201503惠州一模理科数学试题及答案

惠州市2015届高三第一次调研考试数 学 (理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A 15 .B 20 .C 25 .D 30 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 725．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） .A 30 .B 12 .C 24 .D 4 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） .A 24π.B π2 .C 21 .D 22π8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的长度θsin b a b a =⨯，若(2,0)u =r ，(1,3)u v -=-r r，则=+⨯)(v u u （ ）.A 34.B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .43 233正视图侧视图俯视图11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，B A ，分别是直线05sin cos =+-θρθρ和圆θρsin 2=上的动点，则B A ，两点之间距离的最小值是 . 15．(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB ∆是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且3=PO ，4=⋅PB PA ，则腰长OA = .三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知02cos 22sin=-xx . (1)求x tan 的值；(2)求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．A POB17．（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++ .）(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB == (1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A AC B --的大小。

BA 1CAB 1C 1已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和1(1)(1)12n n S n a =++-． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距离为10．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点(A B 、不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．F 2OxyP ABF 1 A 2 l已知关于x 的函数321()3f x x bx cx bc =-+++，其导函数为()f x '．记函数()()g x f x '= 在区间[]11-,上的最大值为M ． (1) 如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b c 、的值； (2) 若1b >，证明对任意的c ，都有2M >； (3) 若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCBDACAD1. 【解析】化简得i z 2121+=，则虚部为21，故选C2. 【解析】已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C3. 【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B4. 【解析】由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D 5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为r r rx C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C7. 【解析】此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A 8.【解析】由题意()(1,3)v u u v =--= ，则(3,3)u v += ，3cos ,2u u v <+>=，得1s i n ,2u u v <+>= ，由定义知1()sin ,223232u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯⨯= ，故选D二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．),32(+∞ 10．2213y x -= 11．12 12．3 13．(1,)-+∞ 14．221- 3 243 第6题图15．59. 【解析】由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ 10．【解析】抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -= 11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有： 33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个。

12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3。

13．【解析】设函数()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，得函数()g x 在R 上为增函数，且(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，所以当()24f x x >+时，有()0g x >，得1x >-， 故不等式()24f x x >+的解集为(1,)-+∞14．【解析】由题意，直线:50l x y -+=，圆的标准方程22(1)1x y +-=，则圆心(0,1)到直线l的距离为22，且圆半径1r =，故min 221AB d r =-=-15．【解析】以O 为圆心，以OA 为半径作圆，则圆O 经过点B ，即OA OB r ==，设PO 与圆O交于点C 且延长PO 交圆O 与点D ，由切割线定理知PA PB PD PC = ，即(3)(3)4r r +-=， 得5r =，所以5OA r ==三、解答题：16．（本小题满分12分） 解：（1）∵ sin2cos 022x x -=，则cos 02x≠ -------------------------1分 ∴ tan 22x= ---------------------------2分ABPOC DO C BA11 -1 xyy=-x∴ 22t a n2t a n 1t a n2x x x=- ----------------------------4分 2224123⨯==-- ----------------------------5分 （2） 原式22cos sin 222cos sin sin 22x x x x x-=⎛⎫- ⎪⎝⎭---------------------------7分(cos sin )(cos sin )(cos sin )sin x x x x x x x-+=- ----------------------------9分cos sin sin x xx +=------------------------------10分1tan tan x x += ------------------------------11分14= ------------------------------12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分 解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ξ 0123∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取1A B 的中点D ，连接AD ， ……………1分因1AA AB =，则1AD A B ⊥ ……………2分 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面11A ABB 1A B =，…………3分 得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. …………………4分 因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱， 则1AA ABC ⊥底面， 所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. ………………7分（2）解法一：连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影 ∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠ …………8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点 ∴ 1122AD A B ==，且=2ADC π∠，=6ACD π∠ ∴ 22AC = …………………9分 过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连DEP64125 48125 12125 1125BA 1 CAB 1C 1DE由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD AC ⊥，且AE AD A =∴ AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角 …………………10分 且直角1A AC ∆中：1122226323A A AC AE AC ⨯===又=2AD ，=2ADE π∠∴ 23sin =2263AD AED AE ∠==，且二面角1A AC B --为锐二面角∴ =3AED π∠，即二面角1A AC B --的大小为3π…………………14分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则(0,2,0)A ， (0,0,0)B ， (,0,0)C a ， 1(0,2,2)A(,0,0)BC a = ， 1(0,2,2)BA = ， (,2,0)A C a =-， 1(0,0,2)AA = (9)分设平面1A BC 的一个法向量1(,,)n x y z =由1BC n ⊥ ， 11BA n ⊥ 得：220xa y z =⎧⎨+=⎩令1y = ，得 0,1x z ==-，则1(0,1,1)n =- …………10分设直线AC 与1A BC 平面所成的角为θ，则6πθ=得12121sin 6242AC n AC n a π-===+，解得2a =，即(2,2,0)AC =- ………12分又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得，2(1,1,0)n =设锐二面角1A AC B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α=<>==，且(0,)2πα∈，得 3πα=∴ 锐二面角1A AC B --的大小为3π。