．本题考查了统计中用样本估计总体的思想，也考查了全面调查、样本及样本容量的定义．7.【答案】D【解析】解：根据题意知，a−1+b=0，所以a+b=1．所以a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=12+2×1=3．故选：D．把x=−1代入方程得到a+b=1，然后整体代入所求的代数式求值即可．本题考查了一元二次方程的解，得到(a+b)的值，首先把所求的代数式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．8.【答案】A的图象知：a<0，b<0，c<0，【解析】解：由一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=cx<0，∴−c>0，−b2a∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，与y轴相交于正半轴，故选：A．根据一次函数和反比例函数的性质，可得a，b，c的符号，根据二次函数的性质，可得答案．本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟知二次函数图象、一次函数图象、反比例函数图象的性质是解题关键．【解析】解：如图，过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，∵S△CDF=12S矩形ABCD，S△BCE=12S矩形ABCD，∴S△CDF=S△BCE，∴12×DF⋅CQ=12×BE⋅CH，∵BE=FD，∴CQ=CH，∵CH⊥BE，CQ⊥DF，∴点C在∠BGD的平分线上，∴∠BGC=∠DGC．∵∠FGB=19°，∴∠BGC=12(180°−19°)=80.5°．故选：B．过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，根据S△CDF=12S矩形ABCD，S△BCE=12S矩形ABCD，可得S△CDF=S△BCE，然后证明点C在∠BGD的平分线上，进而可以解决问题．本题考查了矩形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，解决本题的关键是得到∠BGC=∠DGC．10.【答案】A【解析】解：连接AC、BC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠CBD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD =CDBD，∴AD⋅BD=CD2=16，则S阴影部分=12π×(AB2)2−12π×(AD2)2−12π×(BD2)2=18×(AB2−AD2−BD2)=18π×[(AD+BD)2−AD2−BD2]=18π×32=4π，故选：A．连接AC、BC，证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质得到AD⋅BD=CD2=16，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定的定理是解题的关键．11.【答案】√2−1【解析】解：√6−√3√3=√3(√2−1)√3=√2−1．故答案为：√2−1．直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式的除法运算法则计算是解题关键．12.【答案】−3【解析】解：不等式ax−4>x，整理得：(a−1)x>4，∵不等式的解集为x<−1，∴4=−1，a−1解得：a=−3．故答案为：−3．不等式整理后，由已知解集确定出a的值即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．13.【答案】85【解析】解：∵a⃗=(−2,5)，b⃗ =(4,m)，且a⃗⊥b⃗ ，∴−2×4+5m=0．．解得m=85故答案是：8．5由题意设a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，如果a⃗⊥b⃗ ，则x1y1+x2y2=0，由此列出方程即可解决问题．本题考查了平面向量，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于基础题．14.【答案】75°2√2【解析】解：(1)∵AC垂直平分线段BD，∴AB=AC，∴∠ABD=∠ADB，∵∠BAD=120°，∴∠ABD=(180°−120°)÷2=30°，∵OB=OC，OB⊥OC，∴∠OBC=45°，∴∠ABC=30°+45°=75°，故答案为：75°；(2)作A关于OB的对称点A′，过A作AG⊥A′B于G，过点E作EF⊥A′B于F，∵∠ABO=30°，∴∠A′BO=30°，∴FE=12BE，∴AE+12BE=AE+FE≥AG，设AG与OB交于E′，BE′即为当AE+12BE最小时的BE，∵BC=6，∠OBC=45°，∴OB=OC=BCcos45°=3√2，∵cos∠A′BO=OBBA′=3√2BA′=√32，∴BA′=2√6，∵∠A′BA=60°，AB=A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴BG=12BA′=√6，∵cos∠A′BO=BGBE′=√6BE′=√32，∴BE′=2√2．故答案为：2√2．(1)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC；(2)作A关于OB的对称点A′，过A作AG⊥A′B于G，过点E作EF⊥A′B于F，将12BE转化为EF，再根据AE+12BE=AE+FE≥AG，设AG与OB交于E′，BE′即为当AE+12BE最小时的BE，求出BE′即可．