金优课高中数学北师大选修课时作业: 平面图形的面积 含解析
高二北师大数学选修224.3定积分的简单应用平面图形的面积

解:
y y
x x2
x
0及x
1
,所以两曲线的交点为
(0,0)、(1,1),面积
S=
1
0
xdx 1 x2dx ,所 0
以S =
1
(
0
x
-
x2 )dx
2
3
3
x2
x3 3
1 0
1 =3
y x
B C y x2
O DA
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步 骤:
1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的 面积;4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例 2.计算由直线 y x 4 ,曲线 y 2x 以及 x
轴所围图形的面积 S. 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) ,并设法把 所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问 题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分
3
S= 2 [(4x 3) ( x 2 4x 3)]dx 0
3
3 [(2x
2
6)
(
x2
4x
3)]d x= 9 4
y
o
x
y=-x2+4x-3
3、求曲线 y log 2 x 与曲线 y log 2 (4 x) 以及 x 轴所 围成的图形面积。 略解:所求图形的面积为
4.3定积分的简单应用 ——平面图形的面积
一、教学目标: 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求 和、逼近”
北师大版高中数学选修2-2:平面图形的面积

(设为s2)
O
x
由上面分析知
S1
由积分公式表及牛顿-莱布尼茨公式得
由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围
成平面图形的面积S
y f (x)
y
y f (x)
y g(x)
oa
bx
(1)
y g(x) (2)
b
b
b
(1) S a f (x)dx a g(x)dx a [ f (x) g(x)]dx
bb
b
bb
((21)
SS aa
ff((xx))ddxx| a
g(xx))ddxx| aa [ f ((xx))gg((xx))]]ddxx
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积.
求曲线y=
x与直线y=2-x,y
1 3
x
围成图形的面
积.
平 简单图形的面积 面
图
形 的 面 积
分转 割化 法为
复杂图形的面积
(1)根据题意画出图形. (2)确定积分的上、下限. (3)确定被积函数,当某一边界是不同 函数时,要分段去求. (4)写出相应的定积分表达式. (5)计算定积分,求出面积.
的代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负
号.
y
y f (x)
s1
a
o
s2
s3
bx
2.微积分基本定理: 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
高中数学北师大版选修2-2课时作业4.3.1 平面图形的面积 Word版含解析

选修第四章§课时作业一、选择题.如图,阴影部分面积为( ).[()-()].[()-()]+[()-()].[()-()]+[()-()].[()-()]解析:∵在区间(,)上()>(),而在区间(,)上()<().∴=[()-()]+[()-()],故选.答案:.由=,=,=所围成的图形的面积为( )....解析:因为曲线所围成的图形关于轴对称,如图所示,面积满足=+-=+-=,所以=,故选.答案:.由直线=,=-+及轴围成平面图形的面积为( ) .[(-)-] .∫[(-+)-].∫[(-)-] .[-(-)]解析:如图,由图可知,=∫[(-)-].答案:.[·北京高考]直线过抛物线:=的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于( ) ....解析:由题知,抛物线的焦点为(),又过且与轴垂直,∴为=,∴与所围成的图形面积=×--=-=-(+)=-=.答案:二、填空题.从如图所示的长方形区域内任取一个点(,),则点取自阴影部分的概率为.解析:根据题意得:阴===,则点取自阴影部分的概率为==.答案:.曲线=(≤≤π)与直线=围成的封闭图形的面积为.解析:由于曲线=(≤≤π)与直线=的交点的横坐标分别为=及=,因此所求图形的面积为∫(-)=(--)=-.答案:-.[·山东高考]设>,若曲线=与直线=,=所围成封闭图形的面积为,则=.解析:由已知得====,所以=,所以=.答案:三、解答题.求由曲线=-+与=-所围成的平面图形的面积.解:=-+与=-交点的横坐标为=,=.所以所求图形的面积为=(-+)-(-)=(--=..在曲线=(≥)上的某点处作一切线使之与曲线以及轴所围图形的面积为.求切点的坐标以及切线方程.解:由题意可设切点的坐标为(,),则切线方程为=-,可得切线与轴的交点坐标为(,).画出草图,可得曲线=,直线=-与轴所围图形如右图所示.故=+=∫+[∫-∫(-)]=+==,解得=,所以切点坐标为(),所求切线方程为=-.。
北师大数学选修22课时分层作业1 平面图形的面积 简单几何体的体积 含解析

课时分层作业(十七)(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.若y =f (x )与y =g(x )是[a ,b ]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )-g(x )]d x B.⎠⎛a b [g(x )-f (x )]d x C.⎠⎛a b |f (x )-g(x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f (x )-g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时, 所求面积为⎠⎛a b[f (x )-g(x )]d x ;当f (x )≤g(x )时,所求面积为⎠⎛ab [g(x )-f (x )]d x .综上,所求面积为⎠⎛ab|f (x )-g(x )|d x .]2.