2009福建数学(理科)
2009年高考福建省数学(理)试题答案
大铁椎传学习目标：1、掌握本课生字词如“省兄”、“健啖”、“囱户”、“言讫”、“屏息”等；2、对照注释，掌握重点词语的意思，翻译句子，疏通文意；3、把握课文主要内容，分析人物形象。
学习重点：1、掌握文言词句；2、分析人物形象。
学习难点：课文中一词多义现象学习方法：读、译、析、评相结合课时安排：三课时。
学习过程：第一课时学习重点：掌握本课生字词，掌握课文重点词语的意思，翻译句子，疏通文意。
一、预习、导学1、了解作者及文体。
魏禧：字叔子，又字冰叔，号裕斋，又号勺庭，清代散文家。
文体：人物传记2、学生掌握生字省．兄健啖．拱揖．囱．户言讫．强．留屏．息鼾．睡与偕．行贼二十余骑．慎弗．声骑．马挟．矢扣．问觱篥．．辄．你认为还有哪些字音字形需要提醒大家，写在下面。
3、学生朗读课文，借助课下注释翻译本文，并指出理解有困难的句子。
（整体感知课文）二、合作探究（38分钟）1、教师范读课文，学生注意听清字音及朗读节奏；教师读后学生朗读课文。
2、在小组内采用你问我答的形式解释重点词语。
3、教师指导学生理解有困难的词。
4、教师指导学生交流探讨，归纳总结古汉语现象。
（1）、指出下列加点词语在不同语境中的意思——一词多义现象。
寝貌甚寝（形容词，丑陋。
）既同寝（动词，睡眠。
）不只一个，还有呢！快去找吧！记得按上面的格式整理啊！（2）、这一课出现了几个通假字，它们是谁？你发现了吗？写下来吧！[注意通假字的解释的步骤]（3）、指出下列句中加点词语的古今义——古今异义①故尝与过宋将军②子灿见囱户皆闭5、翻译句子。
（1）、结合预习学生提出译句中不会解释的句子，先在小组内讨论，小组内也不能解决的写在黑板上集体讨论。
（2）、指名五位同学逐段翻译课文，有问题的加以指正。
6、识记这节课所学知识。
三、当堂练习（7分钟）1、给划线的字注音椎省兄鼾睡健啖拱揖言讫屏息囱户强留寝觱篥仆股栗辄击杀之2、解释下列每组句中加点词语的意思。
⑴、故尝与过宋将军。
2009年全国高考数学福建卷理科第15题详细解析
2009年全国高考数学福建卷理科第15题题目背景是斐波那契(Fibonacci)数列.（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为5．【解法二】归纳猜想：1．列举：五个数一圈，则分为五个一群。
如下：|| 1、1、2、3、5；|| 8、13、21、34、55；|| 89、144、233、377、610；|| 987……2．观察：上面分群数列中，显然，甲所报数各群首数，呈周期性出现，周期为５。
而所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4。
３．找首数：即找甲同学第一次拍手时，所报数。
易得第16个数987既是3的倍数，又是甲报的数。
４．规律：由第二步可知，甲所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4与５的最小公倍数，即为２０．以后每报数增加4×5=20个时，甲同学拍一次手。
５．结论：所以甲报第16个，第36个，第56个，第76个，第96个数时拍手，１００个数之内，甲共拍手5次。
解法三：由题意可知：（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“雯波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．（4）．问题可化为求数列{4n}与{5m-4}的共同部分数，易知，当m=4k，n=5k-4时，5m-4=20k-4=4n，又1＜4n≤100，∴20k-4＜100．∴k≤5∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．故答案为：5变式训练：五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为。
2009年福建省理科数学高考答案
2009年福建省理科数学高考答案参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．A ． 5．A ． 6．B ． 7．D ． 8．A ． 9．B ． 10．C ．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11． 12．31． 13．2ln 2． 14．2n n 62-+．15．O 为平面ABC 外一点,则点P 在平面ABC 上的充要条件是: 存在实数x,y,z 满足OP x OA y OB z OC=⋅+⋅+⋅，且x y z 1++=”． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题主要考查闭区间上二次函数的最值，三角函数的性质，二倍角公式，配方法，换元法等基础知识，考查运算求解能力及分类与整合思想.满分13分． 解：（Ⅰ）当m 0=时，f (x)cos 2x =-，令2k 2x 2k π≤≤π+π(k Z)∈，得k x k 2ππ≤≤π+(k Z)∈．因此f (x)cos 2x =-的单调递增区间为[k ,k ]2πππ+(k Z)∈．（Ⅱ）2f (x)4msin x cos2x 2sin x 4msin x 1=-=+-222(sin x m)(2m 1)=+-+令t sin x =，则22g(t)2(t m)(2m 1) (1t 1)=+-+-≤≤. ①若m 0-≤，则在t 1=时，g(t)取最大值14m +. 由14m 3,m 0,+=⎧⎨-≤⎩得1m 2=；②若m 0->，则在t 1=-时，g(t)取最大值14m -.由14m 3,m 0,-=⎧⎨->⎩得1m 2=-．综上,1m .2=±17. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，以及应用意识．满分13分． 解法一：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”， 则P(A)=0.35+0.45=0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况： 恰有1次击中9环以上，概率为p 1=C 13·0.81·(1-0.8)2=0.096； 恰有2次击中9环以上，概率为p 2=C 23·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有3次击中9环以上，概率为p 3=C 33·0.83·(1-0.8)0=0.512． 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率 p= p 1+ p 2+ p 3=0.992． (Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B ， 则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2. 因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35； P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05． 所以ξ的分布列是解法二： (Ⅰ)设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)， 则P(A)=１－0.1－0.1=0.8．甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为P 0=C 03·0.80·(1-0.8)3=0.008．所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P 0=0.992． (Ⅱ)同解法一．18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力．满分13分．