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振动与波习题及解答

一选择题 (共60分)1. (本题 3分)(0327) 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是：(A) 2max 2max/x m k v =． (B) x mg k /=． (C) 22/4T m k π=． (D) x ma k /=．［］2. (本题 3分)(3255) 如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶21∶2 ． (C) 1∶2∶21． (D) 1∶2∶1/4 ．［］3. (本题 3分)(3256) 图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统．组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同．(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω2（ω为固有角频率）值之比为(A) 2∶1∶21． (B) 1∶2∶4 ．(C) 2∶2∶1 ． (D) 1∶1∶2 ．［］(a)(b)4. (本题 3分)(5507) 图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v ，和加速度a ．下列说法中哪一个是正确的？(A) 曲线3，1，2分别表示x ，v ，a 曲线；(B) 曲线2，1，3分别表示x ，v ，a 曲线； (C) 曲线1，3，2分别表示x ，v ，a 曲线； (D) 曲线2，3，1分别表示x ，v ，a 曲线；(E) 曲线1，2，3分别表示x ，v ，a 曲线．［］x, v , at O123已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：(A) )3232cos(2π+π=t x ．(B) )3232cos(2π−π=t x ．(C) )3234cos(2π+π=t x ．(D) )3234cos(2π−π=t x ．(E) )4134cos(2π−π=t x ．［］6. (本题 3分)(3028) 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 (A) E 1/4． (B) E 1/2．(C) 2E 1． (D) 4 E 1 ．［］7. (本题 3分)(3023) 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动．若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动． (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动．(C) 两种情况都可作简谐振动．(D) 两种情况都不能作简谐振动．［］放在光滑斜面上8. (本题 3分)(5181) 一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是 (A) 4f . (B) 2 f . (C) f .(D) 2/f . (E) f /4 ［］9. (本题 3分)(3560) 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为(A) kA 2． (B) 221kA ．(C) (1/4)kA 2． (D) 0．［］10. (本题 3分)(3066) 机械波的表达式为y = 0.03cos6π(t + 0.01x ) (SI) ，则(A) 其振幅为3 m ． (B) 其周期为s 31．(C) 其波速为10 m/s ． (D) 波沿x 轴正向传播．［］一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相φ 为：(A) 0. (B) π21(C) π (D) π23（或π−21）［］xyOu12. (本题 3分)(3151) 图中画出一向右传播的简谐波在t 时刻的波形图，BC 为波密介质的反射面，波由P 点反射，则反射波在t 时刻的波形图为［］13. (本题 3分)(3072) 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知P 点的振动方程为)cos(0φω+=t A y ，则波的表达式为 (A) }]/)([cos{0φω+−−=u l x t A y ． (B) })]/([cos{0φω+−=u x t A y ．(C) )/(cos u x t A y −=ω．(D) }]/)([cos{0φω+−+=u l x t A y ．［］14. (本题 3分)(3071) 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O 的振动方程为 (A) 2)(cos[π+′−=t t b u a y ． (B) ]2)(2cos[π−′−π=t t b u a y ． (C) ]2)(cos[π+′+π=t t bu a y ．(D) 2)(cos[π−′−π=t t b u a y ．［］15. (本题 3分)(3286) 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振幅之比是(A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4．(C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4．［］一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：(A) o ＇，b ，d ，f ． (B) a ，c ，e ，g ．(C) o ＇，d ． (D) b ，f ．［］17. (本题 3分)(3289) 图示一平面简谐机械波在t 时刻的波形曲线．若此时A 点处媒质质元的振动动能在增大，则(A) A 点处质元的弹性势能在减小． (B) 波沿x 轴负方向传播．(C) B 点处质元的振动动能在减小．(D)各点的波的能量密度都不随时间变化．［］18. (本题 3分)(3090) 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：(A) 它的动能转换成势能． (B) 它的势能转换成动能．(C) 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大．(D) 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小．