由抛物线y =x 2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45π B.165π C.85πD.325πD [V =π⎠⎛02(x 2)2d x =π5x 5⎪⎪⎪20=325π.]3.如图,阴影部分的面积是( )A .23B .2- 3C .323D .353C [S =⎠⎛-31(3-x 2-2x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -13x 3-x 2| 1-3=323.]4.由xy =4,x =1,x =4,y =0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A .6πB .12πC .24πD .3πB [因为xy =4,所以y =4x , V =π⎠⎛14y 2d x =π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x=16π⎠⎛14x -2d x =-16πx -1⎪⎪⎪41=-16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14-1=12π.]5.如图所示,平面直角坐标系xOy 中,阴影部分是由抛物线y =x 2及线段OA 围成的封闭图形,现在在△OAB 内随机的取一点P ,则P 点恰好落在阴影内的概率为( )A.23B.43C.49D.29D [由题得直线OA 的方程为y =2x ,所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-13x 32|0=4-83=43. S △AB O =12×3×4=6.所以P 点恰好落在阴影内的概率为436=29.] 二、填空题6.由曲线y =x 与y =x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.⎠⎛01(x -x 3)d x [画出y =x 和y =x 3的草图,所求面积为如图所示阴影部分的面积,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x3得交点的横坐标为x =0及x =1.因此,所求图形的面积为S =⎠⎛01(x -x 3)d x .]7.由曲线y =e x2,直线x =0,x =1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.π(e -1) [体积V =π⎠⎛01e x d x =π(e -1).]8.由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为________.163 [由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x -2,得其交点坐标为(4,2).因此y =x 与y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x -(x -2)]d x =⎠⎛04(x -x +2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32-12x 2+2x ⎪⎪⎪40=23×8-12×16+2×4=163.]三、解答题9.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图像如图所示,它与直线y =0在原点处相切,此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274,求a 的值.[解] 由题图知方程f (x )=0有三个实根,其中有两个相等的实根x 1=x 2=0,于是b =0,所以f (x )=x 2(x +a ),有274=∫-a 0[0-(x 3+ax 2)]d x=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44+ax 33|-a 0=a 412,所以a =±3.又-a >0⇒a <0,得a =-3.10.设两抛物线y =-x 2+2x ,y =x 2所围成的图形为M ,求: (1)M 的面积;(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. [解] 如图,M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为 ⎠⎛01[(-x 2+2x )-x 2]d x =⎠⎛01(-2x 2+2x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫-23x 3+x 2⎪⎪⎪1=13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01[(-x 2+2x )2-(x 2)2]d x =π⎠⎛01(-4x 3+4x 2)d x=π·⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 4+43x 3⎪⎪⎪1=π3.[能力提升练]1.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B .2 C.83 D.1623C [∵抛物线方程为x 2=4y ,∴其焦点坐标为F (0,1),故直线l 的方程为y =1.如图所示,可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y =14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x =2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分),即S =4-2⎠⎛02x24d x =4-2·x 312| 20=4-43=83.] 2.已知过原点的直线l 与抛物线y =x 2-2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3,则直线l 的方程为( )A .y =axB .y =±axC .y =-axD .y =-5axA [显然,直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为y =kx ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,y =x 2-2ax ,得交点坐标为(0,0),(2a +k,2ak +k 2),所以图形面积S =∫2a +k[kx -(x 2-2ax )]d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫k +2a 2x 2-x 33| 2a +k 0 =(k +2a )32-(2a +k )33 =(2a +k )36.