2009年广东高考理科数学试题及答案完整版
2009年普通高考(广东卷)及详细答案 word版
2009年普通高等学校招生全国统一考试物 理 （广东A 卷） 本试卷共8页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，有一个或一个以上选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
1．物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列表述正确的是A ．牛顿发现了万有引力定律B ．洛伦兹发现了电磁感应定律C ．光电效应证实了光的波动性D ．相对论的创立表明经典力学已不再适用2．科学家发现在月球上含有丰富的He 32（氦3），它是一种高效、清洁、安全的核聚变燃料，其参与的一种核聚变反应的方程式为He 32+He 32→H 112+He 42，关于He 32聚变下列表述正确的是A ．聚变反应不会释放能量B ．聚变反应产生了新的原子核C ．聚变反应没有质量亏损D ．目前核电站都采用He 32聚变反应发电3．某物体运动的速度图象如图1，根据图象可知 A ．0-2s 内的加速度为1m/s 2B ．0-5s 内的位移为10mC ．第1s 末与第3s 末的速度方向相同D ．第1s 末与第5s 末的速度方向相同4．硅光电池是利用光电效应原理制成的器件,下列表述正确的是A ．硅光电池是把光能转变为电能的一种装置B ．硅光电池中吸收了光子能量的电子都能逸出C ．逸出的光电子的最大初动能与入射光的频率无关D ．任意频率的光照射到硅光电池上都能产生光电效应5．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道，发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图2．这样选址的优点是，在赤道附近A ．地球的引力较大B ．地球自转线速度较大图1C ．重力加速度较大D ．地球自转角速度较大6．如图3所示，在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块，由静止释放后，两个物块向相反方向运动，并最终停止，在物块的运动过程中，下列表述正确的是A ．两个物块的电势能逐渐减少B ．物块受到的库仑力不做功C ．两个物块的机械能守恒D ．物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力7．某缓冲装置可抽象成图4所示的简单模型，图中K 1、轻质弹簧，下列表述正确的是A ．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B ．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C ．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D ．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变8．人在地面上用弹簧秤称得其体重为490N ，他将弹簧秤移至电梯内称其体重，t 0至t 3时间段内弹簧秤的示数如图5所示，电梯运行的v-t 图可能是（取电梯向上运动的方向为正）9．图6为远距离高压输电的示意图，关于远距离输电，下列表述正确的是A ．增加输电导线的横截面积有利于减少输电过程中的电能损失B ．高压输电是通过减小输电电流来减少电路的发热损耗C ．在输送电压一定时，输送的电功率越大，输电过程中的电能损失越小D ．高压输电必须综合考虑各种因素，不一定是电压越高越好10．如图7所示，电动势为E 、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接，只合上开关S 1，三个灯泡都能正常工作，如果再合上S 2，则下列表述正确的是A ．电源输出功率减小B ．L 1上消耗的功率增大C．通过R 1上的电流增大 D ．通过R 3上的电流增大11．如图8所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B 的t 图3 垫片 图4 图5 t t t匀强磁场中，质量为m 、带电量为+Q 的小滑块从斜面顶端由静止下滑。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1
（D） 6
解：设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . a a
(5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 C3 C6 225 种选法
o
，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 3 ，
Q 到α的距离为 2 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 （ C ） (A) (B)2 (C) 2 3
Q
(D)4
解:如图分别作 QA 于A, AC l于C , PB 于B,
B C A
PD l于D ，连 CQ, BD则ACQ PBD 60, AQ 2 3, BP 3 ， AC PD 2
。
解:在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理,可得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 故此球的表面积为 4 R 20 .
