算子方程X-A ＊X -t A=I的正算子解的研究

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总复习(信号与线性系统必过知识点)(课堂)-2022年学习资料

1.了连续时门素统的橇念-线性附不变系统-1齐次性et→rt-aet→art-2叠加性-e t+e2t-> t+rt-3线性-e,t→r,t-ae t+be2 t->ar t+br t-0-4时不变性et→rt-e -to→rt-to-drt-5微分性-de→-dt-6积分性-∫exlr→∫rxdx-●-7因果性tຫໍສະໝຸດ 0: t=0→t<0:rt=0
例1：一连续时间系统输入-输出关系为-r=Te以=eehr-0-试确定该系统是否为线性时不变系统。-解：⊙ 、积分系统是线性系统-.所以该系统是线性系统-o7e-=je-dr,令x=r--则贴：7-》cwa=edr ●-而u-=aodr=7-}-所以该系统是线性时不变系统。
例2：已知某线性时不变系统：-当激励et=,初始状态x10=1,X20-=2时，-响应rt=6e-2t-5 -3tt;-当激励et=3,初始状态保持不变时，响应-r2t=8e-2t-7e-3t。-求：（1激励e=0 初始状态x10=1,X20=2时的响应-r3t=?-2激励e①=2（①），初始状态为零时的响应r4=?-●
2.4本零状态响定的一般步骤-a求传输算子Hp;-b求单位冲激响应h;-c计算卷积；-0-●
3、连续时间系统的频域分析-完备正交函数集的概念-周期信号的傅立叶级数展开-非周期信号的傅立叶变换-傅立叶换的性质-0-●
3.1常用完备正交岛数集-0-1三角正交函数集-cos nt,sinnt-n=0,1,2,Λ，00-to, o+T-2指数函数集-eine-n=0,±1，±2，Λ，±o0-●
内容回顾-2、系统分析-系统的描述：线性常系数微分方程-oooooOoooOO-连续系统-时域：-yt=e *ht-系统响应-的求解-频域：-Yjo=EjoHjo-复频域：-Y s=EsHs-系统的描述：线性常系数分方程-离散系统-yk=ek*hk-不作要求-复频域：Y,（z=EzHz

算子方程的数字求解

Tx f
(8.1.21)
通常，构造一个算子： P:X→X,使得P为某个收缩映射，当x=Px为P的不动点时，即得方程的解。
首先考虑Y=X,T=I-A是由X到X的线性算子，其中I是X
上的恒等算子， A属于X→X赋范线性空间的有界算子，
且 A 1 ，则A是X上的收缩算子，构造Px=Ax+f,即利用
迭代： xk1 Axk f , k 0,1,2,...
Px Py Ax f Ay f A x y
因为 A 1; 所以P是收缩映射。由收缩映射定理，则P在X中
有唯一不动点 x ,满足 x P x A x f ，从而有
T x (I A) x f
定理8.1.3
考虑非线性方程，假定有A:Y→X 具有如下的特性：Ay=0=>y =0;构造P:X→X 为Px=x+A(Tx-f),即利用迭代
(8.1.22)
则可以得到定理8.1.2
定理8.1.2
定理：设X是Banach空间,T:X→X是线性算子，且T=I-A;A属于
赋范线性空间的有界算子， A 1; f X ，则对任意 x X ，由式（8.1.22）给出的迭代算法都收敛到方程Tx=(I-A) X=f的唯一解。证明：对于任意 x, y X ,则有：
引出
xk1 xk A(Txk f )
(8.1.23)
定理：在上述假设条件下，设S是X中的有界闭集，即有： d0 diaS sup x y
x, yS
P:S→S 是收缩映射，即有0≤c<1,使得：
P(x) P( y) c x y , x, y S
则式(8.1.23)的迭代算法对任意 x0 S 收敛到唯一点 x S
牛顿迭代法
定理8.1.4: 考虑非线性算子方程Tx=0,其中T : D X Y ，X和Y

一类动力学方程及流体力学方程解的Gevrey类正则性

Boltzmann 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 碰撞算子 Q(f, f ) 的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . Fokker-Planck 方程、Landau 方程以及 Boltzmann 方程线性化模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gevrey 函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究现状及本文主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 存在性及唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间齐次情形 . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间非齐次情形 . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程的正则性理论 . . . . . . . . . . . . . . .
第二章预备知识 2.1 2.2 2.3 基本记号
Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 基本函数空间及常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 Lp 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolev 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hilfer_分数阶脉冲随机发展方程的平均原理

