函数的基本性质1

y
1 , 0), (0, ) y 的单调减区间是 ( 解： _____________ 1 x y x 没有单调增区间
O
x 1 能不能说y 在定义域(, 0) (0, )上 思考1： x
是单调减函数?
1 思考2：函数 y 的单调区间是什么？ x
1 y 的单调增区间是 (,0), (0,) x
② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 V2 V1 k k 作差 p(V1 ) p(V2 ) k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1，V2∈ (0，+∞)得V1V2>0, 由V1<V2，得V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0
1.3 1.3 函数的基本性质 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.1 单调性与最大（小）值
一、引入课题 请说出下列函数的函数值f(x)随自变量x的增 大而变化的性质：
函数f ( x) x的图像由 函数f ( x) x 的图像在y轴左侧
2
(1)
(2)
左至右是上升的。
是下降的, 在y轴右侧是上升的 .
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
1 2
x1 O x2 设函数y=f(x)的定义域为I,
不能作出函数图象的 怎么判断单调性 （怎样证明函数单调性）
• 我们用定义来求解：
判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1.设 x1 , x 2 给定的区间,且 x1 x2 ;
2.计算 f ( x1 ) f ( x2 ) 至最简 ;
3.判断上述差的符号 ; 4.下结论(若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).
三、例 2 . 证 明 函 数 f ( x ) 2 x 1在 区 间
（ ， ） 上 是 增 函 数 。 证明： 设x1 , x2 是区间 (,)内任意
两个实数，且 x1 x2 。 （取值）
f ( x1 ) f ( x2 ) (2 x1 1) (2 x2 1) （作差） 2(x1 x2 )
f(x1) O
M
对区间D内 任意 x1，x2 ，
D x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数，D 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有 f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
y
f ( x)
-2 -5
O
1 图6
3
5பைடு நூலகம்
x
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个 确定的常数，无单调性可言，因此在写单调 区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。
但对于某些不在定义域内的区间端点， 书写时就必须去掉端点。
1 例3. 指出下列函数的单调区间： y x
函数图像的"上升''"下降"反映了函数的 一个基本性质——单调性。如何描述呢？

y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
D
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
定义域：I
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
x
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调增 区间. 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
③函数的单调性是相对某个区间而言。
下列说法是否正确？请画图说明理由。
（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有 f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调 递增。 （2）对于区间（a,b）上的某3个自变量的值 x1,x2,x3,当 a x1 x2 x3 b 时， 有 f (a) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f (b) 则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。
函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的 证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
思考1：一次函数 y kx b(k 0) 的单调性，单调 区间： 思考2：二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的单调性，单调区间：
（二）典型例题
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
即 p(V 1) p(V 2)
结论
k 所以，函数 p V , V (0, )是减函数.
k 例4、物理学中的玻意耳定律 p V (k为正常数 ) 告
定号
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求
当x1<x2时，
x1
x2
x
定义域：I
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内 任意 x1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
D x 1
x2
x
定义域：I
y
定义域：I
N
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
即f ( x1 ) f ( x2 )
（变形）
x1 x2 , x1 x2 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 0（定号）
则函数 f ( x ) 2 x 1在区间 (,) 是增函数。 （下结论）
3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一 般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；