【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第16讲 定义新运算(教师版)

第16讲定义新运算

教学目标

学会理解新定义的内容；

理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；

学会自己总结解题技巧。

知识梳理

一、知识概念

1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

2、一般的解题步骤是:

一是认真审题，深刻理解新定义的内容；

二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；

三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

典例分析

例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32

例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求8 ★ 5 。

【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。

8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6

例3、如果a ◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。

【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）

=6◎[9×2-（9+2）]

=6◎7

=6×7-（6+7）

=42-13

=29

例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。 求6Δ5。

【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位

数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070

例5、如果规定⊗2=1×2×3，⊗3=2×3×4，⊗4=3×4×5，…… 计算（21⊗-31⊗）×3

2⊗⊗。 【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为⊗X=（X-1）×X×（X+1）。由

于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

（

21⊗-31⊗）×3

2⊗⊗ = 21⊗×32⊗⊗-31⊗×3

2⊗⊗ =31⊗-31⊗×3

2⊗⊗ =31⊗（1-3

2⊗⊗） = 4321⨯⨯×（1-432321⨯⨯⨯⨯）

=4321⨯⨯×（1-41） =4321⨯⨯×4

3 =32

1 例6、规定a▲b=5a+21ab-3b 。求（8▲5）▲X=264中的未知数。 【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

（8▲5）▲X=264

（5×8 + 2

1×8×5-3×5）▲X=264 45▲X=264 5×45+

2

1×45×X-3X=264 225+245X-2

6X =264 225+2

39X=264 239X=39 X=2

➢ 课堂狙击

1、A ，B 表示两个数，定义A △B 表示(A+B)÷2，

求(1)(3△17) △29；

(2)[(1△9) △9] △6。

【解析】定义新运算符号“△”表示A △B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值。如：3

△17=(3+17)÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29)÷2=19.5

(1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6

=[20÷2] △29 =[5△9] △6

=10△29 =[(5+9)÷2] △6

=(10+29)÷2 =7△6 实战演练

=39÷2 =(7+6)÷2

=19.5 =6.5

2、A ，B 表示两个数，定义A*B=2×A-B 。试求：

(1)(8.5×6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

【解析】定义新运算符号“*”表示A*B=2×A-B ，即前面数的两倍与后面数之差；所以

（1）原式=2×（8.5×6.9）-5 =17×6.9-5 =117.3-5 =112.3

3、已知a ，b 是任意自然数，我们规定：a ⊕b ＝ a ＋b －1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗=？

【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=。

4、M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=

【解析】原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦。

5、已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.

求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.

【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都

比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。

（1）3*3=3+33+333=369

（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380

（3）提示：因为1* x=1+11+111+…=123

所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0

即：1+11+111=1*3=123

从而可知x=3

6、已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：

（1）（4△3）+（6△2） （2）（3△2）×（4△3）

【解析】观察两个已知等式可以发现，“△”定义为由前面的数开始称后面数一次加1，相乘个数为“△”之后（2）原式=90*26

=2×90-26 =180-26

=154