第 63 卷第 1 期2024 年 1 月Vol.63 No.1Jan.2024中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENIHilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理*吕婷1，杨敏1，王其如21. 太原理工大学数学学院，山西太原 0300242. 中山大学数学学院，广东广州 510275摘要：利用分数阶微积分理论、半群性质、不等式技巧和随机分析理论，建立了分数布朗运动驱动的Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理，证明了原方程的适度解均方收敛于无脉冲平均方程的适度解，并通过实例说明了所得理论结果的适用性.关键词：平均原理；Hilfer分数阶导数；脉冲随机发展方程；分数布朗运动中图分类号：O211.63 文献标志码：A 文章编号：2097 - 0137（2024）01 - 0145 - 09Averaging principle for Hilfer fractional impulsivestochastic evolution equationsLÜ Ting1， YANG Min1， WANG Qiru21. School of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China2. School of Mathematics， Sun Yat-sen University， Guangzhou 510275， ChinaAbstract：By using fractional calculus，semigroup theories，inequality techniques and stochastic analysis theories， an averaging principle for Hilfer fractional impulsive stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion is established. The mild solution of the original equations converges to the mild solution of the reduced averaged equations without impulses in the mean square sense is proved. And an example is presented to illustrate the applicability of our obtained theoretical results.Key words：averaging principle； Hilfer fractional derivative； impulsive stochastic evolution equations；fractional Brownian motion在实际生活中，系统常受外力影响或内部产生的“噪声”干扰，所以，随机微分方程可以更加准确的刻画系统的变化特征，因而研究随机微分方程是很有必要的且存在实际的应用价值. 另外，现实生活中的许多现象都有长期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分数布朗运动可以较好的描述长期后效现象，这推动了更多学者们对分数布朗运动驱动的随机微分方程的广泛关注. 分数布朗运动（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一个依赖于Hurst参数H∈(0，1)的高斯随机过程，当H=1/2时，分数布朗运动简化为标准布朗运动；当H≠1/2时，分数布朗运动既不是半鞅也不是Markov过程；当H >1/2 时，分数布朗运动具有自相似性、长时记忆性等特征，这些性质使分数布朗运动可以引入到数理金融（Bollerslev et al.，1996）、网络通信（Leland et al.，1994）、生物医学工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等随机模型中作为随机噪声项，得以更好的描述系统特征和保证模型性能. 除此之外，具有脉冲干扰的微分方程能准确的呈现出系统的瞬时变化规律，因此，脉冲随机微分方程吸引了很多学者的关注，详见文DOI：10.13471/ki.acta.snus.2023A006*收稿日期：2023 − 01 − 16 录用日期：2023 − 03 − 22 网络首发日期：2023 − 11 − 15基金项目：国家自然科学基金（12001393，12071491）；山西省自然科学基金（201901D211103）作者简介：吕婷（1999年生），女；研究方向：分数阶随机微分方程；E-mail：********************通信作者：杨敏（1986年生），男；研究方向：泛函微分方程理论及其应用；E-mail：******************第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）献（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.另一方面，平均原理作为一种高效、准确的近似分析方法，在非线性动力系统的研究中发挥着重要作用. 它的主要思想是对原始动力系统进行简化得到一个平均系统，并且这个简化后的平均系统可以反映原系统的动力学行为. 目前为止，随机微分系统的平均原理理论已经获得了极大的发展. 例如，Cerrai et al.（2009）研究了一类随机反应扩散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy 噪声驱动的脉冲随机微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz 系数条件下，考虑了脉冲中立型随机微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和时滞的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a ）在非Lipschitz 系数条件和无周期条件下，考虑了由分数布朗运动驱动的脉冲随机微分方程的平均原理.但现有研究存在两方面不足：一是大多数平均原理建立在有限维空间上，很少考虑空间是无穷维的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b ），二是Caputo 分数阶脉冲随机微分方程已有相应的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；刘健康等，2023），但Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理尚未见到研究结果. 基于上述讨论，本文在Hilbert 空间上考虑如下Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理ìíîïïïïïïD γ，β0+x (t )=Ax (t )+f (t ，x t )+h (t ，x t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ， t ∈J =(0，b ]，Δx (t k )=I k (x (t k ))=x (t +k )-x (t -k )， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x (t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x (0)=φ0，（1）其中D γ，β是Hilfer 分数阶导数，γ∈[]0，1，β∈()12，1，x (⋅)取值于实可分Hilbert 空间X . 