本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将12BE转化为EF．15.【答案】解：原式=(a2a−2−4a−2)⋅4aa+2=(a+2)(a−2)a−2⋅4a a+2=4a，当a=34时，原式=4×34=3．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．16.【答案】解：设木头长x 尺，绳子长y 尺，根据题意得：{y −x =4.5x −y 2=1， 解得：{x =6.5y =11，答：木头长6.5尺．【解析】设木长x 尺、绳子长y 尺，由题意：用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列出二元一次方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作；(2)如图，△A 2B 2C 2为所作，A 2(0,−2)，B 2(4,0)，C 2(6,−6)．【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A1、B 1、C 1即可； (2)把A 、B 、C 点的坐标都乘以2得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了旋转变换．18.【答案】解：在Rt△ABC中，tanA=BC，AC则BC=AC⋅tanA≈120×0.75=90(m)，由题意得，CD=AC−AD=96(m)，在Rt△ECD中，∠EDC=48°，∴EC=CD⋅tan48°≈106.56(m)，∴BE=EC−BC≈16.6(m)，答：塔冠BE的高度约为16.6m．【解析】根据正切的定义分别求出EC、BC，结合图形计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19.【答案】解：(1)设S=1+3+32+33+34+35+36+37+38+39+310①，则3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39+311②，②−①得：2S=311−1，，故S=311−12；即1+3+32+33+34+35+36+37+38+39+310=311−12(2)证明：设S=1+a+a2+a3+⋯+a n①，则aS=a+a2+a3+⋯+a n+1②，②−①得：(a−1)S=a n+1−1，，故S=a n+1−1a−1．即1+a+a2+a3+⋯+a n=a n+1−1a−1【解析】(1)仿照所给的解答方式进行求解即可；(2)利用所给的解答的方式，对等式左边进行运算即可．本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的解答方式总结出规律．20.【答案】(1)证明：∵AC=AE=AB，∴∠ACB=∠ABC，∠ABE=∠AEB，∵∠ACB+∠ABC+∠ABE+∠AEB=180°，∴∠ABC+∠ABE=90°，∴∠CBE=90°，∴△CBE为直角三角形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=8，∵EC=AC+AE=10，∴BE=√EC2−BC2=√100−64=6，∴S△BCE=12×BE×BC=12×6×8=24，∵AE=AC，∴S△ABC=12S△BCE=12，∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABC=24．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，∠ABE=∠AEB，由三角形的内角和定理可得∠CBE=90°，可得结论；(2)由勾股定理可求BE的长，由三角形的面积公式可求S△BCE=24，即可求解．本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图所示，(2)∵∠AME=∠NCE，∠AEM=∠NEC，∴△AME∽△NCE；(3)∵MN垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠DAC=∠ACD，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠DBC=∠DCB，∴CD=BD，∴AD=BD，∴点D是圆心，∴DN=12AB=4．【解析】(1)根据题意画出图形即可；(2)根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(3)根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠ACD，连接BC，得到∠DBC=∠DCB，求得CD=BD，推出点D是圆心，于是得到DN=12AB=4．本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，正确地作出图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)180×6+240×12+360×30+420×426+12+30+42=360(瓶)，答：这种饮品今年六月份平均每天的销售量大约是360瓶；(2)6+126+12+30+42=15，答：今年六月份某一天这种饮品的销售量不超过360瓶的概率为15；(3)390×30=11700(瓶)，11700×4.5−10000×2.9−(11700−10000)×(2.9−11700−1000010×0.001)=19009(元)，答：超市今年六月份经营这种饮品的总利润大约为19009元．