2
5，
16. 若
4
x
4 ，0 中心对称 3
2
4 13 k k (k Z ) 由此易得 | |min .故选 A 6 3 2 6
2009年高测验题——广东卷(数学理)Word缺答案
绝密★启用前试卷种类： B2009 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）数学（理科）本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项： 1．答卷前， 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷种类（ B ）填涂在答题卡相应地点上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。
答案不可以答在试卷上。
3．非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案； 禁止使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参照公式：锥体的体积公式 V1sh ，此中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，满分40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．１．巳知全集 UR ，会合 M { x 2 x 1 2}和 N { x x 2k 1, k1,2, } 的关系的韦恩（Ｖ enn ）图如图 1 所示，则暗影部分所示的会合的元素共有 A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个Ｄ．无量个２．设 z 是复数， a( z) 表示知足 z n 1 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， a(i )Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数 yf ( x) 是函数 y a x (a 0,且 a 1) 的反函数，其图像经过点( a, a) ，则f (x)Ａ． log 2 xＢ． log 1 xＣ． 1Ｄ． x 222x４．已知等比数列{ a n } 知足 a n 0, n 1, 2, ，且 a 5a2n 522n (n 3)，则当 n 1 时，log 2 a 1 log 2 a 3log 2 a 2n 1Ａ． n(2 n 1)Ｂ． ( n 1)2Ｃ． n 2 Ｄ． (n 1)2-1-/55．给定以下四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同向来线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点遇到平面上的三个力F1, F2 , F3（单位：牛顿）的作用而处于均衡状态．已知F1, F2成600角，且 F1 , F2的大小分别为２和４，则F3的大小为Ａ．６Ｂ．２Ｃ．25Ｄ．277．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不一样工作，若此中小张和小赵只好从事先两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不一样的选派方案共有Ａ．36 种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一同点同时出发 ,并沿同一路线〈假设为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和 v乙（如图2所示）．那么关于图中给定的 t0和 t1，以下判断中必定正确的选项是A．在t1时辰，甲车在乙车前方B．t1时辰后，甲车在乙车后边C．在t0时辰，两车的地点同样D．t0时辰后，乙车在甲车前方二、填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为a1 , a2 ,, a n，则图3 所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特点是．（注：框图中的赋值符号“=”也能够写成“←” “： =”）１０．若平面向量 a,b 满足a b 1 ， a b 平行于x轴，b ( 2, 1)，则 a．11．巳知椭圆G的中心在座标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 ，2且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．-2-/512．已知失散型随机变量X 的散布列如右表．若 EX 0 ， DX 1 ，则 a ， b．（二）选做题（ 13 ~ 15 题，考生只好从中选做两题）x 1 2t,x s, （ s 为 13．（坐标系与参数方程选做题） 若直线 l 1 :2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 :y 1y kt. 2s.参数）垂直，则 k ．x 114．（不等式选讲选做题）不等式1 的实数解为．x215． ( 几何证明选讲选做题）如图4，点 A,B,C 是圆 O 上的点， 且AB 4, ACB 450 ，则圆 O 的面积等于．三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16． ( 本小题满分 12分）已知向量 a (sin , 2)与 b (1,cos ) 相互垂直，此中(0, )．2（ 1）求 sin 和 cos 的值；（ 2）若 sin()10 ，求 cos 的值．,010217．（本小题满分 12分） 依据空气质量指数API （为整数）的不一样，可将空气质量分级以下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获取的API 数据依据区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，获取频次散布直方图如图 5（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）计算一年屮空气质量分别为良和稍微污染的天数；（ 3）求该城市某一周起码有 2天的空气质量为良或稍微污染的概率 . ( 结果用分数表示．已知-3-/55778125,27128,32738123,365735）1825365182518259125912518．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体ABCD A1B1C1 D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1, AA1的中点．设点 E1, G1分别是点Ｅ，Ｇ在平面DCC 1D1内的正投影．（１）求以Ｅ为极点，以四边形FGAE 在平面DCC1D1内的正投影为底面界限的棱锥的体积；（２）证明：直线FG1平面FEE1；（３）求异面直线E1G1与 EA 所成角的正统值19．（本小题满分１４分）已知曲线 C : y x2与直线 l : x y 2 0 交于两点 A(x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ，且 x A x B．记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面地区（含界限）为 D ．设点P(s,t)是 L 上的任一点，且点P 与点 A 和点 B 均不重合．（１）若点 Q 是线段AB的中点，试求线段PQ 的中点M的轨迹方程；（２）若曲线G : x22ax y2 4 y a2510与点D有公共点，试求a的最小值．2520．（本小题满分１４分）-4-/5已知二次函数y g( x) 的导函数的图像与直线y 2x 平行，且 y g( x) 在x 1 处获得极小值 m 1(m0)．设f ( x)g ( x)．x（１）若曲线 y f (x) 上的点P到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2，求 m 的值；（２） k (k R) 怎样取值时，函数y f ( x)kx 存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线 C n : x22nx y20(n 1,2, ) ．从点 P( 1,0) 向曲线 C n引斜率为 k n (k n0)的切线l n，切点为 P n ( x n , y n ) ．（１）求数列{ x n} 与{ y n } 的通项公式；（２）证明： x1 x3 x5x2 n 11x n 2 sinxn1x n y n-5-/5。
2009年广东理数B
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1 •答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷 上。