闭线性算子A ：D (A )⊂X →X 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元. B H Q (t )是定义在实可分Hilbert 空间Y 上的分数布朗运动，其中Hurst 参数H ∈()12，1. P C ()[]-λ，0；X 指从[]-λ，0到X 上所有具有càdlàg 路径的连续函数φ构成的空间，其范数 φP C =sup-λ≤t ≤0φ(t )<+∞，x t =x (t +τ)(τ∈[-λ，0])是P C -值的随机过程. x (t -k )和x (t +k )分别表示x (t )在t =t k 时的左极限和右极限，I k 表示x (t )在t =t k 时刻的脉冲扰动，脉冲时间序列{t k }满足0<t 1<⋯<t m <t m +1=b . 系数函数 f ：J ×P C →X ，h ：J ×P C →L 02(Y ，X ). 1 预备知识假设(Ω，F ，{F t }t ≥0，P )是一个带流的完备概率空间，其中{F t }t ≥0满足通常条件，即{F t }t ≥0是右连续的且F 0包含所有零测集. {B H (t )}t ∈R 是带有Hurst 参数H ∈()12，1的一维分数布朗运动，即B H (t )是一个中心高斯过程且具有以下协方差函数R H (t ，s )=E (B H (t )B H (s ))=12()t 2H +s 2H -|t -s |2H， t ，s ∈R =(-∞，+∞).记X 和Y 是两个实可分Hilbert 空间，L (Y ，X )是从Y 映射到X 上所有有界线性算子构成的空间. Q ∈L (Y )是一个非负自伴算子，满足Qe n =λn e n ，有限迹tr Q =∑n =1∞λn <+∞，其中{λn }≥0，(n =1，2，⋯)是一个非负有界实数序列，{e n }(n =1，2，⋯)是空间Y 上一组标准正交基. {B H n (t )}n ∈N +是独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列，现在我们在空间Y 上定义无穷维分数布朗运动如下：B HQ(t )=∑n =1∞B H n(t )Q 12e n =∑n =1∞B H n (t )λn e n ， t ≥0，则B H Q (t )∈L 2(Ω，Y )且在空间Y 中收敛，其中L 2(Ω，Y )表示所有强可测，平方可积的Y -值随机过程组成的146第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理空间.若ψ∈L (Y ，X )并且使得ψQ 12是Hilbert-Schmidt 算子，满足范数 ψ2L 02=∑n =1∞λn ψe n 2<+∞，则ψ被称为从Y 映射到X 的Q -Hilbert-Schmidt 算子. 记L 02≔L 02(Y ，X )是所有Q -Hilbert-Schmidt 算子ψ∈L (Y ，X )构成的空间，定义空间L 02的内积为ψ1，ψ2L 02=∑n =1∞ψ1e n ，ψ2e n ，则L 02(Y ，X )是一个可分Hilbert 空间. 引理1（Abouagwa et al.，2021）对任意ϕ：J →L 02(Y ，X )，∫0bϕ(s )2L 02d s <+∞成立，当t ∈J ，∑n =1∞ϕ(t )Q 12e n 一致收敛，则对任意t 1，t 2∈J 且t 2>t 1，有E∫t 1t 2ϕ(s )d B H Q(s )2≤2H (t 2-t 1)2H -1∫t 1t 2ϕ(s )2L 02d s .定义1（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 是一个Lebesgue 可积函数，对任意β∈(0，1)，函数f 的β阶Riemann-Liouville 积分定义为I βa +f (t )=1Γ(β)∫a t (t -s )β-1f (s )d s ， t >a ，β>0，其中Γ(⋅)是Gamma 函数.定义2（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 的β阶Riemann-Liouville 分数阶导数定义为LD βa +f (t )=1Γ(n -β)d nd t n∫at (t -s )n -1-βf (s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中n ∈N +. 定义3（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 且f ∈C n [a ，+∞)，f 的β阶Caputo 分数阶导数定义为CD βa +f (t )=1Γ(n -β)∫at (t -s )n -1-βf (n )(s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中C n [a ，+∞)表示在区间[a ，+∞)上n 次连续可微的函数构成的空间，n ∈N +.定义4（Sheng et al.，2022）函数f ：[a ，+∞)→R 的Hilfer 分数阶导数定义为D γ，βa+f (t )=I γ(1-β)a +d d t I (1-γ)(1-β)a+f (t )， 0≤γ≤1，0<β<1.注1（Sheng et al.，2022）当γ=0，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Riemann-Liou ‐ville 分数阶导数D 0，β+f (t )=d d tI 1-β0+f (t )=L D β0+f (t ).当γ=1，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Caputo 分数阶导数D 1，β0+f (t )=I 1-β0+dd tf (t )=C D β0+f (t ).引理2 方程（1）等价于如下的积分方程x (t ) = φ0t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1(Ax (s )+f (s ，x s ))d s+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1h (s ，x s )d B H Q(s )+t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)∑0<t k <tIk(x t k). (2)证明可参考文献（Yang et al.，2017a ；Ahmed et al.，2018）. 为了给出方程（1）的适度解，引入以下Wright-type 函数M β(θ)=∑n =1∞(-θ)n -1(n -1)Γ(1-βn )， 0<β<1，θ∈C .147第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）引理3（Yang et al.，2017a ）若积分等式（2）成立，其等价于如下的等式：x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t Tβ(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t Tβ(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)，(3)其中P β(t )=∫∞βθM β(θ)S (t βθ)d θ，T β(t )=t β-1P β(t )，S γ，β(t )=I γ(1-β)0+T β(t ).定义5 若一个P C -值的随机过程x ：[-λ，b ]→X 满足以下条件，则称x (t )是方程（1）的适度解.