【解析】(1)根据天数和日销量求平均值即可；(2)根据不超过360瓶的天数和总天数计算概率即可；(3)利用(1)中的平均每天的销量计算然后乘六月份的天数即可．本题主要考查概率的知识，熟练掌握频率与概率的基础知识是解题的关键．23.【答案】(1)证明：如图1，连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠DAE=45°，∵∠ADB=∠EDF=90°，∴∠ADB−∠ADF=∠EDF−∠ADF，即∠ADE=∠BDF，在△BDF和△ADE中，{∠B=∠DAEBD=AD∠BDF=∠ADE，∴△BDF≌△ADE(ASA)，∴DE=DF；(2)①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠EDF，∴∠ADB−∠ADF=∠EDF−∠ADF，即∠BDF=∠ADE，∵∠BAD+∠DAE=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠B=∠DAE，∴△BDF∽△ADE，∴BDAD =DFDE，∴DF⋅DA=DB⋅DE；②解：如图2，连接EF，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，AB=3，则BC=√AB2+AC2=5，∴AD=AB⋅ACBC =125，由勾股定理得：DC=√AC2−AD2=165，∵∠B=∠B，∠ADB=∠CAB，∴△ADB∽△CAB，∴BDAD =ABAC，由①可知，BDAD =DFDE，∴DFDE =ABAC，∵∠EDF=∠CAB=90°，∴△EDF∽△CAB，∴EFBC =DEAC，即EF5=DE4，∴EF=5DE4，当DE最小时，EF取最小值，当DE⊥AC时，DE最小，此时，DE=AD⋅DCAC =125×1654=4825，∴EF的最小值为：5×48254=125．【解析】(1)连接AD，证明△BDF≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论；(2)①证明△BDF∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明；②连接EF，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出DC，证明△EDF∽△CAB，得到EF=5DE4，根据垂线段最短、三角形的面积公式求出DE 的最小值，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判断和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
2021年安徽中考数学题型专项复习训练：题型二 选择压轴题之几何最值问题
题型二选择压轴题之几何最值问题类型1线段最值问题1.利用“垂线段最短”求线段最值1.[2020贵州贵阳]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为()A.无法确定B.12C.1D.22.[2019贵州安顺中考改编]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值为()A.2B.52C.125D.33.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE.若F是DE的中点,则CF的最小值为()A.6B.8C.9D.104.如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=60°,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画☉O分别交AB,AC于点E,F,则弦EF长度的最小值为()A.√3B.√6C.2√2D.2√35.[2020山东临沂中考改编]如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N,则MN+NG的最小值为()A.13B.25C.12D.232.利用“轴对称”求线段最值6.[2020四川宜宾中考改编]如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,点P是边AB 上的一动点,则PC+PD的最小值是()A.4B.4√2C.5√2D.87.[2019安庆模拟]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB 于点D,连接PB,则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2038.[2019合肥四十二中模拟]如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,AC的中点,P为线段DE上一动点,连接PF,PC,则PF+PC的最小值为()A.2B.3C.4D.59.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD 上一动点,则PA+PE的最小值是()A.2√13B.6C.2√5D.√510.[2019合肥地区模拟]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=10,点E,F,G,H分别在边AB,AD,DC,CB上,点F,H 为不动点,点E,G为动点,且AF=CH,BE=DG,则四边形EFGH的周长的最小值为()A.5√5B.10√3C.15√3D.10√511.