又因为S =92a 3,所以(2a +k )36=92a 3,解得k =a ,所以直线l 的方程为y =ax .故选A .]3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y =1-x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的,则球的体积为________.4.由x =-π3,x =π3,y =0,y =cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________.3 [根据余弦函数的对称性可得,直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x =2sin x |π30= 3.]5.已知曲线C :y =2x 3-3x 2-2x +1,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积.[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0,y 0),由于y ′=6x 2-6x -2,所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20-6x 0-2=y 0x 0-12,y 0=2x 30-3x 20-2x 0+1,解得x 0=0,于是切线l 的斜率k =-2, 方程为y =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,即y =-2x +1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 3-3x 2-2x +1,y =-2x +1,得⎩⎨⎧x =32,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为即所求面积为2732.。
高中数学北师大版选修22第4章平面图形的面积习题课参

平面图形的面积一、教学目标:1、了解定积分的几何意义及微积分的大体定理;2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点: 1、定积分的概念及几何意义; 2、定积分的大体性质及运算的应用 三、教学方式:探析归纳,讲练结合 四、教学进程 (一)练习1.若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2,则a 的值为( D ) A .6B .4C .3D .22.设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩,则1()a f x ⎰d x等于( C ) A .34B .45C .56D .不存在3.求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解:∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰. ∴22()22(1)1f a a a a =++=++. ∴当a = – 1时f (a )有最小值1. 4.求定分32166x x -+-⎰x . 5.如何用定积分表示:x =0,x =1,y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积?31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6.你能说说定积分的几何意义吗?例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴,曲线)(x f y =及直线a x =,b x =之间的各部份面积的代数和,在x 轴上方的面积取正,在x 轴下方的面积取负。
(二)、新课探析例1.讲解教材例题例2.求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习:1.如右图,阴影部份面积为( B ) A .[()()]ba f x g x -⎰d xB .[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C .[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD .[()()]b a g x f x +⎰d x2.求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成的面积.32(三)、归纳总结:1、求曲边梯形面积的方式:⑴画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;⑵对每一个曲边梯形肯定其存在的范围,从而肯定积分的上、下限;⑶肯定被积函数;⑷求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。
【金版优课】高二数学北师大版选修2-2课时作业:4.3.1 平面图形的面积 Word版含解析

选修2-2 第四章 §3 课时作业22一、选择题1.如图,阴影部分面积为( )A .⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d xB .⎠⎛a c [g (x )-f (x )]d x +⎠⎛c b [f (x )-g (x )]d xC .⎠⎛ac [f (x )-g (x )]d x +⎠⎛cb [g (x )-f (x )]d x D .⎠⎛ab [g (x )-f (x )]d x解析:∵在区间(a ,c )上g (x )>f (x ),而在区间(c ,b )上g (x )<f (x ). ∴S =⎠⎛a c [g (x )-f (x )]d x +⎠⎛cb [f (x )-g (x )]d x ,故选B.答案:B2.由y =x 2,y =x 24,y =1所围成的图形的面积为( )A .43B .34C .2D .1解析:因为曲线所围成的图形关于y 轴对称,如图所示,面积S 满足12S =⎠⎛01x 2d x +⎠⎛121d x -⎠⎛02x 24d x =x 33⎪⎪⎪ 10+x ⎪⎪⎪21-x 312⎪⎪⎪20=23, 所以S =43,故选A.