（i ） x (t )是F t -适应的且∫0bE x (s )2d s <+∞几乎必然成立；（ii ） x (t )=φ(t )，-λ≤t ≤0；（iii ）当t ∈J 时，x (t )具有càdlàg 路径且对任意t ∈J 有x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s+ ∫t(t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k). (4)本文中，我们假设如下条件成立：（H0）当t ≥0时，S (t )是一致算子拓扑连续的，且S (t )是一致有界的，即存在M >1，使得supt ∈[0，+∞)S (t )<M .引理4（Yang et al.，2017b ）在条件（H0）下，对任意t >0，{P β(t )}t >0和{S γ，β(t )}t >0是线性算子，且对任意x ∈X 有P β(t )x ≤M Γ(β) x ， S γ，β(t )x ≤Mt (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β) x .定义6（Liu ，2007）设X n (n ≥1)，X 是同一概率空间(Ω，F ，P )上的随机变量，若E (|X n |2)<+∞，且lim n →∞E (|X n -X |2)=0成立，则称X n 均方收敛于X .2 平均原理接下来，我们建立Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理.首先，定义方程（1）的扰动形式为ìíîïïïïïïD γ，β0+x ε(t )=Ax ε(t )+εf (t ，x ε，t )+εHh (t ，x ε，t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ，t ∈J =(0，b ]，Δx ε(t k)=x ε(t +k )-x ε(t -k )=εI k (x ε(t k ))， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x ε(t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x ε(0)=φ0.（5）然后根据方程（1）适度解的定义，可以得到方程（5）的适度解为：x ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x ε，s )d s+ εH∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x ε，s )d B HQ (s )+ε∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)， (6)其中ε∈(0，ε0]是一个很小的正参数，ε0是一个固定的常数.为了得出本文的主要结果，假设系数函数f ，h 具有周期T ，则存在正整数m ∈N +，使得0<t 1<…<t m <T ，那么对整数k >m ，有t k =t k -m +T ，I k =I k -m . 现引入可测的系数函数f ˉ：P C →X ，h ˉ：148第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理P C →L 02(Y ，X )，-I k ：P C →X ，其中f ˉ(x )=1T∫T f (s ，x )d s ，hˉ(x )=1T∫Th (s ，x )d s ，-I (x )=1T ∑k =1m I k (x ). 另外，我们做如下假设：（H1）对任意x ，y ∈P C ，t ∈J ，存在正常数M 1使得f (t ，x )-f (t ，y )2∨ h (t ，x )-h (t ，y )2L 02≤M 21 x -y 2.（H2）对任意的x ，y ∈P C ，存在正常数c k 和d k ，使脉冲函数I k 满足I k (x )2≤c k ， I k (x )-I k (y )2≤d k x -y 2.（H3）对所有T ∈J ，x ∈P C ，存在有界函数ρi (T )>0(i =1，2)使得1T ∫0T f (s ，x )-f ˉ(x )2d s ≤ρ1(T )()1+ x 2，1T∫0T h (s ，x )-h ˉ(x )2d s ≤ρ2(T )()1+ x 2，其中lim T →∞ρi (T )=0(i =1，2).则方程（5）对应如下无脉冲项平均系统：ìíîïïïïD γ，β0+z ε(t )=Az ε(t )+εf ˉ(z ε，t )+ε-I (z ε，t )+εH h ˉ(z ε，t)d B H Q (t )d t ， t ∈J =(0，b ]，I (1-β)(1-γ)0+z ε(0)=φ0，z ε(t )=φ(t )，-λ≤t <0.（7）参考文献（Gu et al.，2015）中引理2.12的证明，可以得到方程（7）的适度解z ε(t )为z ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f ˉ(z ε，s )d s+ εH∫t (t -s )β-1P β(t -s )h ˉ(z ε，s )d B H Q (s )+ε∫t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s . (8)定理1 假设条件（H0）~（H3）成立，则当ε趋于零时，方程（5）的适度解x ε(t )均方收敛于平均方程（7）的适度解z ε(t ). 即任意给定一个很小的数δ>0，存在M 0>0，α∈(0，1)以及ε1∈(0，ε0]，使得当ε∈(0，ε1]时有E()sup t ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.证明由式（6）和式（8），有x ε(t )-z ε(t )=ε∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[f (s ，x ε，s)-f ˉ(z ε，s)]d s + εH∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[]h (s ，x ε，s )-hˉ(z ε，s)d B HQ(s )+ ε()∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s ，(9)从而对任意ν∈(0，b ]，利用基本不等式得到E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤3ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[]f (s ，x ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2+ 3ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[h (s ，x ε，s )-h ˉ(z ε，s )]d B H Q(s )2+ 3ε2E ()sup 0<t ≤ν ∑0<t k<tS γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t(t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≤N 1+N 2+N 3. (10)对于第1项，由引理4可得149第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）N 1≤6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，x ε，s )-f (s ，z ε，s )d s 2 +6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2≔N 11+N 12 . ()11利用假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 11≤6M 2M 21ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)∫νE()sup 0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s =Λ11ε2ν2β-1∫νE()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s ，（12）其中Λ11=6M 2M 21(2β-1)Γ2(β).