[2020合肥瑶海区二模]如图,菱形ABCD的边长为2√3,∠ABC=60°,点E,F在对角线BD上运动,且EF=2,连接AE,AF,则△AEF周长的最小值是()A.4B.4+√3C.2+2√3D.612.[2019湖北黄冈中考改编]如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若∠CMD=120°,则CD的最大值为()A.10B.12C.14D.163.利用圆的相关性质求线段最值13.如图,已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4 cm,1 cm,若将正方形AEFG绕点A旋转,则在旋转过程中,点C,F之间的最小距离为()A.3 cmB.2√2 cmC.(4√2-1)cmD.3√2 cm14.[2020合肥45中三模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于点H,连接AH,则AH的最小值为()A.2√2B.4C.2√2-2D.2√5-215.[2020广东中考改编]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图所示,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN 的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为()C.2√5-2D.2√3-1A.2B.5216.[2020合肥瑶海区一模]如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,连接BE,将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接AF并延长交线段CD于点G,则线段CG长度的最大值是()A.1B.1.5C.4-√5D.4-√717.[2020四川绵阳中考改编]如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为()A.2B.2√2C.3√3-2D.3√2-218.如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),点C在y轴的正半轴上,点D在x轴的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限内作半圆,交线段AB于点E,F,则线段EF的最大值为()A.3.6B.4.8C.3√2D.3√319.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作☉O,连接BD交☉O于点E,连接AE,则AE的最小值为()A.2√26-2B.8C.8√2-3D.2√21-120.[2020安庆模拟]如图,在边长为2√3的等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且AE=CD,连接BE,AD相交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为()A.1B.2C.√3D.2√3-121.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P 为BC上一动点,则PA+PG的最小值为()A.3B.4C.2√5D.522.[2019合肥瑶海区一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,点D,F分别是边AB,BC 上的动点,连接CD,过点A作AE⊥CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+1FB的最小值是()2A.√3-1B.√3+1C.3√32-1 D.3√32+1 23.[2020四川成都中考改编]如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,点E ,F 分别为AB ,CD 边的中点.动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动,同时,动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动,连接PQ ,过点B 作BH ⊥PQ 于点H ,连接DH.若点P 的速度是点Q 的速度的2倍,在点P 从点E 运动至点A 的过程中,线段DH 长度的最小值为( )A.2B.√13-√2C.3D.√5-1类型2 面积最值问题24.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8 cm ,BC=6 cm ,点P 在边AC 上,从点A 向点C 移动,点Q 在边CB 上,从点C 向点B 移动,若点P ,Q 均以1 cm/s 的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ ,则△PCQ 面积的最大值为( )A.4 cm 2B.6 cm 2C.8 cm 2D.10 cm 225.[2019宿州一模]如图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2√3,点D 是△ABC 所在平面内的一个动点,且∠BDC=60°,则△DBC 的面积的最大值是( )A.3√3B.3C.