复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
复数问题的类型与解法
复数问题的类型与解法大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷必有一个五分小题。
从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。
纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数的概念问题；②复数的运算问题；③复数几何意义的问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。
各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、复数Z=（2+i ）（1+i ）的共轭复数为（ ）A 3-3iB 3+3iC 1+3iD 1-3i【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法对圆锥复数进行运算，根据共轭复数的定义与性质就可作出选择。
【详细解答】Q Z=（2+i ）（1+i ）=2+2i+i+2i =1+3i ，∴Z =1-3i ，⇒D 正确，∴选D 。
2、已知复数Z=2+i ，则Z. Z =（ ）B C 3 D 5【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用共轭复数的性质，得到共轭复数，根据复数的运算法则和方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】Q Z=2+i ，∴Z =2-i ，⇒ Z. Z =（2+i ）（2-i ）=4-2i =4+1=5，⇒D 正确，∴选D 。
,3、设复数Z 满足i （Z+1）=-3+2i(i 是虚数单位),则Z 的实部是 ；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a ，b 的值，从而得出复数Z 的代数表示，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q i （Z+1）= i （a+bi +1）=ai+b 2i +i=-b+（a+1）i=-3+2i ，∴-b=-3，a+1=2，⇒a=1，b=3，∴ Z=1+3i, ⇒Z 的实部是1。
高考数学复数知识点总结及解题思路方法
r1 (cos1 r2 (cos 2
i sin 2 ) i sin 2 )
r1 r2
[cos(1
2 )
i sin(1
2 )]
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n r n (cos n i sin n )
3 1, 2 , 1 ,1 2 0, n n1 n2 0(n Z)
22
则
.
5. ⑴复数 z 是实数及纯虚数的充要条件：
①zR z z.
②若 z 0 ， z 是纯虚数 z z 0 .
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，
而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为
2
2
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
a bi r(cos i sin ) ， r a 2 b 2 ， cos a , sin b .
r
r
⑶几类三角式的标准形式：
r(cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
r(cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
§15. 复 数 知识要点 1. ⑴复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 i2 1. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如 a + bi 的数（其中 a，bR ）； ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； ③ 虚数—当 b 0 时的复数 a + bi； ④ 纯虚数—当 a = 0 且 b 0 时的复数 a + bi，即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意
r( cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质
§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜． 讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可． 由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故 ｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1） （＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即 （ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为 （ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0． 又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0． 则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较） （3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（ ）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）． Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
复数学习的重难点
复数的学习的重难点由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。
而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。
三．技巧方法1、 设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。
2、 在简化运算中，如能合理运用i 和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。
3、 性质：22||||z z z z ==是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。
4、 学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的认识。
四、注意点析1、 要注意实数、虚数。
纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集，2、 当概念扩展到复数后，实数集R 中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。
3、 熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
五、思想方法1、 数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。