由假设条件（H3）得到N 12≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0t f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ12ε2ν2β，（13）其中Λ12=6M 2(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ1(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t2. 对于第2项，由引理4可以推出N 2≤6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )d B HQ (s )2+ 6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，z ε，s )-h ˉ(z ε，s )d B H Q(s )2≔N 21+N 22 . (14)由引理1、假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 21≤12M 2H Γ2(β)ε2H ν2H -1E ()sup0<t ≤ν∫t (t -s )2(β-1) h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )2d s≤Λ21ε2H ν2(H +β-1)∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s ，（15）其中Λ21=12M 2M 21H(2β-1)Γ2(β).由引理1、假设条件（H1）和假设条件（H3）得到N 22≤12M 2H (2β-1)Γ2(β)ε2H ν2(H +β-1)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0th (s ，z ε，s)-h ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ22ε2H ν2H +2β-1，（16）其中Λ22=12M 2H(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ2(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t 2. 对于第3项，由基本不等式得到N 3≤6ε2E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t S γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)2+ 6ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≔N 31+N 32， (17)由引理4、假设条件（H2）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 31≤6ε2M 2ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t I k (x ε，tk)2≤6ε2M 2mν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m I k (x ε，t k)2≤6ε2M 2m 2c k ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)=Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)， (18)其中Λ31=6m 2M 2c kΓ2(γ(1-β)+β).150第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理N 32≤6M 2ε2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1I ˉ(z ε，s )d s 2≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0tI ˉ(z ε，s)2d s≤6M 2mε2ν2β-1(2β-1)T 2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m∫0tI k(zε，s)2d s ≤6M 2m 2c k ε2ν2β-2(2β-1)Γ2(β)=Λ32ε2ν2(β-1)， (19)其中Λ32=6M 2m 2c k(2β-1)Γ2(β).将估计式（11）~（19）代入式（10），则对任意ν∈(0，b ]，得到不等式E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+ (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s . (20)令Ξ(ν)=E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2，由于E()sup -λ≤t <0x ε(t )-z ε(t )2=0，则Ξ(s +τ)=E()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12=E()sup 0<s 1≤sx ε(s 1+τ)-z ε(s 1+τ)2， τ∈[-λ，0)，因此，Ξ(ν)≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1) + (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νΞ(s +τ)d s . (21)对任意ν∈(0，b ]，令Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )，则Ξ(t )≤Θ(t )，Ξ(t +τ)≤Θ(t )，τ∈[-λ，0). 