［］19. (本题 3分)(5321) S 1和S 2是波长均为λ 的两个相干波的波源，相距3λ /4，S 1的相位比S 2超前π21．若两波单独传播时，在过S 1和S 2的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是I 0，则在S 1、S 2连线上S 1外侧和S 2外侧各点，合成波的强度分别是(A) 4I 0，4I 0． (B) 0，0．(C) 0，4I 0 ． (D) 4I 0，0．［］20. (本题 3分)(3101) 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动(A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．［］二填空题 (共81分)21. (本题 4分)(3010) 有两相同的弹簧，其劲度系数均为k ．(1) 把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为___________________；(2) 把它们并联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为___________________________________．22. (本题 3分)(3041) 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s时刻质点的位移为 ____________________，速度为__________________．23. (本题 5分)(3398) 一质点作简谐振动．其振动曲线如图所示．根据此图，它的周期T =___________，用余弦函数描述时初相φ =_________________．24. (本题 5分)(3400) 试在下图中画出简谐振子的动能，振动势能和机械能随时间t 而变的三条曲线（设t = 0时物体经过平衡位置）．EtTT/2T 为简谐振动的周期25. (本题 3分)(3569) 如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们合成的余弦振动的初相为__________________．21−一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为)31cos(1π+=t A x ω, )35cos(2π+=t A x ω, )cos(3π+=t A x ω其合成运动的运动方程为x = ______________．27. (本题 4分)(5315) 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为φ –φ1 = π/6．若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm ，第一、二两个简谐振动的相位差φ1 − φ2为____________．28. (本题 5分)(3075) 一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(025.0x t y −= (SI)，其角频率ω =__________________________，波速u =______________________，波长λ = _________________．29. (本题 4分)(3862) 一横波的表达式是 )30/01.0/(2sin 2x t y −π=其中x 和y 的单位是厘米、t 的单位是秒，此波的波长是_________cm ，波速是_____________m/s ．30. (本题 5分)(3074) 一平面简谐波的表达式为 )/(cos u x t A y −=ω)/cos(u x t A ωω−= 其中x / u 表示_____________________________；ωx / u 表示________________________；y 表示______________________________．31. (本题 5分)(3863) 已知平面简谐波的表达式为 )cos(Cx Bt A y −=式中A 、B 、C 为正值常量，此波的波长是_________，波速是_____________．在波传播方向上相距为d 的两点的振动相位差是____________________．一简谐波沿BP 方向传播，它在B 点引起的振动方程为t A y π=2cos 11．另一简谐波沿CP 方向传播，它在C 点引起的振动方程为)2cos(22π+π=t A y ．P 点与B 点相距0.40 m ，与C 点相距0.5 m （如图）．波速均为u = 0.20 m/s ．则两波在P 点的相位差为______________________．33. (本题 5分)(3063) 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速 u = 100 m/s ，t = 0时刻的波形曲线如图所示．可知波长λ = ____________；振幅A = __________；频率ν = ____________．34. (本题 5分)(3133) 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ．若如图P 1点处质点的振动方程为)2cos(1φν+π=t A y ，则P 2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________．OP 1P 235. (本题 3分)(3301) 如图所示，S 1和S 2为同相位的两相干波源，相距为L ，P 点距S 1为r ；波源S 1在P 点引起的振动振幅为A 1，波源S 2在P 点引起的振动振幅为A 2，两波波长都是λ ，则P 点的振幅A = _________________________________________________________．1236. (本题 4分)(5517) S 1，S 2为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相距λ23（λ为波长）如图．已知S 1的初相为π21．(1) 若使射线S 2C 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S 2的初相应为________________________．(2) 若使S 1 S 2连线的中垂线MN 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S 2的初位相应为_______________________．37. (本题 3分)(3595) 一驻波的表达式为 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ=．