解法一：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、 C(0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、 E(1，0，2 )、F(0，2，1)． (Ⅰ)取AD 1中点G ，则G （1，0，1），CG -→=（1，-2，1），又EF -→=（-1，2，-1），由EF -→=CG -→-，∴EF -→与CG -→共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(Ⅱ) ∵AB=(0,2，0)，cos<EF ,AB>=EF AB |EF ||AB |⋅==⋅，∴异面直线EF 与AB (Ⅲ)假设满足条件的点P 存在，可设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP 的一个法向量为n=(x ，y ，z)，则n AC 0,n AP 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =(0，2，t), AC =(-2，2，0)， ∴2x 2y 0,2y tz 0,-+=⎧⎨+=⎩取2n (1,1,)t =- .易知平面ABC 的一个法向量1BB (0,0,2)=，依题意知，<1BB ，n >=30°或<1BB ，n>=150°，∴|cos<1BB ，n4||-=，即22434(2)4t=+，解得t = (0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP二面角P-AC-B 的大小为30°.解法二：(Ⅰ)同解法一知EF =(-1,2，-1) ，1AD=(-2,0，2)，AC = (-2,2，0)，∴EF =AC -121AD ，∴EF 、AC 、1AD共面.又∵EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一． 解法三：易知平面ACD 1的一个法向量是1DB=(2，2，2).又∵EF =(-1,2，-1)，由EF ·1DB = -2+4-2=0， ∴EF ⊥1DB，而EF ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．19．本题主要考查函数与导数等基础知识，考查分析问题、解决问题能力，考查应用意识.满分13分.解：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为 2y 2px(p 0),C(4,2).=>且因为2122p 4,p 2=⋅=，故曲线段OC 的方程为y x 4).≤≤设2P(y ,y)(0y 2)≤<是曲线段OC 上的任意一点， 则在矩形PQBN 中，2|PQ|2y,|PN |4y ,=+=-∴工业区面积232S |PQ ||PN |(2y)(4y )y 2y 4y 8,=⋅=+-=--++2122S 3y 4y 4,S 0y ,y 23''=--+===-令得.20y 2,y .3<<∴=当2y (0,)S 0,S y 3'∈>时是的增函数；当2y (,2)3∈时，S 0,S y '<是的减函数，2y 3∴=时，S 取到极大值，此时8|PQ |2y 3=+=，232832256|PN |4y .S 9.5.93927=-==⨯=≈2max y 0,S 8,S 9.5(km ).==∴≈ 时答：把工业园区规划成长为328km,km 93宽为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为29.5km .20．本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力．满分14分．解法一：(Ⅰ)设椭圆方程为2222y x 1a b+=(a>b>0)，由已知c=1，又2a==所以2=a 2-c 2=1，椭圆C 的方程是x 2+ 2y 2=1.(Ⅱ)若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1,若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是(x+13)2+y 2=169．由2222x y 1,116(x )y ,39⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得x 1,y 0.=⎧⎨=⎩即两圆相切于点(1，０)． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T(1，0)．若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y=k(x+13)．由221y k(x ),3y x 1.2⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即(k 2+2)x 2+23k 2x+19k 2-2=0. 记点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-1, y 1), TB=(x 2-1, y 2), TA ·TB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-1)(x 1+x 2)+19k 2+1=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-1) 222k 3k 2-++ 21k 9+1=0，所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(1，0)． 所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．解法二：(Ⅰ)由已知c=1，设椭圆C 的方程是2222y x 1a a 1+=-(a>1)．因为点P 在椭圆C 上，所以221121a a 1+=-,解得a 2=2，所以椭圆C 的方程是：22y x 12+=.(Ⅱ)假设存在定点T(u ，v)满足条件．同解法一得(k 2+2)x 2+23k 2x+19k 2-2=0.记点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-u, y 1-v), TB =(x 2-u, y 2-v),及y 1=k(x 1+13),y 2=k(x 2+13)．所以TA ·TB=(x 1-u)(x 2-u)+(y 1-v)(y 2-v) =(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-u-kv)(x 1+x 2)+19k 2-2k 3v+u 2+v 2=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-u-kv)·222k 3k 2-++ 21k 9-2k 3v + u 2+v 2，=222222(3u 2u 3v 5)k 4vk 6u 6v 63(k 2)++--++-+.当且仅当TA ·TB=０恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T. TA ·TB =０恒成立等价于22223u 2u 3v 50,4v 0,6u 6v 60.⎧++-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得u=1,v=0.此时，以AB 为直径的圆恒过定点T(1，０)．当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116(x )y 39++=亦过点T(1，０)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件． 解法三：(Ⅰ)同解法一或解法二． (Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点T 满足条件，根据直线过x 轴上的定点S 及椭圆的对称性，所求的点T 如果存在，只能在x 轴上，设T(t ，O)．同解法一得212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-t, y 1), TB=(x 2-t, y 2),所以 TA ·TB =(x 1-t)(x 2-t)+y 1y 2=(x 1-t)(x 2-t)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-t)(x 1+x 2)+19k 2+t 2=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-t)222k 3k 2-++21k 9+t 2= 2222(3t 2t 5)k 6t 63(k 2)+-+-+.