√3D.2√326.[2020江苏无锡中考改编]如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=4,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且DB=2AD ,AE=3EC ,连接BE ,CD 交于点O ,连接AO ,则△ABO 面积的最大值为 ( )A.2B.83C.52D.3参考答案题型二 选择压轴题之几何最值问题1.C 根据题中的作图步骤可知,BG 平分∠ABC ,易知当GP ⊥AB 时,GP 的值最小.∵BG 平分∠ABC ,GP ⊥AB ,GC ⊥BC ,∴GP=GC=1,故选C .2.C ∵∠BAC=90°,BA=3,AC=4,∴BC=2+42=5.连接AD ,∵DM ⊥AB ,DN ⊥AC ,∴∠DMA=∠DNA= ∠BAC=90°,∴四边形DMAN 是矩形,∴MN=AD.当AD ⊥BC 时,AD 的长最小,此时由三角形的面积公式,得12AB ·AC=12BC ·AD ,∴AD=AB ·AC BC=125,∴MN 的长的最小值为125.3.C 连接BF.∵等边三角形BDE 中,F 是DE 的中点,∴BF 平分∠DBE ,∴∠DBF=30°,即点F 在∠DBE 的平分线上运动,根据垂线段最短可知,当CF ⊥BF 时,CF 最短,如图.易知∠CBF=60°.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,∴BC=√3AC=6√3,∴在Rt △BCF 中,CF=BC ×sin ∠CBF=6√3×√32=9,故选C .4.B 设DC 与☉O 的另一个交点为点H ,连接OE ,OF ,AH ,如图,则∠AHD=90°.∵∠EOF=2∠EAF=2×45°=90°,OE=OF=12AD ,∴EF=√2OE ,当OE 的值最小时,EF 的值最小,此时AD 最小.易知AD 的最小值为AH 的长.在Rt △ABH 中,sin ∠ABH=AHAB =sin 60°,∴AH=√32AB=2√3,∴OE 的最小值为√3,∴EF 的最小值为√3×√2=√6.故选B .5.C 连接AF ,CF ,AC.由菱形性质可知AF=CF.∵FG 垂直平分线段CE ,∴CF=EF ,∴AF=EF.∵点M ,N 分别为AE ,EF 的中点,∴MN 是△AFE 的中位线,NG 是Rt △FGE 斜边上的中线,∴MN=12AF ,NG=12EF ,∴MN+NG=AF ,即AF 的最小值为MN+NG 的最小值,易知AF 的最小值是菱形对角线AC 的一半.∵∠ABC= 60°,AB=CB ,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=AB=1,∴AF min =12AC=12,故MN+NG 的最小值为12.6.C 作点D 关于AB 的对称点H ,连接CH.易知当点P 为CH 与AB 的交点时,PC+PD 的值最小,为CH 的长.过点H 作HE ⊥BC ,交CB 的延长线于点E ,则四边形ABEH 为矩形,∴HE=AB=5,BE=AH=AD=3,∴CE=BC+BE=2+3=5,∴HC=√HE 2+CE 2=5√2.7.B 如图,作△ABC 关于直线AC 对称的三角形,得到△AB'C ,又∠ACB=90°,∴B ,C ,B'三点共线.设点D 的对称点为D',则PD=PD'.当点B ,P ,D'三点共线时,PB+PD'的值最小,即PB+PD 的值最小,此时BD'⊥AB'.易得S △ABB'=12BB'×AC=12×(3+3)×4=12,AB'=AB=√BC 2+AC 2=5,∴S △ABB'=12×AB'×BD'=12 ×5×BD'=12,∴BD'=245,故PB+PD 的最小值为245.故选B.8.C 如图,连接BP ,BF.∵△ABC 是等边三角形,D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,AC 的中点,∴DE ∥AC ,BF ⊥AC , ∴BF ⊥DE.易知DE 垂直平分线段BF ,∴PB=PF ,∴PF+PC=PB+PC.∵PB+PC ≥BC=4,∴PF+PC ≥4,∴PF+ PC 的最小值为4.故选C .9.C ∵点E 是AC 的中点,∴CE=2.如图,在CB 上截取CM=CA ,连接DM.易证△CDA ≌△CDM ,∴AD=DM , ∴点A ,M 关于CD 对称.连接ME ,当点P 为ME 与CD 的交点时,PA+PE 的值最小,此时PA+PE=PM+PE= ME=√22+42=2√5.10.D 作点F 关于CD 的对称点F',连接F'H 交CD 于点G ,根据BE=DG 作出点E ,此时四边形EFGH 的周长取最小值,为2F'H.过点H 作HN ⊥AD 于点N.易知AF=CH=DN ,DF=DF',NF'=DN+DF'=AF+DF= AD=10.∵HN=AB=5,∴F'H=√52+102=5√5,故此时四边形EFGH 的周长为10√5.11.D如图,连接CF.易知直线BD是菱形ABCD的对称轴,则AF=CF.过点A作BD的平行线,过点F 作AE的平行线,两直线交于点H,连接CH交BD于点G,则四边形AEFH是平行四边形,∴AE=FH,AH= EF=2,∴AE+AF=FH+CF.易知点H是定点,故当H,F,C三点共线时,AE+AF取最小值,且最小值等于CH 的长,此时△AEF的周长最小.连接AC交BD于点O,易知△ABC是等边三角形,故AC=AB=2√3.∵AH∥BD,∴∠HAC=∠DOC=90°,∴CH=√AC2+AH2=√(2√3)2+22=4,故△AEF的周长的最小值为4+2=6.12.C如图,将△AMC,△BMD分别沿直线CM,DM进行翻折,点A落在点E处,点B落在点F处,连接FE,CF,则CE+EF+DF≥CF+DF≥CD,且当C,E,F,D四点共线时,等号成立.