图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。
2、 方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。
3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及22||||z z z z ==等，进行复数与实数间的转化。
高考数学试卷重要考点
一、函数与导数1. 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本概念；2. 函数的图像与性质，如对称性、单调性、极值、最值等；3. 导数的概念、计算方法及几何意义；4. 利用导数解决实际问题，如求函数的极值、最值、单调区间等；5. 高阶导数的概念、计算方法及应用。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义、性质、图像及应用；2. 三角恒等变换，如正弦、余弦、正切、余切等函数的化简、恒等式证明等；3. 解三角形，如正弦定理、余弦定理、正切定理等的应用；4. 三角函数与解三角形在实际问题中的应用。
三、数列1. 数列的概念、性质、分类及通项公式；2. 数列的求和公式，如等差数列、等比数列的求和公式；3. 数列的极限概念及计算方法；4. 数列在实际问题中的应用。
四、复数1. 复数的概念、性质、运算及几何意义；2. 复数的模、辐角、三角形式的表示及运算；3. 复数在实际问题中的应用。
五、不等式与方程1. 不等式的概念、性质、解法及应用；2. 方程的概念、性质、解法及应用；3. 不等式与方程在实际问题中的应用。
六、立体几何1. 立体图形的概念、性质、分类及计算；2. 空间几何体的体积、表面积的计算；3. 空间几何体在实际问题中的应用。
七、解析几何1. 解析几何的基本概念，如点、直线、圆、圆锥曲线等；2. 直线与圆的位置关系，如相交、相切、平行等；3. 圆锥曲线的性质、方程及计算；4. 解析几何在实际问题中的应用。
八、概率与统计1. 概率的基本概念、性质及计算方法；2. 随机变量及其分布律、期望、方差等概念；3. 统计的基本概念、方法及应用；4. 概率与统计在实际问题中的应用。
九、线性规划1. 线性规划的基本概念、性质及求解方法；2. 线性规划在实际问题中的应用。
总结：高考数学试卷涵盖了函数与导数、三角函数与解三角形、数列、复数、不等式与方程、立体几何、解析几何、概率与统计、线性规划等多个重要考点。
考生在备考过程中，应注重基础知识的学习和巩固，熟练掌握各类题型的解题方法，提高解题能力。
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1
复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用
酒泉市实验中学 冯德福
一．复数模的两个主要性质
性质1. 2121z z z z = 性质 2.)0(22
121≠=z z z z z 即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，两个复数商的模等于它们的模的商。
证明：性质1.设bi a z +=1，di c z +=2，则
1222
2222222222222222()()
()()()()22z z a bi c di ac bd ad bc i
ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c a c b d a d b c =++=-++=-++=
-++++=
+++ 又 2
22222222222222221))((c b d a d b c a d c b a d c b a z z +++=++=++=
所以 2121z z z z =
2.由性质1易得，
上述证明用的是高中数学的方法，如果使用复数的三角形式或者指数形式证明就更简单了。
有兴趣的同学可以自学大学数学中《复变函数》这部分内容，提前感受大学数学的魅力。
二．在高考解题中的应用
例1.设复数z 满足
（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解：5543432
22=⇒=⇒+=⇒+=z z i z i z ，故填5 点评：这道题目一般做法是先根据复数的乘方求出复数z ，再由模的公式求出z 的模，而直接使用性质1就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模，省去了乘方运算。
例2. 若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，|z|=( )
212221222121
z z z z z z z z z z z z ===
2
A ．1
B ．2 C.2 D.3 解：222212)1(2)1(=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+z z i z i i z i i z ，故选
C 点评：这道题目一般做法是先根据复数的除法求出复数z ，再根据模的公式求出|z|，而直接使用性质1就不需要进行复数的除法，直接求出复数的模了。
例3.已知复数512i z i =
+ (是虚数单位),则|z|= 解: 55
5215215215==+=+=⇒+=i i i i z i i z ,故填 5 点评：这道题目一般做法是先进行复数的除法求出复数z ，再根据模的公式求出|z|，而直接使用性质2就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模。
例4.复数)()2(2
为虚数单位i i
i z -= ,则|z|=（ ） A ．25 B ．41 C ．5 D ． 5 解：51
)5(12)2()2()2(2
2222==-=-=-=⇒-=i i i i i z i i z ，故选C 点评: 这道题目一般做法是先进行复数的乘方和除法求出复数z ，然后由模的公式求出|z|，而直接使用性质2就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模。
例5.设复数z 满足11z z
+- =i ，则|z|=( ) （A ）1 （B ）
（C
（D ）2 解：由11z i z +=- 得，11i z i -+=+ ，故12211==++-=i i z ，故选A.
点评: 这道题目一般做法是先根据复数的乘除法求出复数z ，然后由模的公式求出|z|，而直接使用性质2只需要求出复数z,不需要进行复数的除法,直接就可以求出复数的模。
复数是高考的一个必考点，考试内容是复数的概念，几何意义，加减乘除运四则运算以及模的计算，题目多以选择填空小题为主，在高考中主要考查对概念的理解和运算方法的掌握，尤其是运算速度。
对于一些题目，诸如复数模的计算，如果掌握上述性质，则运算简单方便，快捷高效。
三．强化练习
1．复数1z 1i =
-的模为（ ）
3
A ． 12
B ．22
C ．2
D ．2 2. |
|=（ ） A ．22 B ．2 C 2 D ．1 3.设z ＝1
1＋i ＋i ，则|z|＝( )
A. 1
2 B. 2
2 C. 3
2 D ．2
4.已知复数 在z 满足i z i +=+1)31( ，则z 等于（ ）
A. 22
B. 2-
C. 2
D.2
5．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈ ,则复数 x yi +的模是（
） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
答案：1.B 2.C 3.B 4.A 5.D。