当且仅当TA ·TB=O 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T. TA ·TB =O 恒成立等价于223t 2t 50,6t 60.⎧+-=⎨-=⎩解得t=1.所以当t=1时,以AB 为直径的圆恒过点T.当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116(x )y 39++=亦过点T(1，O)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件． 21．（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：111 0 0 0MN 220 20 10 2⎛⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝⎭⎭⎝⎝，设P (x ,y )是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y sin x =上点000P (x ,y )在矩阵MN 变换下的对应点，则有001x x 02y y 0 2⎛⎫⎛⎛⎫⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎭ ⎝⎝⎭⎝，即001x x ,2y 2y .⎧=⎪⎨⎪=⎩所以00x 2x,1y y.2=⎧⎪⎨=⎪⎩又点00P(x ,y )在曲线y sin x =上，故00y sin x =，从而1y sin 2x 2=，所求曲线C 的方程为y 2sin 2x =．（2）本题主要考查直线和圆的极坐标与参数方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分． 解：曲线C 的极坐标方程4cos ρ=θ化为直角坐标方程为22x y 4x 0+-=，即22(x 2)y 4-+=.直线l的参数方程x 1,y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为x y 10--=. 曲线C 的圆心（2，0）到直线l= 所以直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长为= （3）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想.满分7分． 解法一：注意到x,y,z R ∈，且x y z 3++=为定值，利用柯西不等式得到222222(x y z )(111)++++2(x 1y 1z 1)9≥⋅+⋅+⋅=， 从而222x y z ++3≥，当且仅当x y z 1===时取“＝”号， 所以222x y z ++的最小值为3．解法二：可考虑利用基本不等式“22a b 2ab +≥”进行求解，由222x y z ++＝2(x y z)(2xy 2xz 2yz)++-++2222229(x y x z y z )≥-+++++， 从而求得222x y z ++3≥，当且仅当x y z 1===时取“＝”号，所以222x y z ++的最小值为3．。
2009年福州市高二理科数学试卷有答案
福建省福州市2008—2009学年度上期末（高二）(理科)考试数学试卷完卷时间：120分钟 满分：150分一、填空题：（本大题16小题，每小题5分，共80分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答。
）1. 复数32()()i i -+-的值是2. 已知向量),3,2(μ-=a与向量)0,,3(λ=b 平行，则μλ+等于3.用定积分的几何意义，则-⎰=4. 若复数1a ii-+（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为5. 长方体1111D C B A ABCD -中，AA 1=AB=4，AD=2，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点则直线A 1E ， FG 所夹的角的余弦值为6. 若C z ∈且|2|1,|2|则-=+z i z i 的最大值是7. 双曲线的一条准线将半实轴二等分，则它的离心率为8. 一物体沿直线以速度()cos =v t t （t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，该物体从时刻t=0秒至时刻 t=56π秒间运动的路程 9. F 是抛物线y 2=4x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是10. 以下两个命题：（1）∃x ∈R, 使得sinx=32; （2） 2,10x R x x ∀∈++≠. 其中正确的是 （写出所有真命题的序号）． 11. 已知函数()sin41xf x x π=++ ，则()1f '= .12. 以椭圆221164x y +=内的点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为 ． 13. 以下四个命题：① x ＝0是函数f (x)＝x 3＋2的极值点；C 1A 1CB G② 当a 无限趋近于0③ ¬q 是¬p 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；④在ΔABC 中，“A>30º ”是“sinA>12”的必要不充分。
2009年高考福建数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 12D.1 1．【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.故选B 2.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2} C ． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x ≤0或x ≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02CuA x x =≤≤.故选A3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53C.- 2 D 3 3．【答案】：C [解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 4.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+24．【答案】：D[解析]∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．2 B .4 C. 8 D .166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(福建卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．()sin cos f x x x =最小值是 ( )A ．-1B ．12-C ．12D ．12．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于( )A ．πB ．2C ．π-2D ．π+2 3．等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ） A ．1B ．53C ．﹣2D ．34．设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是( )A ．1////m l βα且B ．12////m l l 且nC ．////m n ββ且D ．2////m n l β且 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16二、解答题6．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点1. 