3 •非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4 •作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5 •考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
1参考公式：锥体的体积公式 V sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高3一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1•巳知全集U =R ，集合M 二｛x -2乞x-1乞2｝和N 二｛xx =2k-1,k =1,2川（｝的关系 的韦恩（V enn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 E.2个 C.1个D.无穷个2•设z 是复数，a （z ）表示满足z n =1的最小正整数n ,则对虚数单拦I |1位 i , a （i ）= A.8E.6 C.4 D.23•若函数y=f （x ）是函数y 二a x （a • 0,且a = 1）的反函数，其图像经过点 G a,a ），则f(x)=4 .巳知等比数列｛a n ｝满足a n 0, n=1,2川，且a5 a 2n _^ = 22n （n_3），则当n_1时,Iog 2a 1 Iog 2a 3 川 log 2a 2n_1 =A. log 2 xB. log 1 x2C. D.x 2A. n(2 n-1)B. (n 1)2 c. n2D. (n-1)2数学（理科）试题8第1页（共4页）5 .给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是A.①和② E.②和③ C..③和④ D.②和④6.一质点受到平面上的三个力F|, F2, F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知F1, F2成60°角，且F2的大小分别为2和4,则F3的大小为A.6B.2C. 2.5D. 2.17.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36 种B. 12 种C. 18 种D. 48 种&已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线〈假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图2所示）.那么对于图中给定的 ^和屯，下列判断中一定正确的是A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. 匕时刻后，甲车在乙车后面C. 在t°时刻，两车的位置相同D. t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9〜12题）9 .随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2^l,a n，则图3所示的程序框图输出的S ，表示的样本的数字特征是_______ .（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成=”）1 0 .若平面向量a,b满足a b =1 , a b平行于x轴，b =（2，- 1）则a = ____1*13一罷11.巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为,2垂直，则k =15.（几何证明选讲选做题）如图AB = 4,. ACB 二450，则圆O 的面积等于三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤， 16.（本小题满分12分）已知向量a =（sin ’-2）与b=（1,cosv ）互相垂直，其中- （0/ ）2 °（1） 求 sin 二禾口 cos 二的值;■"10(2)若 sin( v - ) — ,0 ，求 cos 「的值.10 217. （本小题满分12分）根据空气质量指数 API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表 ：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直 方图如图5API 0 50 51 ~ 100 101 2 150 151 - 200 201 - 250 251 - 300> 300级别 InHIi1112V狀况优良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染©©（1）求直方图中x 的值；（2 ）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3 ）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率 （结果用分数表示.已知且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆G 的方程为 数学（理科）试题 B 第2页（共4页）EX =0 ,12•已知离散型随机变量 X 的分布列如右表•若DX =1,则 a , b.（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）11： 「x =1 _2ty ；kt （t 为参数）与直线1x = s,J y=1—2s. （s 为参数）X -1 0 1 2 Pab1C1214.（不等式选讲选做题）不等式匕1 > 1的实数解为x 2）若直线4，点A, B,C 是圆O 上的点,7 7 3 2 7 3 8 1235 =78125,2 =128，亠亠亠亠，365 =73 5)1825 365 1825 1825 9125 9125数学〈理科)试题B第3页(共4页)18. (本小题满分14分)如图6,已知正方体ABCD -ABGU的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心，点F、DCC1D1内的正投影.G分别是棱C1D1, AA,的中点.设点E1,G1分别是点E、G在平面(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG _平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正统值19. (本小题满分14分)2已知曲线C : y = x与直线丨：x -y • 2 = 0交于两点A(x A, y A)和B(x B, y B),且x A：：：x B.记曲线C 在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D .设点P(s, t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；2 2 2 51(2)若曲线G :x2-2ax y-4y a20与点D有公共点，试求a的最小值.2520. (本小题满分14分)已知二次函数y =g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y = g(x)在x - -1处取得极小值m -1(m =0).设f (x) = g(x).x(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为..2，求m的值；(2)k(k • R)如何取值时，函数y = f (x) -kx存在零点，并求出零点.21 .(本小题满分14分)已知曲线G：x2 -2nx • y2 =0(n=1,2,ll|).从点P(-1,0)向曲线G引斜率为心(心0)的切线I n，切点为R(X n, Y n).(1)求数列｛xj与｛y n｝的通项公式;数学（理科）试题E 第4页（共4页）Whe n you are old and grey and full ofsleep,And no ddi ng by the fire, take dow n this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your mome nts of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your cha nging face;And bending dow n beside the glow ing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest dista nee in the worldIs not betwee n life and deathBut whe n I sta nd in front of you（2）证明:[_ x一x^X1X3m -二 T%Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(二)