两个相邻波腹之间的距离是___________________．一驻波表达式为t x A y ωλcos )/2cos(2π=，则λ21−=x 处质点的振动方程是___________________________________________；该质点的振动速度表达式是______________________________________．39. (本题 5分)(3107) 如果入射波的表达式是)(2cos 1λxT t A y +π=，在x = 0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹．设反射后波的强度不变，则反射波的表达式y 2 =___________________________________________；在x = 2λ /3处质点合振动的振幅等于______________________．40. (本题 3分)(3462) 在真空中一平面电磁波的电场强度波的表达式为：103(102cos[100.6882×−×π×=−xt E y (SI)则该平面电磁波的波长是____________________．三计算题 (共74分)41. (本题10分)(3022) 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．42. (本题 5分)(3045) 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．43. (本题 5分)(3085) 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为)214cos(01.0π−π−=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变π，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．如图，一平面简谐波沿Ox 轴传播，波动表达式为])/(2cos[φλν+−π=x t A y (SI)，求(1) P 处质点的振动方程；(2) 该质点的速度表达式与加速度表达式．OP45. (本题 5分)(3332) 如图所示，一简谐波向x 轴正向传播，波速u = 500 m/s ，x 0 = 1 m, P 点的振动方程为 )21500cos(03.0π−π=t y (SI).(1) 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式；(2) 在图上画出t = 0时刻的波形曲线．46. (本题 8分)(5516) 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．47. (本题 8分)(3078) 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求 (1) x = 0处质点振动方程；(2) 该波的表达式．xu O t =t ′y48. (本题 8分)(3138) 某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求(1) 该质点的振动方程；(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；(3) 该波的波长．49. (本题10分)(3146) 如图为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，已知波速u = 20 m/s ．试画出P 处质点与Q 处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程．如图所示，两列相干波在P 点相遇．一列波在B 点引起的振动是 t y π×=−2cos 103310 (SI)；另一列波在C 点引起的振动是)212cos(103320π+π×=−t y (SI)；令=BP 0.45 m ，=CP 0.30m ，两波的传播速度u = 0.20 m/s ，不考虑传播途中振幅的减小，求P 点的合振动的振动方程．51. (本题 5分)(3336) 如图所示，两列波长均为λ 的相干简谐波分别通过图中的O 1和O 2点，通过O 1点的简谐波在M 1 M 2平面反射后，与通过O 2点的简谐波在P 点相遇．假定波在M 1 M 2平面反射时有相位突变π．O 1和O 2两点的振动方程为 y 10 =A cos(πt ) 和y 20 = A cos(πt )，且 λ81=+mP m O ， λ32=P O （λ 为波长），求：(1) 两列波分别在P 点引起的振动的方程；(2) P 点的合振动方程．（假定两列波在传播或反射过程中均不衰减）2一选择题 (共60分)1. (本题 3分)(0327) (B)2. (本题 3分)(3255) (C)3. (本题 3分)(3256) (B)4. (本题 3分)(5507) (E)5. (本题 3分)(5186) (C)6. (本题 3分)(3028) (D)7. (本题 3分)(3023) (C)8. (本题 3分)(5181) (B)9. (本题 3分)(3560) (D)10. (本题 3分)(3066) (B)11. (本题 3分)(5204) (D)12. (本题 3分)(3151) (B)13. (本题 3分)(3072) (A)14. (本题 3分)(3071) (D)参考解：由图 b 2=λ, buu2==λν令波的表达式为 ])(2cos[φλν+−π=xt a y 在 t = t ′, ](2cos[φλν+−′π=xt a y 由图，这时x = 0处初相 22π−=+′πφνt 可得 t ′π−π−=νφ22故x = 0处 ]2cos[φν+π=t a y ]2)(cos[π−′−π=t t bu a(C)16. (本题 3分)(5320) (B)17. (本题 3分)(3289) (B)18. (本题 3分)(3090) (D)19. (本题 3分)(5321) (D)20. (本题 3分)(3101) (B)二填空题 (共81分)2分 k m 2/2π 2分22. (本题 3分)(3041) 0 1分 3π cm/s 2分23. (本题 5分)(3398) 3.43 s 3分 -2π/3 2分24. (本题 5分)(3400) 动能曲线见图 2分势能曲线见图 2分机械能曲线见图 1分Et 0TT/2动能势能机械能25. (本题 3分)(3569) π−21或π23 3分26. (本题 3分)(5190) 0 3分27. (本题 4分)(5315) 10 2分 π−212分125 rad/s 1分338 m/s 2分17.0 m 2分29. (本题 4分)(3862) 30 2分 30 2分30. (本题 5分)(3074) 波从坐标原点传至x 处所需时间 2分x 处质点比原点处质点滞后的振动相位 2分t 