从而得到Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )≤max{}sup -λ≤t ≤0Ξ(t )+sup 0<t ≤νΞ(t )≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+ Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+()Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1)∫0νΘ(s )d s . (22)由Gronwall 不等式，可推出Θ(ν)≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1，（23）即有E()sup -λ<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)× exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1. (24)即存在M 0>0和α∈(0，1)，使得对所有t ∈(0，M 0ε-α]⊂(0，b ]满足E()sup 0<t ≤M 0ε-αx ε(t )-z ε(t )2≤με1-α，其中常数μ=(Λ12M 2β0ε1+α-2αβ+Λ22M 2H +2β-10ε2α(1-H -β)+2H -1+Λ31M 2(γ-1)(1-β)0ε2α(1-γ)(1-β)+α+1)+Λ32M 2(β-1)0ε3α-2αβ+1exp ()Λ11M 2β0ε2-2αβ+Λ21M 2H +2β-10ε2H -α(2H +2β-1) . (25)所以对任意给定的数δ>0，存在ε1∈(0，ε0]，使得对任意ε∈(0，ε1]和t ∈[-λ，M 0ε-α]⊂ [-λ，b ]，有E()supt ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.定理1证毕.注2 现有文献考虑的是有限维空间上含泊松跳以及Wiener 过程的无脉冲扰动的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），与之相比，本文考虑了分数布朗运动驱动的含脉冲项的Hilfer 分数阶随机微分方程. 更为重要的是，我们在Hilbert 空间上建立了具有算子的Hilfer 分数阶151第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）脉冲随机发展方程的平均原理，一定程度上丰富了Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理的相关理论.3 实例为了说明所得结果的适用性，我们考虑以下含脉冲的Hilfer 分数阶随机发展方程ìíîïïïïïïïïïïD γ，23x ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )+εsin 2(t )x ε，t (z )+2εH cos 2(t )x ε，t(z )d B H Q (t )d t ， I 13(1-γ)x ε(0，z )=φ0，Δx ε(t k ，z )=εx ε(t k ，z )(4+k )(5+k )， z ∈[0，π]，k ∈1，2，⋯，m ，x ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，x ε(t ，0)=x ε(t ，π)=0， t ∈(0，m π].（26）令空间X =Y =L 2[0，π]，系数函数f ()t ，x ε，t =sin 2(t )x ε，t (z )，h ()t ，x ε，t =2cos 2(t )x ε，t (z )，脉冲函数I k =x ε(t k ，z )(4+k )(5+k ).定义算子A ：D (A )→X ，Ax ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )，其中定义域D (A )={}x ∈X ， x ，x '全连续，x ″∈X ， x (0)=x (π)=0，则A 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元，且对任意t ≥0，S (t )是紧的、解析且自伴的，由一致有界定理可知存在一个常数M >0，使得 S (t )≤M ，且A 有离散谱，其特征值是-n 2，n ∈N +，对应的标准正交特征向量为ωn (z )=(nz )，n =1，2，⋯，则当x ∈D (A )时，Ax =-∑n =1∞n 2x ，ωn ωn . 为了定义算子Q ：Y →Y ，选择一组非负有界实数序列{λn }n ≥1，并在Y 中选取标准正交基{e n }n ≥1，使得Qe n =λn e n 成立，并且假设tr (Q )=∑n =1∞λn <+∞，从而可以定义随机过程B H Q(t )=∑n =1∞λn B H n (t )e n ，其中H ∈()1/2，1，{B Hn(t )}n ∈N +，是一个独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列.取T =π，则f ˉ(x )=1π∫πf (s ，x )d s =12x ， h ˉ(x )=1π∫0πh (s ，x )d s =x ，I ˉ(x )=1π∑k =1m x (4+k )(5+k )=mx 5(5+m )π，于是方程（26）的平均系统为ìíîïïïïïïïïïïïïD γ，23y ε(t ，z )=Ay ε(t ，z )+ε()m 5(5+m )π+12y ε，t (z )+y ε，t εH (z )d B H Q (t )d t ，I 13(1-γ)y ε(0，z )=φ0，y ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，y ε(t ，0)=y ε(t ，π)=0.（27）显然，平均系统（27）比原系统（26）简单. 假设条件（H0）~（H3）满足，根据定理1，当ε趋于零时，系统（26）的适度解均方收敛于平均系统（27）的适度解.参考文献：刘健康，王进斌，徐伟，2023. Caputo 分数阶中立型微分方程的随机平均原理［J ］. 山西大学学报（自然科学版），46（2）：304-308.ABOUAGWA M ，BANTAN R A R ，ALMUTIRY W ，et al ，2021. Mixed Caputo fractional neutral stochastic differential equationswith impulses and variable delay ［J ］. Fractal Fract ，5（4）：239.152153第 1 期吕婷，等：Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理AHMED H M，EL-BORAI M M，EL-OWAIDY H M，et al，2018. Impulsive Hilfer fractional differential equations［J］. Adv Differ Equ，2018（1）：1-20.AHMED H M，ZHU Q，2021. The averaging principle of Hilfer fractional stochastic delay differential equations with Poisson jumps［J］. Appl Math Lett， 112： 106755.BOLLERSLEV T， OLE MIKKELSEN H， 1996. Modeling and pricing long memory in stock market volatility［J］. J Econom， 73（1）： 151-184.BOUDRAHEM S，ROUGIER P R，2009. Relation between postural control assessment with eyes open and centre of pressure visual feedback effects in healthy individuals［J］. Exp Brain Res， 195（1）： 145-152.CERRAI S， FREIDLIN M， 2009. Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations［J］. 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高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性