求异面直线NE与AM所成角的余弦值2. 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由三、填空题7．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．参考答案1．B【解析】试题分析：∵()sin cos f x x x =1sin 22x =，∴当sin2x=-1即x=()4k k Z ππ-∈时，函数()sin cos f x x x =有最小值是12-，故选B 考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题2．D【解析】 ∵2sin |(sin )[sin()]222222x x x x πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D3．C【分析】首先根据等差数列的求和公式，得到31336S a d =+=，将14a =代入，求得2d =-，得到结果.【详解】由题意得31336S a d =+=，因为14a =，解得2d =-，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式的应用的问题，涉及到的知识点是等差数列的求和公式，正确应用公式是解题的关键.4．B【解析】要得到,//βα必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
函数()sin cosf x x x=最小值是A．-1 B.12-C.12 D.11．【答案】：B[解析]∵1()sin22f x x=∴min1()2f x=-.故选B2.已知全集U=R，集合2{|20}A x x x=->，则U Að等于A．{ x ∣0≤x≤2} B { x ∣0<x<2} C．{ x ∣x<0或x>2} D { x ∣x≤0或x≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x=<或}2x>∴}{02CuA x x=≤≤.故选A3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1 B 53 C.- 2 D 33．【答案】：C[解析]∵31336()2S a a==+且3112=4 d=2a a d a=+∴.故选C4.22(1cos)x dxππ-+⎰等于A．π B. 2 C. π-2 D. π+2 4．【答案】：D[解析]∵2sin(sin)[sin()]222222xx xxπππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x中，满足“对任意1x，2x∈（0，+∞），当1x<2x时，都有1()f x>2()f x的是A ．()f x =1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D()ln(1)f x x =+5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA ．2B .4 C. 8 D .16 6．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C 7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B [解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在1221,//,//m l n l λλ⋂8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析(可打印修改)
2009年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•福建）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（ ）A．﹣1B．﹣C．D．1【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用倍角公式可把已知转化为f（x）=sin2x 的形式，结合三角函数中正弦函数最小值取得的条件，求解该函数的最小值【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．∴当x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）min=﹣．答案B【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式在三角化简中的运用，利用该公式，把已知化简成y=Asin（wx+∅）的形式，进一步考查函数的相关性质．2．（5分）（2009•福建）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（ ）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合A中不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵x2﹣2x＞0，∴x（x﹣2）＞0，∴x＞2或x＜0，∴A={x|x＞2或x＜0}，∁U A={x|0≤x≤2}．故选A【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．3．（5分）（2009•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（ ）A．1B．C．2D．3【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．4．（5分）（2009•福建）（1+cosx）dx等于（ ）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．5．（5分）（2009•福建）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（ ）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．【解答】解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选A．【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．6．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A．2B．4C．8D．16【考点】循环结构．【专题】阅读型；图表型．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．（5分）（2009•福建）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．【解答】解：若m∥l1，n∥l2，m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8．（5分）（2009•福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题．【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数，∴所求概率为==0.25．故选B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．9．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（ ）A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．【解答】解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos（90°±θ）|=| |•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．故选A．【点评】本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．