初中数学三角形(三)常用辅助线作法

初中数学三角形(三)常用辅助线作法

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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常用辅助线作法

姓名 时间

与中点有关的辅助线常用作法：

一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形.

例1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：

例2. 如图，AB=CD

，E 为BC 的中点，∠

BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE 。

二、有以线段中点为端点的线段时，倍长该线段,构造全等三角形.

例3．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且

QM PM ⊥

于M.求证：222BQ AP PQ +=.

A

B

E C D

3

三、有中点时，可再取中点,构造中位线.

例4．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN

交AB 、AC 于

P 、Q ，求证：AP=AQ ．

四、等腰三角形有底边中点， 连中中点,利用三线合一.

例5．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥ 于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.

与角平分线有关的辅助线常用作法：

一、出现线段的和、差关系时,通常考虑截长补短.

例6.已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=AB ＋CD ．

A D P

B C Q E M N

A

B C

D

E

1 2

3 4

4

例7．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。

二、有角平分线时，利用对称性，在较长边上截取跟较短边相等的线段，构造全等.

例8.如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

例9.如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC

，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。

三.角平分线上的点向角一边做垂线时，就过这点向另一边做垂线，利用角平分线定理来解题。

例10．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD

1 2

A

C D

B

B

D

C

A

B

C

E

A

B C

D

5

四．有和角平分线垂直的线段时，把它延长构造等腰三角形.

例11．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM 的延长线于点D ，DE ∥CA 交AB 于E ．求

证：AE=BE ．

五.有角平分线时,作与角平分线平行的直线构造等腰三角形.

例12．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE

于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠.

【巩固练习】

1．如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD

2．如图，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，求证：BC=AD+BD 。

M

D

B

E

A C

A

C

A

6

3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

1．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC

2．已知：如图，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 为CD 的中点，AB=AD+BC ． 求证：（1）BE AE ⊥；（2）AE 平分BAD ∠．

A B D

C

1 2

B

C

E

D A

A

E

B D C

7

3．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点，求证：DH=2

1

（AB －AC ）．