第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一性.其中A 'A 是单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数，并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。

算子与本征值问题的求解方法

算子与本征值问题的求解方法算子和本征值问题是量子力学中的重要概念，用于描述量子系统的性质和行为。

本文将介绍算子和本征值的基本概念，并探讨几种常见的求解方法。

一、算子和本征值的定义算子是一个数学对象，它作用在函数上并产生另一个函数。

在量子力学中，算子常用来描述物理量的测量。

一个算子可以表示为一个方阵，例如矩阵形式。

本征值问题是指在给定一个算子后，寻找它的本征值和本征函数。

本征值是算子作用在本征函数上得到的标量结果。

本征函数是指对于一个给定的本征值，算子作用在该函数上只会得到该本征值的倍数。

二、常见的求解方法1. 基本定义法最简单的求解本征值问题的方法是使用算子的本征方程。

对于一个算子A，它的本征方程可以表示为Aψ = λψ，其中λ为本征值，ψ为本征函数。

通过解本征方程，可以求得算子A的所有本征值和本征函数。

2. 幂法幂法是一种迭代方法，用于求解特征值问题。

它的基本思想是通过多次迭代，将一个初始向量不断乘以矩阵A，直到收敛为止。

收敛后的向量即为矩阵A的本征函数，而本征值则可以通过将本征函数代入本征方程求得。

3. 特征值分解法特征值分解法是一种将矩阵对角化的方法，用于求解本征值问题。

它的基本思想是将矩阵A分解为特征向量的矩阵乘以特征值的对角矩阵。

通过计算特征向量和特征值，可以得到矩阵A的本征值和本征函数。

4. 基于数值计算的方法对于较大的矩阵或复杂的本征值问题，常常使用数值计算的方法求解。

这些方法包括正交迭代法、QR方法、拉普拉斯变换法等。

这些方法通过数值计算的方式逼近本征值和本征函数，可以得到较好的结果。

三、算子与本征值问题的应用算子和本征值问题在量子力学、信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。

在量子力学中，算子和本征值问题被用于描述粒子的能量和动量等性质。

在信号处理中，算子和本征值问题可用于信号特征提取和数据降维等。

在图像处理中，算子和本征值问题被应用于图像压缩和特征分析等方面。

总结：算子和本征值问题是量子力学中的重要概念，用于描述量子系统的性质和行为。

非线性算子方程的正算子解问题

第41卷第3期2 0 18 $ 5 月安徽师范大学学报（自然科学版"_Journal of Anhui Normal University (Natiaral Science)Vol.41 No. 3 May . 2 0 1 8D O I；10.14182/J.c n k i1001 -2443.2018.03.002非线性算子方程的正算子解问题杨凯凡(陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723001)摘要:研究算子方程！ (0<q<s)的正算子解的存在性问题，利用算子理论知识，给出了该算子方程有正算子解的一些必要条件和充分条件，并研究方程中各算子之间的关系。

关键词：算子方程;正算子解;谱分解;谱半径中图分类号：〇177.91 文献标识码:A文章编号！1001 -2443(2018)03 -0217 -031预备知识算子理论是泛函分析的重要分支。

算子方程是算子论中的一个热点问题，一直以来都受到很多学者的关注。

对于算子方程的正算子解的研究产生于20世纪九十年代，并在控制论[1]，动态规划[2]和统计学[3]等方面都有广泛的应用。

近年来，算子方程的研究得到了很大的发展，关于各类算子方程的论文也层出不穷[4]-[9]，使得算子方程成为一个非常活跃的领域。

本文在无限维可分H ilbert空间H上研究非线性算子方程! + $!!q$ ='⑴的正算子解的问题，其中B(H)表示H上的所有有界线性算子组成的全体。

X是B(H)上的未知算子，$，Q "(())是给定的算子且Q>0，s，q是给定的正整数且q<s。

近年来，众多的学者们利用矩阵论的知识，通过构造迭代序列，在有限维空间上，对此类方程做了一定的研究，得到了这类方程有正定矩阵解的条件。

本文不再局限于有限维空间，而是在无限维空间上，利用算子论的知识，研究算子方程（1)，给出此类方程有正算子解的一些充分条件和必要条件。

泛函分析ppt课件

映照，如果存在数a (0<a<1)，使得对所有的x,y
∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必存唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压缩映照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空间
距离空间： Lp[a,b]