答案:A3.由直线y =x ,y =-x +1及x 轴围成平面图形的面积为( ) A .⎠⎛01[(1-y )-y ]d yB .∫120[(-x +1)-x ]d xC .∫120[(1-y )-y ]d yD .⎠⎛01[x -(-1)]d x解析:如图,由图可知,S =∫120[(1-y )-y ]d y .答案:C4.[2013·北京高考]直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A .43B .2C .83D .1623解析:由题知,抛物线C 的焦点为F (0,1),又l 过F 且与y 轴垂直,∴l 为y =1,∴l 与C 所围成的图形面积S =4×1-⎠⎛2-2x 24d x =4-x 312⎪⎪⎪2-2=4-(812+812)=4-43=83.答案:C 二、填空题5.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________.解析:根据题意得:S 阴=⎠⎛013x 2d x =x 3⎪⎪⎪10=1, 则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩=13×1=13.答案:136.曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12围成的封闭图形的面积为________.解析:由于曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12的交点的横坐标分别为x =π6及x =5π6,因此所求图形的面积为∫5π6π6(sin x -12)d x =(-cos x -12x )⎪⎪⎪5π6π6=3-π3.答案:3-π37.[2012·山东高考]设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.解析:由已知得S =⎠⎛0ax d x =23x 32⎪⎪⎪a0=23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a =49.答案:49三、解答题8.求由曲线y =-x 2+2x 与y =2x 2-4x 所围成的平面图形的面积. 解:y =-x 2+2x 与y =2x 2-4x 交点的横坐标为x 1=0,x 2=2.所以所求图形的面积为S =⎠⎛02(-x 2+2x )d x -⎠⎛02(2x 2-4x )d x =(x 2-⎪⎪13x 3)20-⎪⎪(23x 3-2x 2)20=4.9.在曲线y =x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程.解:由题意可设切点A 的坐标为(x 0,x 20),则切线方程为y =2x 0x -x 20,可得切线与x 轴的交点坐标为(x 02,0).画出草图,可得曲线y =x 2,直线y =2x 0x -x 20与x 轴所围图形如右图所示.故S =S 1+S 2=∫x 020x 2d x +[∫x 0x 02x 2d x -∫x 0x 02(2x 0x -x 20)d x ] =⎪⎪13x 3x 020+⎪⎪⎪⎪13x 3x 0x 02-(x 0x 2-x 20x )x 0x 02=x 3012=112, 解得x 0=1,所以切点坐标为A(1,1), 所求切线方程为y =2x -1.。
北师大版高中数学选修平面图形的面积教案(1)

定积分的简单应用(一) 3.1平面图形的面积一、教学目标:1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
二、教学重难点: 曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程1、复习:(1)、求曲边梯形的思想方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3)、微积分基本定理是什么?2、定积分的应用(一)利用定积分求平面图形的面积例1.计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解:201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及,所以两曲线的交点为(0,0)、(1,1),面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰,所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2.计算由直线4y x =-,曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析:首先画出草图(图1.7 一2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2.为了确定出被积函数2xy =y x=ABC D O和积分的上、下限,需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标,直线4y x =-与 x 轴的交点.解:作出直线4y x =-,曲线2y x =的草图,所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积.解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为(8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0).因此,所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
优课系列高中数学北师大版选修22 4.3.1平面图形的面积 课件(14张)

•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己,这是成功的秘诀。
•
例2 求抛物线 y x2与直线 y 2x 所围成平面图形的面积。
y
y 解2x析:y x2 与 y 2x的交点是(0,0) 和 (2,4) ,所围
面积。
课后思考:
思考题:试求下列曲线所围平面图形的面积。
y y x3
1
o
1x
y2 x
面图形的面积为S,则
y f (x)
b
b
S a f (x)dx a g(x)dx
S
g(x)
oa
bx
例 3 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的图形的面积.