∵∠CMD=120°,∴∠AMC+∠BMD=60°,即∠CME+∠DMF=60°,∴∠EMF=60°,又∵点M是AB的中点,∴AM=EM=BM=FM,∴△EFM 是等边三角形,∴EF=EM.∵CE+EF+FD=2+4+8=14,∴CD的最大值是14.13.D如图,连接AF,CF,AC.由正方形的性质可知AF=√2 cm,AC=4√2 cm.由旋转可知点F在以点A 为圆心,AF为半径的圆上运动,∴当点F在线段AC上时,CF的值最小,此时CF=AC-AF=3√2 cm.故选D.BC的长为半径的圆上.设BC的中14.D∵CH⊥BD,∴∠CHB=90°,∴点H在以BC的中点为圆心,12点为O,连接OH,AO.如图,易知当点A,H,O三点共线时,AH的长最小,最小值为OA-OH=√42+22-2=2√5-2.MN=2.以点B为圆心,BE 15.C如图,连接BE.∵△MBN是直角三角形,E是斜边MN的中点,∴BE=12的长为半径作圆,分别交射线BA,BC于点P,Q,劣弧PQ即为点E的运动轨迹.连接BD交☉B于点E',则当点E与点E'重合时,DE的长度最小.过点D作DH⊥BC于点H,∵点D到BA,BC的距离分别为4和2,∴BH=4,DH=2,∴BD=√BH2+DH2=2√5,∴DE'=2√5-2,∴猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5-2.16.D由题意可知点F在以点B为圆心、BC的长为半径的圆上,如图.易知当AG与☉B相切时,CG取得最大值,此时∠AFB=∠BFG=90°=∠BFE,∴点E,G重合.易知AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC.由折叠的性质可知,∠BEF=∠BEC,∴∠BEF=∠ABE,∴AG=AB=4,∴DG=√AG2-AD2=√42-32=√7,∴CG=CD-DG=4-√7,即线段CG的最大值为4-√7.17.C易得点M在以AD为直径的圆上运动,如图,取AD的中点O,连接OM,过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E,过点O作OF⊥BC交BC的延长线于点F,交CD于点G,则OM+ME≥OF.∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,∴OM=12AD=2.∵AB∥CD,∴∠GCF=∠B=60°,∠BCD=180°-∠B=120°,∴∠DGO=∠CGF=30°.由AD=BC,易得∠DAB=∠B=60°,∠ADC=∠BCD=120°,∴∠DOG=30°=∠DGO,∴DG=DO=2,由此易得OG=2√3.∵CD=4,∴CG=2,∴GF=√3,∴OF=3√3,∴ME≥OF-OM=3√3-2,即ME的最小值为3√3-2.18.B设CD的中点为M,连接OM,则OM=12CD=3,∴点M在以点O为圆心、3为半径的圆上.易得当点M到AB的距离最小时,EF的值最大.过点O作ON⊥AB于点N,当点M在线段ON上时,点M到AB的距离最小,此时MN=ON-OM=OA·OBAB -OM=6×810-3=95,∴EF=2FN=2√FM2-MN2=2×√32-(95)2=245=4.8.19.A如图,连接CE.∵CD为☉O的直径,∴∠DEC=90°,∴∠CEB=90°,∴点E在以BC为直径的圆上.取BC的中点F,连接AF,EF.∵BC=4,∴EF=CF=2.又∵∠ACB=90°,AC=10,∴AF=√AC2+CF2 =2√26.在点D的运动过程中,AE≥AF-EF,且A,E,F三点共线时取等号,此时AE=AF-EF=2√26-2,即AE的最小值为2√26-2.20.B 在△ABE 和△CAD 中,AB=AC ,∠BAE=∠ACD ,AE=CD ,∴△ABE ≌△CAD ,∴∠ABE=∠CAD.又∠BAP+∠CAD=60°,∴∠BAP+∠ABE=60°,∴∠APB=120°,∴点P 在如图所示的定圆☉O 中的AB⏜上.连接OC 交AB 于点F ,交☉O 于点P ,此时CP 的长最短,连接OA ,OB ,则OA=OB.又CA=CB ,∴OC 垂直平分线段AB ,∴PA=PB ,CF=√32AC=√32×2√3=3,∴∠BAP=∠ABP=30°,∴FP=√33AF=√33×12AB=1,∴CP=CF -FP=3-1=2.故选B .21.B 如图,连接DG ,∵DG 是Rt △DEF 的斜边EF 上的中线,∴DG=12EF=1,故点G 在以点D 为圆心、1为半径的圆上.作点A 关于BC 的对称点A',连接A'D ,交BC 于点P ,交☉D 于点G ,此时PA+PG 的值最小,为A'G 的长.在Rt △ADA'中,AA'=4,AD=3,∴A'D=√AD 2+AA'2=5,∴A'G=A'D -DG=5-1=4,故PA+PG 的最小值为4.22.C 如图,过点F 作FM ⊥AB 于点M ,设AC 的中点为O ,则点G 在以AC 为直径的圆上,连接OG.以BC 为对称轴作△ABC 的对称图形,得到△A'BC ,过点F 作FN ⊥A'B 于点N ,则FM=FN.又∵∠ABC= 30°,∴FN=FM=12FB ,∴GF+12FB=GF+FN.当点O ,G ,F ,N 共线时,GF+FN 的值最小,此时ON=OA'·sin ∠A'=3√32,∴GF+FN=ON -OG=3√32-1.故GF+12FB 的最小值为3√32-1.23.B 连接EF 交PQ 于点M ,易得ME=2FM ,∴ME=2,MF=1.