江苏省盐城市四星级高中第二次联考数学试题

2007-2008学年江苏省盐城市四星级高中第二次联考数学试题一、填空题（本大题共10小题每小题5分共50分，把答案填写在答题纸相应位置）1．已知全集U R =，{|A x y =，{|lg 3||}B x y x ==-（），则U C A B （）=2．函数y=x -4+log 21x 的值域是3．将函数2log y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍，得到 图象C ，若将2log y x =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m = _4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，13cos 14C =，则最大角的余弦值为 5．计算定积分：34|2|x dx -+⎰= 6．设x x x f sin 1cos )(+= ，则=)4(1πf 7．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 8．数列{}n b 的前n 项的乘积2102)21(-+=n n n T ，则{}n b 的前5项的和是 . 9．已知命题p ：方程210x mx ++=有负根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，实数m 的取值范围是10．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去，得图（2）；如此继续下去……，试问第n 个图共挖去 个正方形．二、选择题（本大题共6小题每小题5分共30分）11．坐标平面内向量与x 轴正向上的单位向量，满足⋅=2||，则有 （ ）A 0=aB i a =C 0=a 或i a =D 1|2|=-i a12．方程521=+-x x 的解所在的区间是 （ ）A. (0，1)B. (1，2)C.(2，3)D.(3，4)13．函数)2sin(5)(ϕ+=x x f ，若5)(=a f ，则)12(π+a f 与)65(π+a f 的大小关系是（ ） A ．)65()12(ππ+>+a f a f B ．)65()12(ππ+=+a f a f C ．)65()12(ππ+<+a f a f D ．与ϕ和a 有关 14．在100内能被3整除，但不能被7整除的所有正整数之和为 （ ）A ． 1368 B. 1470 C. 1473 D. 155715．设数列{}n a 是首项为b ，公比为(1)a a ≠的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的n ∈N *，点()1,n n S S +都在直线l 上，则直线l 的方程是 （ ）A ．y ax b =-B ．y bx a =+C ．y bx a =-D ．y ax b =+16．某人购得椰子两筐，连同运费共花去300元，回来后发现有12只是坏的，不能出售，余下的按高出成本价1元/只出售，售完后共赚了78元，则这两筐椰子原来有多少只（ ）A 120B 150C 90D 210三、解答题（本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、c b a ,,分别是A B C ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，其外接圆半径为1，且C B A C B A C B s i n s i n 3)s i n s i n )(s i n s i n s i n (s i n =-+++，边c b 和是关于x 的方程：0cos 432=+-A x x 的两根（c b >）（1）求A ∠的度数及边c b a ,,的值 （2）判定ABC ∆的形状，并求其内切圆的半径18、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121，求切点A 的坐标以及切线方程19、设数列{n a }的前n 项和为n S ，若t S t tS a n n 3)32(3,111=+-=-（t 为正常数，n=2,3，4…）。

(1)求证：{n a }为等比数列；(2)设{n a }公比为)(t f ，作数列}{n b 使)2)(1(,111≥==-n b f b b n n ，试求n b ，并求)(12221254433221*∈-++-+-+-N n b b b b b b b b b b b b n n n n20、已知△ABC 中满足(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→CB ，a 、b 、c 分别是△ABC 的三边．（1）试判断△ABC 的形状并求sin A ＋sin B 的取值范围；（2）若不等式a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，求k 的取值范围．21．某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（13)0+-=≥m k x m 满足（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件。

已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）．（1）将2008年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22． 已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（1）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（2）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

参考答案一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，把答案填写在答题纸相应位置上．1． （2,3-） 2． [)+∞-,2 3． 41 4． 71- 5． 229 6． 22+- 7． 2 8． 32527 9． ()[)+∞⋃,32,1 10． 718-n 二、选择题：本大题共6小题，共30分．11． D 12。

C 13。

A 14。

C 15。

D 16。

A三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、解(1) C B A C B A C B sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++bc a c b C B A C B =-+∴=-+∴222222sin sin sin sin sin212cos 222=-+=∴bc a c b A 060=∴A b 、c 是0cos 432=+-A x x 的两根,且b>c 故b=2,c=1. 又1,2,32sin ===∴=c b a R A a(2)由222b c a =+ABC ∆∴是直角三角形.21323)(21-=∴=++r r c b a 18．解：对函数)0(2≥=x x y 求导得：)0(21≥=x x y设点A （200,x x ），则切线的方程为：)(20020x x x x y -=- 令0=y 得20x x = 由题意可得方程：12121200020=⋅-⎰x x dx x x 解得：10=x 所以A 点坐标为（1，1）切线方程为：12-=x y19．(1)解: t S t tS a n n 3)32(3,111=+-=-(*∈≥N n n ,2)t S t tS n n 3)32(321=+-∴--(*∈≥N n n ,3)两式相减得11233(23)0(3,)3n n n n a t ta t a n t a t--+-+=∴=≥为正常数 又时2=n ,222123233(1)(23)1333a t t t a t t a t a t+++-+⋅=∴=∴=∴{}n a 是以1为首项,t t 332+为公比的等比数列.(注:未证明tt a a 33212+=扣2分) (2).32332)(3t t t t f +=+=,)2(32,33211≥=-∴+=∴--n b b b b n n n n }{n b ∴是以1为首项,32为公差的等差数列,312+=∴n b n)(12221254433221*∈-++-+-+-N n b b b b b b b b b b b b n n n n＝)()()(12122434312+--++-+-n n n b b b b b b b b b ＝91282)(34)(34231435242n n n b b b n n --=+-=++-+20、解：（Ⅰ）∵(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→CB ，(→AB )2＝→AB ·(→AC ＋→CB )＋→CA ·→CB 即(→AB )2＝→AB ·→AB ＋→CA ·→CB ，即→CA ·→CB ＝0，△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，A ∈(0，π2) ，∴sin A ＋sin B 的取值范围为．（Ⅱ）在直角△ABC 中， a ＝c sin A ，b ＝c cos A ．若a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，则有a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc≥k ，对任意的a 、b 、c 都成立， ∵ a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc＝1c 3sin A cos A[c 2sin 2A (c cos A ＋c )＋c 2cos 2A (c sin A ＋c )＋c 2(c sin A ＋c cos A )] ＝1 sin A cos A[ sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋1＋cos A ＋sin A ] ＝cos A ＋sin A ＋1＋cos A ＋sin A sin A cos A令t ＝sin A ＋cos A ，t ∈，设f (t )＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc ＝t ＋1＋t t 2－12＝t ＋2t －1＝t －1＋2t －1＋1．f (t )＝t －1＋2t －1＋1，当t －1∈1] 上时 f (t )为单调递减函数， ∴当t ＝2时取得最小值，最小值为2＋32，即k ≤2＋32，所以k 的取值范围为（－∞，2＋32]．21． 解（1）由题意可知当0=m 时，1=x （万件）k -=∴31即2=k123+-=∴m x 每件产品的销售价格为)(1685.1元x x +⨯ ∴2008年的利润)168(]1685.1[m x xx x y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484 )0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 21,)(31116,21298max ==⇒+=+=+-≤∴y m m m y 时万元当且仅当（万元） 答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元22．解：（1）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减， 2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （2）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。