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选修2-2 第四章 §3 课时作业22
一、选择题
1.如图,阴影部分面积为( )
A .⎠⎛a
b [f (x )-g (x )]d x
B .⎠⎛a c [g (x )-f (x )]d x +⎠⎛c b [f (x )-g (x )]d x
C .⎠⎛a
c [f (x )-g (x )]
d x +⎠⎛c
b [g (x )-f (x )]d x D .⎠⎛a
b [g (x )-f (x )]d x
解析:∵在区间(a ,c )上g (x )>f (x ),而在区间(c ,b )上g (x )<f (x ). ∴S =⎠⎛a c [g (x )-f (x )]d x +⎠⎛c
b [f (x )-g (x )]d x ,故选B.
答案:B 2.由y =x 2,y =
x 2
4
,y =1所围成的图形的面积为( ) A .43
B .34
C .2
D .1
解析:因为曲线所围成的图形关于y 轴对称,如图所示,面积S 满足
1
2S =⎠⎛0
1x 2d x +⎠⎛1
21d x -⎠⎛0
2x 2
4
d x =x 33⎪⎪⎪ 1
0+x ⎪⎪⎪
2
1-x 312⎪⎪⎪
2
0=23, 所以S =4
3,故选A.
答案:A
3.由直线y =x ,y =-x +1及x 轴围成平面图形的面积为( )
A .⎠⎛0
1[(1-y )-y ]d y
B .∫1
20[(-x +1)-x ]d x
C .∫1
2
0[(1-y )-y ]d y
D .⎠⎛0
1[x -(-1)]d x
解析:如图,由图可知,S =∫1
2
0[(1-y )-y ]d y .
答案:C
4.[2013·北京高考]直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A .43
B .2
C .83
D .1623
解析:由题知,抛物线C 的焦点为F (0,1),又l 过F 且与y 轴垂直,∴l 为y =1,∴l 与C 所围成的图形面积S =4×1-⎠
⎛2-2x 24d x =4-x 312⎪⎪⎪
2
-2=4-(812+812)=4-43=8
3.
答案:C 二、填空题
5.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________.
解析:根据题意得:S 阴=⎠⎛0
13x 2d x =x 3⎪⎪⎪
1
0=1, 则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩=13×1=1
3.
答案:13
6.曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =1
2
围成的封闭图形的面积为________.
解析:由于曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12的交点的横坐标分别为x =π6及x =5π
6
,因
此所求图形的面积为∫5π6π6(sin x -12)d x =(-cos x -1
2x )
⎪
⎪⎪
5π6
π
6
=3-π
3
.
答案:3-π
3
7.[2012·山东高考]设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.
解析:由已知得S =⎠⎛0
a
x d x =23x 32⎪⎪⎪
a
0=23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a =4
9
.
答案:49
三、解答题
8.求由曲线y =-x 2+2x 与y =2x 2-4x 所围成的平面图形的面积. 解:y =-x 2+2x 与y =2x 2-4x 交点的横坐标为x 1=0,x 2=2.
所以所求图形的面积为S =⎠⎛0
2(-x 2+2x )d x -⎠
⎛0
2(2x 2-4x )d x =(x 2-
⎪⎪13x 3)20-
⎪⎪(2
3x 3-2x 2)20=4.
9.在曲线y =x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112
.
求切点A 的坐标以及切线方程.
解:由题意可设切点A 的坐标为(x 0,x 20),则切线方程为y =2x 0x -x 2
0,可得切线与x 轴
的交点坐标为(x 0
2,0).画出草图,可得曲线y =x 2,直线y =2x 0x -x 20
与x 轴所围图形如右图所示.
故S =S 1+S 2
=∫x 020x 2d x +[∫x 0x 02x 2d x -∫x 0x 0
2(2x 0x -x 20)d x ] =
⎪⎪13x 3x 020+
⎪⎪
⎪⎪13x 3x 0x 02-(x 0x 2-x 20x )x 0x 02
=x 3
012=112
, 解得x 0=1,所以切点坐标为A(1,1), 所求切线方程为y =2x -1.。