10．（5分）（2009•福建）函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64}【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=令设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）=y1=ax2+bx+c，f2（x）=y2=ax2+bx+c那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=对称也就是说x1+x2=同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称那就得到x3+x4=，在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}而在D中，{1，4，16，64}找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和故答案D不可能故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2009•福建）若=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b= 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【专题】计算题．【分析】把所给的等式左边的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，变形为复数的标准代数形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a和b的值，得到结果．【解答】解：∵===1+i，∵=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2．故答案为：2【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数相等的充要条件，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．12．（4分）（2009•福建）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字a= 1 ．【考点】茎叶图．【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分88，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，∴636+a=91×7=637，∴a=1故答案为：1【点评】本题通过茎叶图给出一组数据，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，这样的问题可以出现在选择题或填空题，本题是逆用平均数公式，考查最基本的知识点．13．（4分）（2009•福建）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．14．（4分）（2009•福建）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 {a|a＜0} ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点，再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点，讨论a的正负进行判定即可．【解答】解：由题意该函数的定义域x＞0，由．因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点．再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点．当a=0不符合题意，当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．故答案为：{a|a＜0}【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 15．（4分）（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 5 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题意可确定5位同学所报数值为斐波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题．【解答】解：由题意可知：（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m﹣4．（4）问题可化为求数列{4n}与{5m﹣4}的共同部分数，易知，当m=4k，n=5k﹣1时，5m﹣4=20k﹣4=4n，又1＜4n≤100，∴20k﹣4＜100．∴k≤5∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．故答案为：5【点评】本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2009•福建）从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】常规题型．【分析】（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有25﹣1个，等可能地取出一个有31种结果，而满足条件集合中的所有元素之和为10的通过列举有3个，根据古典概型公式得到结果．（2）所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，类似于第一问得到各值对应的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件数是C51+C52+C53+C54+1=31事件A包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4}∴P（A）=，（2）由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，ξ的分布列是：又P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==P（ξ=4）==P（ξ=5）==∴Eξ=1×=【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n个元素的集合的子集个数是2n．17．（13分）（2009•福建）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠OBA=75°，⊙O的半径为1，则OC的长等 ．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【专题】计算题．【分析】由OA=OB可以得到∠OBA的度数，然后求出∠AOC．设BC的长为x，再利用三角函数将AC的长用含x的代数式表示出来．在Rt△OAC中，运用勾股定理可将BC的长求出，进而可将OC的长求出．【解答】解：设BC的长为x，则OC的长为1+x，∵OA=OB，∠OBA=75°，∴∠AOC=180°﹣75°×2=30°．∴AC=sin∠AOC×OC=（1+x）．在Rt△OAC中，OC2=OA2+AC2即（1+x）2=12+（）2∴x=﹣1+（舍负值）．∴OC=OB+BC=．故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线性质，勾股定理及解直角三角形的知识，关键是利用勾股定理列出方程．18．（13分）（2009•福建）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【考点】已知三角函数模型的应用问题．【专题】综合题．