22.2二次根式的乘除法-乘法
§22.2.2二次根式的除法
§22.2 二次根式的乘除法 ——二次根式的除法教学目标知识与技能：1.会进行简单的二次根式的除法运算．2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．过程与方法：3．引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题． 4．通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重点与难点重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：最简二次根式的概念. 教学过程一、问题情境如图，这是一块长方形绿地，已知长AD =m 7，这块绿地的面积为221m ，问宽AB 是多少? 解：)(721m AB ÷==ba ba（a ≥0，b ＞0）． 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除.三、尝试练习 1.计算: 315)1( 624)2( 解：5315315)1(== m7 DA24624624)2(===解决问题)(3721721m AB ==÷=四、对比归纳ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）．五、例题解析例1 计算与化简：672)1( 6152112)2(÷ 1003)3( a a 28)4(3解：3212672672)1(===569526123526152112)2(==÷=÷10310031003)3(== a a a a aa 242828)4(233===延伸拓展例2 计算与化简： （要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）32)1( 21)2( y x 32)3( 解：36363632)1(22===如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。
m7 DCBA()0,0>≥=b a b aba)0,0>≥=b a bba22)2(221)2(2==yxyy y x yx 36)3(3232)3(2=⋅=注：1.化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．2．像（2）(3)数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”六、达标反馈 1．使等式3535--=--x xx x 成立的x 的取值范围是 2.在横线上填写适当的数或式子使等式成立． (1)4)(8=⋅ (2)6)(23=3.计算与化简：1217)1( 838)2(- xy y 42)3(2七、回顾反思1、本节课你学到了什么？2、你还有什么不明白的？课后作业《补充习题》 §22.2 二次根式的乘除法 ——二次根式的除法。
【九年级数学试题】九年级数学二次根式的乘除法练习题(带答案)
九年级数学二次根式的乘除法练习题（带答案）
22．2 二次根式的乘除堂同步训练
第二时
一、选择题
1．计算的结果是（）．
A． B． c． D．
2．阅读下列运算过程
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．
A．2 B．6 c． D．
二、填空题
1．分母有理化(1) =_________;(2) =________;(3) =______ 2．已知x=3，=4，z=5，那么的最后结果是_______．
三、综合提高题
1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 1，现用直径为3 c的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？
2．计算
（1）（- ）÷ （ 0，n 0）
（2）-3 ÷（）× （a 0）
答案
一、1．A 2．c
二、1．(1) ;(2) ;(3)
2．
三、1．设矩形房梁的宽为x（c），则长为 xc，依题意，
得（ x）2+x2=（3 ）2，。
二次根式的加减乘除法则
二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。
如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。
具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。
在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。
具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。
2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。
3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。
4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。
两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。
具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。
2.将两个二次根式的系数相乘。
3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。
4.将步骤2和步骤3的结果相乘。
除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。