时刻x 处质点的振动位移 1分31. (本题 5分)(3863) 2π /C 1分 B /C 2分 Cd 2分32. (本题 3分)(3420) 0 3分33. (本题 5分)(3063) 0.8 m 2分 0.2 m 1分 125 Hz 2分34. (本题 5分)(3133) ])(2cos[212φλν++−π=L L t A y 3分λk L x +−=1 (k = ± 1，± 2，…） 2分35. (本题 3分)(3301) )22cos(2212221λπrL A A A A −++ 3分36. (本题 4分)(5517) 2k π + π /2， k = 0，±1，±2，… 2分2k π +3 π /2，k = 0，±1，±2，… 2分37. (本题 3分)(3595) λ213分38. (本题 4分)(3154) t A y ωcos 21−= 或 )cos(21π±=t A y ω 2分 t A ωsin 2=v 2分)(2cos λxT t A −π 3分 A 2分40. (本题 3分)(3462) 3 m 3分三计算题 (共74分)41. (本题10分)(3022) 解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，ω = 2πν = (π /4) s -13分(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5−=x cm φcos A = t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A −=+=由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分 25cos /==φx A cm 1分∴ 振动方程 434cos(10252π−π×=−t x (SI) 1分(2) 速率 )434sin(41025d d 2π−π×π−==−t t x v (SI) 2分当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d −−×=π−×π−==t x v m/s 1分42. (本题 5分)(3045) 解：旋转矢量如图所示．图3分由振动方程可得π21=ω，π=∆31φ 1分　667.0/=∆=∆ωφt s 1分-43. (本题 5分)(3085) 解：反射波在x 点引起的振动相位为π+π−−+π−=+21)55(4x t t φω π−π+π+=10214x t 3分反射波表达式为)10214cos(01.0π−π+π+=x t y (SI) 2分或)214cos(01.0π+π+=x t y (SI)解：(1) 振动方程 }]/)([2cos{φλν+−−π=L t A y P ])/(2cos[φλν++π=L t A 2分 (2) 速度表达式 ])/(2sin[2φλνπν++π−=L t A P v 2分加速度表达式 ])/(2cos[422φλνν++ππ−=L t A a P 1分45. (本题 5分)(3332) 解：(1) 2m )250/500(/===νλu m 波的表达式]/2)1(21500cos[03.0),(λπ−−π−π=x t t x y ]2/2)1(21500cos[03.0π−−π−π=x t )21500cos(03.0x t π−π+π= (SI) 3分(2) t = 0时刻的波形曲线x x x y π=π−π=sin 03.0)21cos(03.0)0,( (SI) 2分46. (本题 8分)(5516) 解：设x = 0处质点振动的表达式为 )cos(0φω+=t A y ，已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π−=21φ∴ )2cos(0φν+π=t A y )21100cos(1022π−π×=−t (SI) 2分由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为)/22cos(0u x t A y νφνπ−+π=)2121100cos(1022x t π−π−π×=− (SI) 2分x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移)21100cos(1022π−π×=−t y (SI) 1分该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π−π××−=−πv 2分= 6.28 m/s 1分47. (本题 8分)(3078) 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2cos(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+′π=φνt A y 1分 0)2sin(2d /d <+′ππ−=φννt A t y 1分所以 2/2π=+′πφνt ， t ′π−π=νφ2212分x = 0处的振动方程为 ]21)(2cos[π+′−π=t t A y ν 1分(2) 该波的表达式为 ]21)/(2cos[π+−′−π=u x t t A y ν 3分解：(1) 振动方程 )22cos(06.00π+π=ty )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(cos[06.0π+−π=u x t y 3分])21(cos[06.0π+−π=x t (SI)(3) 波长 4==uT λ m 2分49. (本题10分)(3146) 解：(1)波的周期T = λ / u =( 40/20) s= 2 s ． 2分P 处Q 处质点振动周期与波的周期相等，故P 处质点的振动曲线如图(a) 振动方程为： 2分 )21cos(20.0π−π=t y P (SI) 2分(2) Q 处质点的振动曲线如图(b)，振动 2分方程为 )cos(20.0π+π=t y Q (SI)或 )cos(20.0π−π=t y Q (SI) 2分-50. (本题 5分)(3437) 解：第一列波在P 点引起的振动的振动方程是：)212cos(10331π−π×=−t y ， (SI) 2分第二列波在P 点引起的振动的振动方程是：)212cos(10332π−π×=−t y ， (SI) 2分P 点的合振动的振动方程是：)212cos(106321π−π×=+=−t y y y ， (SI) 1分51. (本题 5分)(3336) 解：(1) )]8(2cos[1λλπ−π−π=t A y )cos(π−π=t A 2分)]3(2cos[2λλπ−π=t A y )cos(t A π= 2分(2) )cos()cos(21t A t A y y y π+π−π=+= 0)cos(cos =π+π−=t A t A 1分。