【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为所以A=，由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=所以M（4，3），P（8，0）|MP|=（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）由正弦定理得，所以NP=，MN=设使折线段赛道MNP为L则L===所以当角θ=30°时L的最大值是．【点评】本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．19．（13分）（2009•福建）已知A，B 分别为曲线C：+y2=1（y≥0，a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T．（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（1）先由曲线C为半圆时得到a=1，再由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°，再对每一种情况下利用解三角的方法分别求点S的坐标即可；（II）先把直线AS的方程与曲线方程联立，求出点T的坐标以及k BT，进而求得k SM；以及直线SM的方程，再利用O在直线SM上即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°．┉┉（1分）（1）当∠BOT=60°时，∠SAB=30°．又AB=2，故在△SAE中，有SB=AB•tan30°=，∴s（1，）；┉┉（3分）（2）当∠BOT=120°时，同理可求得点S的坐标为（1，2），综上，s（1，）或s（1，2）．┉┉（5分）（Ⅱ）假设存在a，使得O，M，S三点共线．由于点M在以SB为直径的圆上，故SM⊥BT．显然，直线AS的斜率k存在且K＞0，可设直线AS的方程为y=k（x+a）由⇒（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0．设点T（x T，y T），则有，故x T=⇒，故T（，）又B（a，0）∴k BT==﹣，k SM=a2k．由⇒S（a，2ak），所直线SM的方程为y﹣2ak=a2k（x﹣a）O，S，M三点共线当且仅当O在直线SM上，即2ak=a2ka．又a＞0，k＞0⇒a=，故存在a=，使得O，M，S三点共线．【点评】本题主要考查直线和圆相切，直线的方程，三点共线和圆的几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．20．（14分）（2009•福建）已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；（2）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（Ⅰ）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（Ⅱ）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）欲求：“f（x）的单调区间”，对于三次函数而言，利用导数解决，本题还得对字母a进行讨论；（2）存在性问题，结合观察f（x）的图象，帮助分析问题．【解答】解：（1）依题意，得f′（x）=x2+2ax+b，由f′（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1从而f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）=（x+1）（x+2a﹣1）令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1当x变化时，根据f′（x）与f（x）的变化情况得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）②当a=1时，1﹣2a=﹣1，此时有f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R、③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）综上：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）（2）（Ⅰ）由a=﹣1得f（x）=x3﹣x2﹣3x令f′（x）=x2﹣2x﹣3=0得x1=﹣1，x2=3由（1）得f（x）增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在处x1=﹣1，x2=3处取得极值，故M（﹣1，），N（3，﹣9）观察f（x）的图象，有如下现象：①当m从﹣1（不含﹣1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f（x）在点P处切线的斜率f（x）之差Kmp﹣f′（m）的值由正连续变为负、②线段MP与曲线是否有异于M，P的公共点与Kmp﹣f′（m）的m正负有着密切的关联；③Kmp﹣f′（m）=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp﹣f′（m）的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值、曲线f（x）在点P（m，f（m））处的切线斜率f′（m）=m2﹣2m﹣3；线段MP的斜率Kmp=，当Kmp﹣f′（m）=0时，解得m=﹣1或m=2，直线MP的方程为y=（x+），令g（x）=f（x）﹣（x+），当m=2时，g′（x）=x2﹣2x在（﹣1，2）上只有一个零点x=0，可判断f（x）函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，又g（﹣1）=g（2）=0，所以g（x）在（﹣1，2）上没有零点，即线段MP与曲线f（x）没有异于M，P的公共点、当m∈（2，3]时，g（0）=﹣＞0，g（2）=﹣（m﹣2）2＜0，所以存在δ∈（0，2]使得g（δ）=0，即当m∈（2，3]时，MP与曲线f（x）有异于M，P的公共点综上，t的最小值为2．（Ⅱ）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为（1，3]．【点评】本题综合考查了函数导数的综合应用，本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的极值，以及存在性问题，有一定的难度，是一道很好的压轴题．21．（14分）（2009•福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数；（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．【考点】直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；（3）分三种情况x大于等于，x大于等于0小于和x小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．【解答】解：（1）由题意可知（x，y）=（13，5），即，解得，所以A（2，﹣3）；设矩阵M的逆矩阵为，则•=，即，且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2所以矩阵M的逆矩阵为；（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心（﹣1，2），半径r=2则圆心到已知直线的距离d==＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，所以直线与圆的公共点有两个；（3）当x≥时，原不等式变为：2x﹣1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[，2）；当0≤x＜时，原不等式变为：1﹣2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，）；当x＜0时，原不等式变为：1﹣2x＜﹣x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．综上，原不等式的解集为[0，2）．【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