具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。
2.将被除数和除数的系数相乘。
3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。
以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。
二次根式的乘除ppt
二次根式的乘除运算可以扩展到更复杂的形式，如分母有理化、根式有理化 等。同时，二次根式的运算法则也可以推广到复数领域，为解决更复杂的问 题提供了基础。
感谢您的观看
THANKS
$=6\sqrt{6}$ 练习题1：$(2\sqrt{5})\times(3\sqrt{7})$
练习题2：$(4\sqrt{3})\times(6\sqrt{5})$
进阶练习题
总结词：灵活运用，注意简化
解答： $=\frac{3\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}$ 练习题1：$\frac{(4\sqrt{48})}{(3\sqrt{12})}$
运算结果化简
总结词
二次根式乘除运算的结果需要进行化简，以最简二次根 式的形式表达。
详细描述
化简二次根式乘除运算的结果，需要遵循二次根式化简 的原则。首先，需要消除结果中的分母；然后，需要化 简根式内部的乘除项；最后，需要化简根式外部的乘除 项。
单位转换
总结词
在进行二次根式乘除运算时，需要注意单位转换的问 题。
详细描述
分解因式技巧包括提公因式法、公式法、十 字相乘法等，这些方法可以帮助我们将二次 根式化简为更简单的形式，从而更容易进行
乘除运算。
04
二次根式的乘除注意事项
负数处理
要点一
总结词
二次根式乘除中，对于负数处理，应先确定根式内部的 符号，再进行乘除运算。
要点二
详细描述
在二次根式中，当根式内部为负数时，需要先确定符号 。在进行乘除运算时，应保持根式内部的符号不变，并 将根式外部的符号与根式内部的符号相反。
06
二次根式的乘除总结与展 望
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
二次根式的乘除课件
二次根式的乘除课件二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学习中扮演着重要的角色。
在学习二次根式的过程中，乘法和除法是必不可少的运算。
本文将探讨二次根式的乘除运算，并介绍一种适合教学的课件设计。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的操作。
在进行乘法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同底数相乘：当两个二次根式的底数相同时，我们可以将它们的系数相乘，底数不变。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 不同底数相乘：当两个二次根式的底数不同时，我们可以将它们合并为一个二次根式，底数为两个二次根式的乘积。
例如，√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4。
3. 乘法的交换律：二次根式的乘法满足交换律，即乘法顺序可以随意调整。
例如，√2 × √3 = √3 × √2。
通过以上几点，我们可以得出二次根式的乘法运算规则。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指一个二次根式除以另一个二次根式的操作。
在进行除法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同底数相除：当两个二次根式的底数相同时，我们可以将它们的系数相除，底数不变。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
2. 不同底数相除：当两个二次根式的底数不同时，我们可以将它们合并为一个二次根式，底数为被除数的底数除以除数的底数。
例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2)= √4 = 2。
3. 除法的交换律：二次根式的除法不满足交换律，即除法顺序不能随意调整。
例如，√2 ÷ √3 ≠ √3 ÷ √2。
通过以上几点，我们可以得出二次根式的除法运算规则。
三、二次根式乘除课件设计为了帮助学生更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，我们可以设计一份互动性强的课件。
以下是一种可能的课件设计：1. 引入部分：通过引入一些实际生活中的例子，向学生展示二次根式的应用场景，激发学生的学习兴趣。
二次根式的乘除法ppt
乘法运算技巧
对于一些特殊的二次根式乘法，可以采用一些简便方法。
比如$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$可以直接得到结果$2$，而$\sqrt{3} \times \sqrt{3}$可以直接得到 结果$3$。
对于$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$，如果$a$和$b$都是平方数，那么可以直接得到结果$\sqrt{ab}$。
THANKS
谢谢您的观看
3
注意结果的合理性
在进行二次根式乘除法时，需要注意结果的合 理性，以避免出现不符合实际情况的结果。
02
二次根式乘法
乘法运算规则
1
二次根式的乘法运算规则与普通实数的乘法运 算规则类似，但需要注意根号的简化。
2
两个二次根式相乘，只需要将两个根式的指数 相加，再将根号内的数值相乘即可。