试卷类型：A2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）2009.４ 本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn nP k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，， 则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() A B R =I ðA ．()(),35,-∞+∞UB ．()[),35,+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．(](),35,-∞+∞U4．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<1?x <开始 输入x1?x >y =x否是否是 图2结束 输出y y =1 y =x 2-4x +45．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+ 6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D. 7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l αβ--的平面角为150o，则球O 的表面积为A ．4πB ．16πC ．28πD ．112π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为 ．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分． 11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0， 则输入x 的值为 ．12．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是 ，()f n 的表达式是 ．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）图3图113．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC P ，FG AD P ，则EF FGBC AD+的值为 ． 14．（不等式选讲选做题） 函数()f x ＝12x x -++的最小值为 ．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25cos ,15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-g m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2） 已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -（1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +(m ∈断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论． 19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？ 20．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b-=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =g g ．证明：点Q 总在某定直线上．2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g ，，m n 2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =．∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=． ∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403，PABCD1A1C 1DQ ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC P 交1BC 于点P ．∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D D =I ， ∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q ∆∽1Rt C CD ∆，∴1111C Q D C CD C C =，即1224C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C =，即11425=，∴15C P =．在11A PC ∆中，∵1122AC =，∴111111102cos A C A C P C B ∠==． 由余弦定理，得221111111112cos A P AC C P AC C P AC P =+-⨯⨯⨯∠551029822242102=+-⨯⨯⨯=． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为292． 方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC -=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--u u u r ，，，()10 2 4C D =--u u u u r ，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =u u u r u u u u rg， 即()()2 2 20 2 40x x ----=g ，，，，，∴12x =． 此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，∴1A P ==u u u r ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1AP 的长为2． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=． 解得1q =或12q =-． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+， 又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++． （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214x -+=，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()2x a x a f x x+-'=>． ∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x+-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =． ∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=． ∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② 将②代入①，得23a =． ∴双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝ ， 112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB g g ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠， ∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程. ∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB g g ＝， ∴AP AQ PB QB＝－，即112233x x x x x x --=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QB λ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支相交于两点A ，B ，∴0λ>且1λ≠．∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． 即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线， 设12 PA AQ PB BQ λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则120λλ+=．即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根. 即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠， ∴()122261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。