振动与波习题课及课后作业解答

O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为空气中声速为340m/s, 一列车以一列车以72km/h的速度行驶车上旅客的速度行驶, 的速度行驶听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到听到汽笛声频率为此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线振动圆频率如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2

波动与振动-答案和解析

1. 一简谐振动的表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时的初位移为, 初速度为s -1，则振幅A = ，初相位 =解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： 1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以 9.36-=ϕ2. 两个弹簧振子的的周期都是, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为。

解：从旋转矢量图可见，t = s 时，1A 与2A反相，即相位差为。

3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的（设平衡位置处势能为零）。

当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。

物块在平衡位置时，弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=，振动周期gl km T ∆==ππ224. 上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。

解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为1A 1A 2Ax=t .0=t 5.0=t(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的点。

振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的点。

振动和波课后习题答案

− kxc − f = mxc
（1）
fR = (1 mR2 )θ = 1 mR2 xc
2
2R
（2）
由（2）式可得
f
=
1 2 mxc
代入（1）式得：
−
kxc
−
1 2
mxc
=
mxc
推出
3 2
mxc
+
kxc
=
0
k
m
题 6.9 图
ω = 2k 3m
6.10 如题 6.10 图所示，弹簧的倔强系数为 k，定滑轮的质量为 m’，半径为 R，转动惯量为 I，物体的质量为 m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。（1）试求这一振动系统的振动频率，（2）如果在弹簧处于原长时由静止释放物体 m，m 向下具有最大速度时开始计时，并令 m 向下运动为 x 的正坐标，试写出 m 的振动表达式。
2
2
（4） < Ek
>=< E p
>=
E 2
=
1 KA2 4
=
1 mω 2A2 4
=
4 ×10−6π 2 (J )
ห้องสมุดไป่ตู้
（5） t = 0.1s 时，ϕ = 8π + π = 25 π ； 33
t = 10s 时，ϕ = 80π + π = 241π 。 33
6.14 在阻尼振动中，量τ = 1 叫做弛豫时间。（1）证明 τ 的量纲是时间；（2）经过时间 τ δ
∵ m1 x1 = m2 x2
x
=
m1 + m2 m2
x1
Δx1 + Δx2 = Δx
mm1