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09福建数学（理工农医类）。
函数 最小值是
A ．-1 B. -12 C. 1
2 D.1
2.已知全集U=R ，集合A={x ∣2x -2x >0}，则C A 等于
A ． { x ∣0≤x ≤2}
B { x ∣0<x<2}
C ． { x ∣x<0或x>2}
D { x ∣x ≤0或x ≤2}
3.等差数列∣n a ∣的前n 项和为
n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于
A ．1
B 53
C 2
D 3 4. 2
2π
π
-⎰
(1+cosx)dx 等于
A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2
5.下列函数f(x ) 中，满足“对任意
1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x
的是
A ．()f x =1
x B. f(x )=2(1)x - C f(x )=2e D f(x )=ln(x+1) 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A ．2
B .4 C. 8 D .16
7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线.则α// β的
一个充分而不必要条件是
A.m // β 且l 1 // α
B. m // l 1 且n // l 2
C. m // β 且n // β
D. m // β且n // l 2
8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
现采用随机模拟的方法估计该运动
员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，
指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，
代表三次投篮的结果。
经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 357 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A ．0.35
B 0.25
C 0.20
D 0.15
9.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，
a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣,则∣
b •
c ∣的值一定等于
A ． 以a ，b 为两边的三角形面积
B 以b ，c 为两边的三角形面积
C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积
D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积
10.函数f(x)=a 2x +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x= -2b
a 对称。
据此可推测，对任意的非零
实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]
2+nf(x) +p=0的解集都不可能是 A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64
第二卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11.若2
1i -=a+bi （i 为虚数单位，a ，b ∈R ）则a+b=__________
12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶
图所示。
记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，
发现有一个数字（茎叶图中的x ）
无法看清。
若记分员计算失误，则数字x 应该是___________
13.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45
的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段
AB 的长为8，则p=_________________
14.若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.
15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.
三解答题
16.（13分）
从集合{}
1,2,3,4,5
的所有非空子集中，等可能地取出一个。
记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
记所取出的非空子集的元素个数为ξ的分布列和数学期望Eξ
17（13分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M D⊥ABCD，
且MD=NB=1，E为BC的中点
求异面直线NB与AM所成角的余弦值
在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？
若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由
18、（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段位函数
y=Asinωx(>0, ω>0) x∈[0,4]的图像，且图像的最高点位
S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定∠MNP=120o
（I）求A , ω的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
19、（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C：
2
2
x
y+2y=1（y≥0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
若曲线C为半圆，点T为圆弧
的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a’,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
20、（本小题满分14分）
已知函数f(x)= 1
3x3+ax2+x 且f’(-1)=0
(1) 试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；
（2）令a=-1,设函数f(x)在x1, x2( x1< x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，
P(m,f(m)), x1<m< x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m ∈(1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x1≤n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，
（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵M
23
11
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A(13,5),试求M的逆矩阵及点A
的坐标
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:(θ为参数)试判断他们的公共点个数
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1。