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引理１１若ＡＢ∈ （）．，ＢＨ都是自伴算子，｝：是自伴算子序列。若｛｝：是单调有界递增的，｛，，
且以Ａ为上界，Ｘ ≤ …≤ ≤…≤ 则｛｝：即，２Ａ，，强收敛于一个自伴算子且 ≤ ．｛｝：是单Ａ若：，
１预备知识
首先，我们给出一些定义和基本引理．
定理１１． … 设Ｔ ∈Ｂ（．Ｈ）若是正规的，有（）（）ｌｌ则Ｔ＝ｒＴ＝ｆ１．定理１２设Ｐ，正算子，．¨ Ｑ是且满足Ｐ＞Ｑ如果Ｐ．Ｑ：Ｑ则对任意实数ｔ，Ｐ＞Ｑ．Ｐ，＞１有定理１３２设，．【日是日（）的自伴算子且满足Ａ≤日，上则对任意Ｔ∈Ｂ（，ＴＡＨ）有 ≤ＴＢ．Ｔ
作者简介：杨凯凡（９９一）女，１７，陕西省乾县人，讲师，硕士，主要从事算子理论方面研究．
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第ｌ期
杨凯凡：算子方程Ｘ— Ａ＝，ＡＸ～的正算子解的研究
・５・
２主要结论及其证明
维普资讯
第２８卷第１期２００８年１月
云南师范大学学报
ＪｕａｆｎａｏｍａＵｉｅｓｙｏｒｌｏｎｎＮｒｌｎｖｒｉｎＹｕｔ
Ｖ０．８Ｎｏ１１２．
Ｊｎ０８ａ．２０
调有界递减的，以日为下界，Ｂ≤Ｘ ≤Ｘ（ ∈ ，｛｝：强收敛于一个自伴算子且且即 … ＶｋＮ）则，
≥日。
命题１１．
若Ａ∈Ｂ（是正规算子，由生成的ｃＨ）则一代数是可交换的。
・
收稿日期：０７— ９ｌ２００ —１
关注（参见文献［］８）但前人都是利用矩阵论的知识，４＿［］，在有限维空间上对这类方程的正定矩阵解
进行了刻画，本文在无限维Ｈｌｒ空间上，ｉｅｂｔ利用算子论的知识，研究算子方程一
～，Ａ＝正算子解
问题。其中Ａ∈ （）８／是给定的算子，是日）４，（上的单位算子，是日）（上的未知算子，＞是给定的ｔ１
‘ 。
～ｔ０，以由方程可知Ｘ：Ｘ～Ａ＞所ＡＡ＋，，以对任意ｔ， ≥， ≥，所＞１Ｘ ≥ ， ≤
，
因此 —
～Ａ＝， — Ｘ‘Ａ又因为 ≥ Ａ。．
一
—
＋ — ＝（ — Ｘ一（＋＞０ＡＡ）Ａ）ｔ
１
定理１４设是日（上的可逆算子，．瞳）则对任意州有ｌｌ≥ Ｈｌｌ
１ｌ』ｌｌ
ｌｌｌ１．
对于０＜日）则Ａ（）≤Ｐ（）Ｐ∈ （，Ｐ， ≤ＡＰＬ其中
Ａ（Ｐ）＝ｍｘＡ：（｝Ａ（）＝ｍｎＡ：（）．ａ｛Ａ∈ Ｐ），Ｐｉ｛Ａ∈ Ｐ｝
解。
关
键
词：算子方程；正算子；；谱谱半径
文献标识码：Ａ文章编号：１０９９（０８０００００７－７３２０）ｌ一０４— ４
中图分类号：０７．１１７９
近年来，Ａ～，Ｘ＋～，Ｘ— ～，＋Ａ＝，ＡＸＡ＝，ＡＸＡ＝等形式的矩阵方程受到国内外许多学者的
下面我们给出本文的主要结论及其证明。
定理２１若算子方程 — ． — Ａ＝，ｔ）正算子解，（＞１有则有（）（一 ≤１（）（＋１ｒＡＡ）．２ｒＡＡ）
≤１（））．３（ ≤÷
证明：１显然（）
所以Ａ一 ≤ — ＡＡ
Ａ≤ｊ同理．
一
—
—
＋＝（＋Ｘ一（ — ）０ＡＡ）Ａ＞．ｔ
所以
一 ≥ 一（ —
Ａ ≥ 一因此ｒ）（一 ≤１Ａ）
（）２若 Βιβλιοθήκη — （）３若 — ～Ａ＝，有正算子解，Ｘ一（）（Ａ）＝，有正算子解其中ｉ则Ｘｉ也表示虚数单位。～Ａ＝，有正算子解，则方程一（）（＝，有正算子解，中０∈［～７，ｅＡＸｅＡ）也其ｒ
算子方程一
～Ａ＝，的正算子解的研究
杨凯凡
（陕西理工学院数学系，陕西汉中７３０）２０１
摘要：文章在无限维Ｈｌｒ空间上研究了算子方程 — — ｉｅｔｂＡＡ：，ｔ）（＞１的正算子解的问题，给出
了方程有正算子解的一些必要条件，当Ａ是正规算子时，并且用有效的迭代方法得到了该方程的正算子
实数。表示一个无限维可分Ｈｌｒ空间，（）ｉｅｂｔ８／表示上的所有有界线性算子组成的全体，… ）４（和
ｌ１ｌ・ｌ分别表示Ｈｌｒ空间上的内积和范数。对于Ａ∈ （，（）（）ｒＡ分别表示算子ｉｅｂｔＢＨ）ＡｔＡ，Ａ，（）ｏ的伴随，数值域半径，谱及谱半径．设Ａ∈ （，ＢＨ）如果对任意 ∈ 都有（ｘ ≥ ，Ｈ，Ａ，）０则称Ａ为正算子，记作Ａ０如果Ａ是正算子并且１＞．是可逆的，则记为Ａ＞．０