第9章思考题习题振动和波

提要1.简谐振动微分方程:222d 0d x x tω+= 运动学特征: 简谐振动位移: )cos(ϕω+=t A x ,其中A =00tan x υϕω-=. 位移的旋转矢量表示法……速度: d d sin()cos()2m x A t t t πυωωϕυωϕ==-+=++加速度: 2222d d cos()cos()m x a A t a t x tωωϕωϕπω==-+=++=-动能:2222k 11sin ()22E m m A t υωωϕ==+ 势能: 222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+总能量: 22222k p 11sin ()cos ()22E E E m A t kA t ωωϕωϕ=+=+++平均能量 2221122E m A kA ω==2.振动的合成1) 同振动方向同频率的两个分振动的合成---相干振动的叠加A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+212(0,1,2,)k k ϕϕπ-==±±时,两个分振动同相, 合振动振幅最大为:12A A A ==+21(21)(0,1,2,)k k ϕϕπ-=+=±±时,两个分振动反相, 合振动振幅最小为:12A A A ==-2) 同振动方向不同频率的两个分振动的合成---不相干振动的叠加:212112cos 2cos 222x A t t ννννππ-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭合振动的频率为: 212νν+拍频为: 21ννν=-3) 振动方向相互垂直具有相同频率的两个分振动的合成…用于光的偏振.4) 振动方向相互垂直具有不同频率的两个分振动的合成---李萨如图…用于测频率.3.简谐波波线波面波前平面简谐波的波函数:cos x y A t uω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 或 2cos t x y A T πλ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 或 )cos(kx t A y -=ω 波的能量: 222k 1d d 2()sin x E V A t u ρωω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 222p 1d d 2sin x E VA t u ρωω⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222d d sin x E VA t u ρωω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦能量密度: 222d d sin E x w A t Vu ρωω⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.平均能量密度:2212w A ρω=平均能流: P wuS =能流密度: 2212P I wu A u S ρω===, 与波速的方向一致.惠更斯原理波的叠加原理波的衍射: 衍射现象、衍射条件 4.波的干涉干涉现象干涉条件两列从不同方向传来的同频简谐波, 在相遇点处相互叠加. 相位差:()21212121222r r r r ππϕϕϕϕϕπλλλ-⎛⎫⎛⎫∆=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 满足相干条件的前提下, 有干涉加强条件: 212122,0,1,2r r k k ϕϕϕππλ-∆=--=±=干涉相消条件: 21212(21),0,1,2r rk k ϕϕϕππλ-∆=--=±+=5.驻波驻波方程:()2cos 2cos 2x y A t ππνλ⎛⎫= ⎪⎝⎭波腹的位置: cos 21x πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭波节的位置: cos 20x πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭半波损失思考题: 3; 4; 6; 8; 10; 13; 14; 16; 18; 19; 20. 习题: 1; 5; 6; 13; 14; 18; 19; 20; 23; 24; 25; 27.思考题9.3 对于同一个弹簧振子, 一个让其在光滑的水平面上作一维的简谐运动, 一个是在树枝悬挂的情况下作简谐运动, 问两者的振动频率是否相同?