天津市第一中学2014-2015学年高一上学期数学必修1导学资料 2.2 对数和对数函数

log a N
logaN=b（a>0 且 a≠1）.这个式子表明在解
决指数时，我们常通过取对数；而解决对数时又经常将其转化为指数问题.这种转化的方法
名称 a 底数 底数 b 指数 对数 N 幂 真数
3．对数恒等式： a
=N，这个公式是连结指数与对数的一座桥梁.对于理解对数
的定义和证明对数的重要性质都有非常重要的作用.

4．常用对数与自然对数.当底数 a=10 时，即 logaN 为 lgN.当底数 a=e（e 是一个无
理数，e=2.71828……）时，称为自然对数，记作 lnN. 5．对数的基本性质. 1° 零和负数没有对数. 2° 1 的对数等于零. loga1=0 3° 底的对数等于 1. logaa=1 6．对数的运算性质. 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0 那么 1° loga(MN)=logaM+logaN 即乘积的对数等于每一个因式的对数的和.
简单地说对数运算中的积、商、幂、方根的对数等于对数的和、差、积、商. 同时对于使用运算性质要注意每一个取对数的实数必须是正数，否则可能出现错误.特 别是乘积的情况.例如 M<0，N<0 则有 loga(MN)=logaM+logaN.此时，loga(MN)有意义 但 logaM 与 logaN 均没有意义. 7．对数的换底公式及其应用的几个公式.
∴f(x)为奇函数.
(2) y = log 2 ( x 2 + 1 − x)
∴ 2 y = x 2 + 1 − x 而又由
− y = log 2 ( x 2 + 1 + x). 这是由于函数为奇函数所得.
∴ 2− y = x 2 + 1 + x 1 ∴ x = (2 − y − 2 y ) 2 1 即反函数为y = (2 − x − 2 x ) x ∈ R. 2 2 例 6．设函数 y = (2 + x )(3 − x ) 的定义域为 A，函数 y = lg(k − 2 x − x ) 的定义域为
例 3．如果 loga(ab)=4logabb，问点(a，b)在怎样的图形上. 解：loga(ab)=1+logab
4 log ab b =
4 log a b 1 + log a b
∴(1+logab)2=4logab (1-logab)2=0， ∴logab=1，即 a=b 且 a>0 且 b>0 且 a≠1 且 b≠1. ∴点（a，b）在直线 y=x 在第一象限部分且不包含（1，1）点. 例 4． 已知：log23=a ，3b=7， 求： log 3 7 2 21. （用 a，b 表示）
题目条件的底数、真数均为质数，应对待求的对数的底数与真数进行“换”与“分”，使
其为质数。 [解] 由题可知 3b=7 ⇒ log37=b
log 3 7 2 21 = log
63
84 =
log 2 84 log 2 63
log 2 (2 2 × 3 × 7) log 2 (3 2 × 7) 2 + log 2 3 + log 2 3 ⋅ log 3 7 = 2 log 2 3 + log 2 3 ⋅ log 3 7 2 + a + ab = 2a + ab
=
例 5． 设f ( x) = log 2 ( x + 1 − x)
2
（1）证明 f(x)是 R 上的奇函数. （2）求 f(x)的反函数. 证明：
(1) Q x 2 + 1 > x 2 =| x |≥ x对任何x ∈ R均成立 ∴ f ( x)的定义域为R.
f (− x) = log 2 ( x 2 + 1 + x) = log 2 ( x 2 + 1 − x) −1 = − log 2 ( x 2 + 1 − x) = − f ( x)
图象特点： 1° 图象都在 y 轴的右方. 2° 图象都过（1，0）点即 loga1=0. 3° 当 0<a<1 时，则当 0<x<1 时图象在 x 轴的上方，当 0<a<1 时，则当 x>1 时图 象在 x 轴的下方.
当 a>1 时，则当 x>1 时图象在 x 轴的上方，当 a>1 时，则当 0<x<1 时图象在 x 轴
0<m<1 或 0<n<1 n>m
⎧log 5 m ⋅ log 5 n > 0 ∴⎨ ⎩log 5 n > log 5 m
m>1 得 n>1 n>m
∴n>m>1 或 0<m<n<1 例 9．求函数 y=log3(x2-5x+6)的单调区间. 解：令 u=x2-5x+6，y=log3u 为增函数，且 u>0 时为 x>3 或 x<2，且当 x>3 时， u=x2-5x+6 为增函数，x<2 时 u=x2-5x+6 为减函数. ∴y=log3(x2-5x+6)的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（-∞，2） 例 10．设 x、y、z ∈ R，且 3x=4y=6z。 （1）求证：
B，若 A ⊆ B, ，求实数 k 的取值范围。 解：
由已知得 : A = [−2, 3] 而B = {x | k − 2 x − x 2 > 0} = (−1 − 1 + k , − 1 + 1 + k ). 由于A ⊆ B. 有 : − 1 − 1 + k < −2 且 − 1 + 1 + k > 3. 解之得k > 15. 例7. 若a 2 > b > a > 1试比较 log b
(5) log a n b m =
的十分简捷. 二）对数函数.