连接BM ,设BM 的中点为点N ,连接HN. ∵∠BHM=90°,∴HN=MN=BN ,∴点H 在以BM 为直径的☉N 上,连接DN ,则当点H 在DN 上时,DH 最短,如图.易得BE=2,∴BM=√22+22=2√2,∴HN=√2.过点N 作NK ⊥CD 于点K ,易得NK=2,DK=3,∴DN= √22+32=√13,∴线段DH 长度的最小值为DN-HN=√13-√2.24.C 设点Q 的运动时间为t s ,则AP=CQ=t ,CP=8-t.S △PCQ =12(8-t )t=-12(t-4)2+8.∵0≤t ≤6,∴当t=4时,△PCQ 的面积最大,为8 cm 2.25.A 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.∵AB=AC=2,BC=2√3,∴BH=12BC=√3,∴AH=√AB 2-BH 2=√4−3=1,∴sin ∠ABC=AH AB =12,∴∠ABC=30°,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BDC=12∠BAC ,∴点D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上.延长HA 交☉A 于点P ,当点D 与点P 重合时,△DBC 的面积最大,最大值为12×2√3×(1+2)=3√3.故选A .26.B 如图(1),过点D 作DF ∥AC 交BE 于点F ,则△BDF ∽△BAE ,∴DF AE =BD AB =23.∵AE=3EC ,∴DF=2EC. ∵AC ∥DF ,∴△COE ∽△DOF ,∴CO OD =CE DF =12,∴OD CD =23,∴S △AOB =23S △ABC .易知点C 在以AB 为直径的圆弧上运动,如图(2),设AB 的中点为M ,当CM ⊥AB ,即点C 在圆弧最高处时,△ABC 面积最大,最大值为12×4×2=4,∴△ABO 面积的最大值为23×4=83.图(1)图(2)。
安徽中考重难题型精讲练2题型二 选择压轴题之几何图形最值问题
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
三、利用圆的相关性质求线段最值
典例精讲
例4 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段 PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4， 则线段OM的最小值是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】如解图，取OP的中点N，连接MN，OQ，可判断 1 MN为△POQ的中位线，则MN＝ OQ＝1，则点M在以N为 2 圆心，1为半径的圆上，所以当点M在ON上时，OM最小， 1 最小值为ON－MN＝ OP－MN＝1. 2
题型二 选择压轴题之几何图 形最值问题
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
典例精讲
类型一
线段最值问题
一、利用垂线端最短求线段的最值 例1 如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E， PF⊥BC于F，BC＝6，AC＝8，则线段EF的最小值为( A ) A. 4.8 B. 3.2 C. 4 D. 5 【解析】如解图，连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，
例1题解图
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
二、利用轴对称与三角形三边关系求线段最值
典例精讲
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC的中点． 若F为边AB上的一个动点，则△DEF的周长最小值为( D ) A. 6 5 B. 2 13＋ 5 C. 16 D. 3 5＋ 13 【解析】如解图，作点E关于AB的对称点E′，连接DE′交AB 于F，∵FE′＝FE，∴DF＋EF＝DF＋FE′＝DE′，根据两点 之间线段最短，得出△DEF周长最小值为DE＋DE′，DE＝ ＝ ＝ CD ，DE ′＝ EC
2021年中考数学最值问题专题训练试题参考答案详解
【分析】
根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
2021年中考数学最值问题专题训练试题参考答案详解
1．C
【分析】
根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG= ，GD=PG= ，利用三角形面积公式计算得到S△APF= ，根据函数性质即可得到答案．
【详解】
∵AP=PF，
∴点P在AF的垂直平分线上，
【详解】
解： 点 是上半圆的中点，
∴
∴
是 的直径，
∴
∴
平分
∴
∴
∴
∴
要使 最大，即使得 最大，
当 为直径时值最大，
在 中，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴ 最大值为
∴ 最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
设CG=x，则BH=x．
∵FH=AE=1，
∴AF=4-1-x=3-x，
∴EF= ，BG= ，
∴EF+BG= = ．
设M（x，0），P（0，4），Q（3，1），则MQ+MP= ．
如图2，作P（0，4）关于x轴的对称点P'，则P' （0，-4）．