答: 弹簧振子的频率只与振子的质量和弹簧的劲度系数有关,而与振子的放置方法无关. 所以两振子的频率相同. [因为ω=9.4 一个质量未知的物体悬挂在劲度系数为k 的弹簧上, 只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长度, 就可知此弹簧系统的振动周期, 为什么?答: 测出弹簧的静平衡伸长度b ,就可以算出振子的质量,有质量和劲度系数就可以知道频率.[2m b bk mg k T g ωπω→=→===→=]9.6 做简谐运动的弹簧振子, 当物体处于下列情况时, 在速度、加速度、动能、弹性势能等物理量中, 哪几个达到最大值, 哪几个为零: (1)通过平衡位置时; (2)达到最大位移时.答: (1)通过平衡位置时,速度、动能最大而加速度和弹性势能为零; (2)在最大位移处,加速度和弹性势能最大而速度和动能为零. 分析如下(1)由)cos(ϕω+=t A x 知, 振子通过平衡位置时, cos()0x A t ωϕ=+=即2t πωϕ+=.所以d d sin()cos 2m m xA t t t πυωωϕυωϕυ⎛⎫==-+=+ ⎪⎭=-+⎝, 2222d d cos()cos(0)m x a A t a t x t ωωϕωϕπω==-+=++==-,222222k 11si 1n )22(2E m m A t m A ωωϕωυ==+=, 222p 11cos ()220E kx kA t ωϕ=+==.(2) 由)cos(ϕω+=t A x 知, 振子在最大位移处时, cos()x A t A ωϕ=+=即0t ωϕ+=.所以d d sin()c s 20o m xA t t t πυωωϕυωϕ⎛⎫==-+=++ ⎪⎝=⎭,22222d d cos()cos()m x a A t a x t A t ωωϕωϕπωω==-+=+=-+=-,2222k 11sin ()220E m m A t υωωϕ==+=, 2p 22211cos ()2221E kx kA k t A ωϕ===+.9.8两个简谐运动的振动频率相同, 振动方向也相同, 若两个振动的振动相位关系为反向相, 则合振动的振幅为多少? 合振动的初相位为多少? 两者为同相关系又如何? 答: 若两个振动的振动相位关系为反相, 则合振动的振幅为两分振动的振幅之差的绝对值;合振动的初相位取决于两分振动的初相位(及两分振动的振幅).若两个振动的振动相位关系为同相,合振动的振幅为两分振动的振幅之和.[两个同方向同频率分振动的合成---相干振动的叠加: A =,11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+. 当两个分振动同相, 即212(0,1,2,)k k ϕϕπ-==±±时, 合振幅最大为:12A A A ==+;当两个分振动反相, 即21(21)(0,1,2,)k k ϕϕπ-=+=±±时, 合振幅最小为: 12A A A ==-.]9.10 什么是波动? 振动和波动有什么区别与联系? 波形曲线与振动曲线有什么不同? 试说明之.答: 波动, 是振动状态在空间的传播,包括依赖于弹性介质中质点振动而逐点传播的机械波,也包括不依赖于介质中质点振动就能逐点传播的电磁波.振动在介质中传播,形成波. 在波线方向上各个位置上的介质质点或电磁场参量都在做振动; 波动传播能量,而振动并不传播能量. 振动是波动的基础,波动是振动状态在空间的传播.一条振动曲线, 表示在特定平衡位置0x 处的一个质点的位移y 或电磁场参量E , 随时刻t 的不同而变化的振动规律()0,y x t 或()0,E x t . 一条波形曲线, 表示在某一特定时刻0t 时的波线上所有平衡位置x 处的所有质点的位移y 或电磁场参量E , 随各质点平衡位置x 的不同而变化的波动规律()0,y x t 或()0,E x t .9.13 根据波长、频率、波速的关系式u λν=, 有人认为频率高的波传播速度大, 你认为是否真确? 答: 不正确.因为, 波在介质中的传播速度只与介质有关(ρG u =或ρE u =或ρK u =),与频率无关.9.16 波的能量与那些物理量相关? 比较波的能量与简谐运动的能量.答: 波的能量(()222d =sin d E x w ρA ωωt Vu ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 2212w A ρω=)与振幅、频率和介质的密度等因素有关.