这个重要的结论对于我们计算将是提供有力的支持，可以直接使用将使我们的运算变
1．定义：函数 y=logax（a>0 且 a≠1）称为对数函数. 由于 y=ax 与 y=logax 互为反函数，所以可知：y=logax 的定义域为 R+，值域为 R. 2．图象和性质 由于 y=ax 与 y=logax 互为反函数，所以它们的图象关于直线 y=x 对称.
解：
b , log b a, log a b的大小. a
b b−a b Q b > 1 ∴ log b x为单调增函数, 而 − a = < 0. ∴ < a a a a b ∴ log b < log b a, 而b > a, ∴ log b a < 1, 有 log a b > 1 a b ∴ log a b > log b a > log b a
2
例 8．已知 logm5>logn5（m, n∈R+且 m≠1 且 n≠1）试比较 m、n 的大小. 证明：
log m 5 − log n 5 =
log 5 n − log 5 m 1 1 − = >0 log 5 m log 5 n log 5 m ⋅ log 5 n
⎧log 5 m ⋅ log 5 n < 0 或 ⎨ ⎩log 5 n < log 5 m
1°换底公式 : log b N =
log a N 即以任何实数b为底的对数等于以a为底真数N的对 log a b
数与以a为底原来底b的对数的商.
证明：设 logbN=x，则有 N=bx ∴logaN=logabx=x·logab
∴x =
log a N = log b N log a b
这个换底公式还有下面的两个直接的结果： （1）logab·logbN=logaN
1
例 1．已知 lg 2 = 0.3010, lg 1.0718 = 0.0301, 求 lg 2.5及2 10 的值. 解：
lg 2.5 = lg
1
10 = 1 − lg 4 = 1 − 2 lg 2 = 1 − 2 × 0.3010 = 0.3980 4
lg 2 10 =
1 lg 2 = 0.0301 = lg 1.0718 10
log a ( MN )
=MN
Qa
log a M + log a N
=a
log a M
⋅a
log a N
= M ⋅N
∴ a log a ( MN ) = a log a M +log a N
∴loga(MN)=logaM+logaN 以上的证明方法对于对数的基本运算性质的其它性质也是可以同样的证明，请同学们 自己去试一试. 注：对于对数的运算法则的理解我们可以依赖于“降一级”的想法来实现. 乘方 乘 加法 开方 除 减 真数运算 降一 级运算已添 对数运算
∴2
1 10
= 1.0718
例 2．已知：log189=a，18b=5，试用 a，b 表示 log3645. 解：∵18b=5 ∴log185=b 又 log189=a
∴ log 36 45 =
log18 5 + log18 9 log18 45 log18 (5 × 9) a+b = = = 2 2 log18 36 log18 18 − log18 9 2 − a 18 log18 9
对数这个概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念.在初中的学习里没有接触过.因 此，认真学习基本概念是我们同学首先要做到的.对数的运算在某种意义上可以认为是生产 力发展的结果.特别是，在十七世纪最初应用航海中的复杂的四则运算.即多位数的乘除，高 次的乘方与开方，可以认为对数与指数是互为逆运算，对数在高等数学中也有其重要的运 算的地位. 对数函数是指数函数的反函数.它们具备了互为反函数的二个函数的特征.因此，通过对 数函数的学习也将使得我们进一步加深对反函数的概念、性质的理解. 一）对数 1．定义：一般地，如果 a（a>0 且 a≠1）的 b 次幂等于 N.（即 ab=N），那么 b 就叫做 以 a 为底 N 的对数，记作 logaN=b.其中 a 叫做底数，N 叫做真数，式子 logaN 叫做对数 式. 从这个定义中，我们不难看出对数的定义是由指数形式来给出的，这充分说明对数与 指数是互为逆运算，这一点必请大家十分清楚.由于 ab=N 中的 a>0 且 a≠1，我们可知 N 必须是一个正数.所以，零和负数是没有对数的.同时 ab=N 在指数和对数中 b，N 是有不同 的名称的.这一点也请同学们注意.相同点 a 都称为底数.而在 ab=N 中，b 称为指数、N 称 为幂.而在 logaN=b 中，b 称为对数、N 称为真数. 2．指数式与对数式的互化：ab=N 是解决数学问题的重要思想和手段. 对数式与指数式的关系及相应各字母的名称（见下表） 式子 指数式 对数式 ab=N logaN=b