特别聚焦_2009年广东高考数学_理科卷_
面区域（含边界）为D． 设点P（s，t）是
L上的任一点， 且点P与点A和点B均
不重合．
（Ⅰ）若 点 Q 是 线 段 AB的 中 点 ，试
求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若 曲 线G：x2－2ax+y2－4y+a2+
51 =0与D有公共点，试求a的最小值． 25
失分原因：不习惯用数形结合思
维来考虑问题，难于审明题意，不能
（Ⅰ）忽 略 表 格 中 的 “鬼 头 ”，一 边 看文字表述和表 格 ，一 边 看 对 应 的 频 率分布直方图，可知6个小长方形的 面积和 为1，调 用 参 考 数 据 ，不 难 得x 的值为 119 ．
18250 （Ⅱ）顺 着 思 路 ，可 求 得 空 气 质 量 分别为良和轻微污染的天数分别为 119天、100天． （Ⅲ）求 出 一 年 之 中 的 任 何 一 天 空气质量为良或轻微污染的概率后， 分 别 计 算 一 周 中 至 少 有 0天 、1天 、2天 的空气质量为良或轻微污染的概率， 可发现它属于二项分布型的概率模 型，用间接法求得结果为 76653 ．
频率 组距
x 2 365 7 1825
3
1825 8
9125 0
API 50 100 150 200 250 300
图1
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）计 算 一 年 中 空 气 质 量 分 别
为良和轻微污染的天数；
（Ⅲ）求 该 城 市 某 一 周 至 少 有 2 天
的空气质量为良或轻微污染的概率． （结果用分数表示． 已知57=78125，27= 128 ， 3 + 2 + 7 + 3 +
概率与统计第7题2010年广州亚运会组委会要从小张小赵小李小罗小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译导游礼仪司机四项不同工作若其中小张和小赵只能从事前两项工作其余三人均能从事这四项工作则不同的选派方案共有a
2009年高考广东数学(理科)B卷试题及参考答案(估分)-中大网校
2009年高考广东数学(理科)B卷试题及参考答案(估分)总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(1)(2)(3)(4)(5)选做题（{TSE}题，考生只能从中选做两题）(6)(7)三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案和解析一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) :暂无答案(2) :暂无答案(3) :暂无答案(4) :暂无答案(5) :暂无答案(6) :暂无答案(7) :暂无答案(8) :暂无答案二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(1) :暂无答案(2) :暂无答案(3) :暂无答案(4) :暂无答案(5) :暂无答案(6) :暂无答案(7) :暂无答案三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
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2009年广东高考理科数学试题及答案完整版
绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x 3。
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=LＡ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．3，且11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________ ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．F 1F 2F 3OA BC D15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),02πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯=）18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<L答 案1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
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绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x 3。
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=LＡ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．3，且11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________ ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．F 1F 2F 3OA BC D15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),02πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯=）18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<L答 案1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
故，选C.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点)a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。
故答B。
解：在25252(3)n n a a n -⋅=≥中，令n=5,得251025)2(2==a ，令n=3,得6152=⋅a a ，又0,1,2,n a n >=L ，所以552=a ，21=a ，从而解得，公比2=q ，nn a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ，所以2123221log log log n a a a -+++=L 1+3+…+（2n-1）=22)121(n n n =-+5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D.6.解：依题意，可知321=++F F F ，所以)(213F F F +-=，o F F 60)(221+=+=+==214224222⨯⨯⨯++=28.所以，力3F7228==， 答D 。
7。
解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有122322=⋅A A 种，若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有24331212=⋅A C C 种，故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。
答A 。
8. 解：因为速度函数)(t v 是路程函数)(t s 的导函数，即)()(t v t s ='，所以dt t v t s t⎰=)()(，根据定积分的定义，比较图中速度曲线v v 乙甲和分别与x 轴及直线0t t =，1t t =围成的图形的面积，即可看出，应选A 。
9.解：记k i =时求得的S 值为k S ,记初始值为00=S ,则1101101a a S S =+⨯=,22121212a a a S S +=+⨯=,332321323a a a a S S ++=+⨯=,……,n a a a n a S n S nn n n +++=+⨯-=-Λ211)1(故,答案为(1) na a a n+++Λ21 ；(2)这n 件产品的平均长度。
10。
解：设),(y x =，则)1,2(-+=+y x ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以)1,1(-=a 或)1,3(-=a 。