3
如果两个二次根式的根号下是相同的数，么 它们相乘的结果就是根号下这个数的平方。
除法运算技巧
对于分母中含有能开方的数时，应尽量先开方再 计算。
对于分母中含有多个相同的数时，应将这个数乘 以分子的系数。
对于分母中含有能凑整的数时，应尽量凑整后再 计算。
04
二次根式乘除法应用
面积计算
总结词
二次根式乘除法在面积计算中有着广泛的应用。
详细描述
在计算矩形、三角形、圆形等图形的面积时，可以利用二次根式乘除法进行计算 ，从而得到精确的结果。
学生在进行二次根式乘除法时，可能会按照常规的运算顺序进行计算，即先乘除 后加减，从而导致计算结果错误。正确的运算顺序应该是先化简二次根式，再进 行乘除运算。
忽略结果是否为最简二次根式
总结词
在进行二次根式乘除法时，学生常常会忽略结果是否为最简 二次根式。
初中数学最新-九年级数学二次根式的乘除法测试题3 精
22.2 二次根式的乘除法(C卷)（50分,40分钟）一、阅读理解题（10分）①验证：==②验证：==（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．二、信息处理题（10分）2．在一节数学探究课上，张老师出示了下列命题：已知正数a和b，①若a+b=2，1；②若a+b=3，32；③若a+b=6，3．读完上述三个命题后，老师告诉同学们上述命题均为真命题．试猜想，若a+b=7________．若a+b=n_______．我们可以得到一个规律：__________．试对上述规律进行证明．三、实践题（10分）3．用长为3cm ，宽为2.5cm 的矩形纸牌30张摆成一个正方形，你怎样摆，•试着摆一下．四、发散题（10分）4．你感觉对二次根式的化简应怎样进行，步骤应怎样总结．五、说理题（10分）5．已知a+b=-3，a ·b=2的值．=22a b ==32我们知道，当a ≥000≥0，其和必然不小于零，•而题中结果却是负数，说明计算过程有错误，请你指出错在哪一步，错的原因是什么，正确解法又该怎样？参考答案一、1．解：（1）验证：==（2）反映的规律：证明：n == 点拨：解决阅读题的关键是看懂题目所给的阅读材料，此题属类比型总计题，•用题目中所给的信息验证所给的问题，要通过题目中每一步变形的情况，类比出自己进行验证时所采取的措施．联系本题，第一步，先把根号外的因式平方后移到根号内；第二步，在被开方数的分子上配上一个常数，进行分解变形；第三步，整理结果．二、2．解：72；2n 2a b +（a ≥0，b ≥0）．证明：因为a ≥0，b ≥00所以≥0，-（a+b 2a b +． 点拨：题目给出大量的信息，首先应分清信息中2与1，3与32，6与3的对应关系，即后边的常数是前边一个常数的12，然后进行类比，推理． 三、3．解：摆成如图所示的形状即可．点拨：30张纸牌的总面积是3×2.5×30=225（cm 2=15（cm ）•所以在摆正方形时，横排放6张使边长为2.5×6=15（cm ），竖排放5张，边长也是3×5=15（cm ），符合题意．拓展：请同学们把纸牌的数量改变，如120张，又该怎样摆呢？四、4．解：一观察，二变形，三开方．首先：观察所给的二次根式是否符合最简二次根式的两个条件．其次：•根据具体情况进行变形．若有高次因式，用积的分离进行变形；若有分母，用商的分离进行分母有理化．最后：把分离后能开得尽方的因式或因数开方．点拨：此题没有现成的答案，同学们不可能从教材上找到具体的语言叙述，•只能根据自己的解题经验进行总结，只要叙述合理，与上面所给答案不一致也是可以的，•同学们应有这种求异思维，用自己的语言把事情叙述清楚了，也从侧面反映了同学们对知识的掌握情况较好．五、5 正确的解法是：因为a+b=-3，ab=2，所以a<0，b<0，a b ab =32点拨：解决这类题应注意挖掘题目中的隐含条件，题目中错解的原因就在于没有根据实数的运算法则分析清楚字母a ，b 的取值均为负，而造成了解题失误，•如果题目中确实无法搞清字母的符号，那么就应该分类讨论，不能想当然．拓展：挖掘题目中的隐含条件是一项解题的基本功，比如计算出席会议的人数，•就不可能为负数或小数．其次，我们解完题后，应认真反思一下，此题前几年屡次出现在中考试卷中，结果得-32。
22[1].2二次根式的乘除法 第三课时
22.2.3 最简二次根式教学内容本节课主要学习最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法．教学目标1．知识与技能．理解最简二次根式的概念，并且会运用它进行二次根式的化简．2．过程与方法．经历计算或化简的过程，提炼出最简二次根式的概念，学会检验最简二次根式的方法． 3．情感、态度与价值观．培养学生严谨的数学思想，合作交流的意识，体会数学在实际生活中的应用价值．重难点、关键1．重点：掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．2．难点：判断二次根式是否是最简二次根式．3．关键：运用二次根式的性质以及法则进行推断，注意检验条件．教学准备1．教师准备：收集有关本节课内容的题目充实到教学中去．2．学生准备：复习上一节课内容，理解其应用方法．教学过程一、回顾交流，复习导入1．课堂演练．（投影显示）计算：（1（2（3教师活动：操作投影仪，巡视，几分钟后，请三位学生上讲台演讲．教师点评：（1（2（32a2．合作探究．1.732==1.732，•然后再延伸到近似值问题，从而引导学生得出这样一个结论：遇到一个二次根式，将它化简会给解决问题带来方便． 3．导入新知．最简二次根式的条件．（投影显示） （1）被开方数的因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．学生活动：通过引例，认清判断最简二次根式的条件，明确今后二次根式的运算都必须把它化成最简二次根式． 二、范例学习，加深理解例1：把下列各式化成最简二次根式．（1） 教师活动：在讲例中让学生明确怎样的二次根式才是最简二次根式，学会检验结果是否是最简二次根式．学生活动：参与例1的学习，与教师一起进行思维互动．思路点拨：（1）关键是分母12如何开出来，实际上可利用分数基本性质将被开方数512分子、分母都乘以3，得3612（2）将x 2y 4+x 4y 2因式分解为x 2y 2（y 2+x 2）；（3）可将8x 2y 3进行因数分解，即22x 2y 2·2y ，从而有评析：化简时，往往需要把被开方数分解因数或分解因式． 三、随堂练习，巩固深化1．把下列各式化成最简二次根式．（1(6)x答案：（1）（2）（3 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．答案：132=====6.5（cm ）． 媒体使用：投影显示随堂练习．评析：当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化． 四、辨析理解，讨论交流1．例2：下列计算是否正确？112323x yxy=+=+=+=学生讨论：上述（1）～（4）都不正确．（1）、（2）是犯了运算顺序错误；（3）412=4+12，实际上应先将412化为92，然后再化简为32（4）9=32，因此23教师活动：引导学生辨析问题，加深对化简的理解．2．探研时空．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121==-．==从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：）的值．思路点拨：由题意可以得出，本题所给的是一组分母有理化的式子，所以，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=……）=））=2002-1=2001师生互动：在教师的引导下，学生充分应用分数基本性质，将分母有理化．五、课堂总结，提高认识1．本节课内容较为简单，•就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法，明确怎样的二次根式才能称得上是最简二次根式，并且知道遇到二次根式，一般应把它先化简，这会给解决问题带来方便．2．将一个二次根式化简成最简二次根式只有以下两种情况：（1）如果被开方数是分式或分数（包括小数），•先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．（2）如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，•然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．六、布置作业，专题突破选用课时作业设计．七、课后反思（略）第三课时作业设计1．（x>0）2．_______．3=________．的值为______．4．当x>2时，求|2|x-5（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）A 0)0)yB yC >>y>0）D ．以上都不对6．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）A ..C D7．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B C a D ====8的结果是（ ）A ．-136．-112．-2D ．以上结论都不对 9．把下列各式化成最简二次根式．（1）(3))a b <10．若x ，y 为实数，且11．已知a 若不正确，请写出正确的解答过程．·1a （a-1答案:1．2. 3．5124．1 5．C 6．D 7．C 8．C9．（1）（2）•11．不正确，因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩所以a<0，a（1-a。
二次根式的乘法 积的算术平方根 课件
注意隐含条件
五、师生互动，运用新知 师生互动，
练习化简： (1) 27 (2) 32 (3) 48
(4) 45
(5) 27
(6) 72
化简
(1) 9× 25 (3) 20 − 16
2 2
2 (2) 24 3 (4) (-4)(-25)
练习化简： (1) 16a b
2
(2) 8a b c
3 2
(3) 12x y
提问：观察以上计算结果，你能发现什么？ 提问：观察以上计算结果，你能发现什么？
概括： 概括：
a × b = a ×b
注意： 注意： a、b 必须都是非负数，上式才能成立。 、 必须都是非负数，上式才能成立。 两个二次根式相乘， 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘
用途：二次根式的运算
三、师生互动，运用新知 师生互动，
a × b = a × b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
2.积的算术平方根的性质 （化简） 积的算术平方根的性质: 化简） 积的算术平方根的性质
a ⋅ b = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
利用(1)(2)进行计算和化简二次根式 进行计算和化简二次根式. 利用 进行计算和化简二次根式
在实数范围内， 注意 在实数范围内， 当a≥0时， 时 当a< 0时， 时 有意义。 有意义。 a 没有意义， a 没有意义，
二、提出问题，引出新知 提出问题，
1. 试一试： 试一试：
(1) 4 × 25 = ___ = ___ 4× 25 = ____ = _____
(2) 16 × 9 = ___ = ___ 16×9 = ____ = _____
(6) 4a
2
3