波的能量密度()222d =sin d E x w ρA ωωt Vu ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦随时间周期性变化; 而振动的能量212E kA ≡不随时间变化.9.18 “若两列波不是相干波, 则当相遇时, 相互穿过后且互不影响; 若两列波是相干波则互相影响”. 这句话对不对? 为什么? 同时请分析叠加原理成立的条件.答: 正确. 因为,不相干的波根据波的叠加原理,保持各自原有的特性,互不影响; 但对于相干波会出现有些地方振动加强,有些地方振动减弱的现象. 叠加原理只适用于小振幅波动的线性叠加.9.19 两列简谐波叠加时, 讨论下列各种情况:(1)若两列波的振动方向相同, 初相位也相同, 但频率不同, 能不能发生干涉? (2)若两列波的频率相同, 初相位也相同, 但振动方向不同, 能不能发生干涉?(3)若两列波的频率相同, 振动方向也相同, 但相位差不能保持恒定, 能不能发生干涉?(4)若两列波的频率相同, 振动方向也相同, 初相位也相同, 但振幅不同, 能不能发生干涉?答: (1)不能; (2)不能; (3)不能; (4)能.9.20 (1)为什么有人认为驻波不是波?(2)在驻波中, 相邻两波节间各点均作相位相同的简谐运动, 那么每个振动质点的能量是否保持不变?答: (1)因为驻波不传播能量,其波形保持不变,所以就容易使人产生错觉,认为驻波不是波.(2) 每个振动质点的能量212E kA ≡保持不变.习题: 1; 5; 6; 13; 14; 18; 19; 20; 23; 24; 25; 27.习题9.1 设简谐运动方程为x =0.02cos(100πt ＋π/3)(SI 制),求: (1)振幅、频率、角频率、周期和初相; (2)t =1s 、2s 、10s 时的相位;(3)分别画出位移、速度和加速度与时间的关系曲线.解: (1)将题述振动方程与标准形式cos()x A t ωϕ=+做比较, 可知, 振幅A = 0.02 m 、频率ν= 50 Hz 、角频率100πrad/s ω=、周期T =1/ν= 0.02 s 、初相πrad 3ϕ=.(2) 将t ＝1s 、2s 、10s 分别代入振动方程中的相位项(100πt ＋π/3), 得到相应时刻的相位分别为π100πrad 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭、π200πrad 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭、π1000πrad 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(3) 从t =0开始, 每间隔八分之一周期取一个时间点, 分别计算出对应的位移、速度和加速度, 每个参量表达式, 共有9个数据点, 采用描点法画图. 图略, 但与教材图9.2类似.9.5一弹簧振子沿水平方向做简谐运动, 振幅为10 cm. 当弹簧振子离开平衡位置6 cm 时, 速度为24 cm/s. 求: (1) 振动的周期; (2) 速度为12cm/s 时的位移.解: (1)弹簧振子简谐运动时, 振子位移可表示为 cos()x A t ωϕ=+. 其中, 10cm A =. 则, 弹簧振子的速度为 d sin()d xA t tυωωϕ==-+. 将6cm x =±时24cm/s υ=±这一对应关系, 代入以上两式, 有610cos()t ωϕ±=+, 2410s i n (t ωωϕ±=-+由22sin ()cos ()1t t ωϕωϕ+++=知, 2261010241ω±⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭±+=.解得r /s 3ad ω=±. 考虑到振子圆频率只能取正值, 有/s 3rad ω=. 于是有2ππ3s 2T ω==(2)将10cm A =、/s 3rad ω=和12cm/s υ=±, 代入振子速度表达式有1230sin()t ωϕ±=-+. 解之得2s i n ()5t ωϕ+=±于是,cos()t ωϕ+==±所以, 此时的位移cos() 4.58x A t ωϕ=+=±≈±cm .9.6 质量m =100 g 的小球与弹簧构成的系统, 按x =0.05cos(4πt ＋π/3)的规律作自由振动. 式中t 以s 为单位, x 以cm 为单位. 求: (1)振动的角频率、周期、振幅和初相; (2)振动的速度和加速度表达式; (3)振动的能量; (4)平均动能和平均势能. 解: (1)将题述振动方程与标准形式cos()x A t ωϕ=+做比较, 可知c 0.05m A =、4πrad/s ω=、ad π3r ϕ=. 并可导出2π0.5s T ω==.(2) d πsin()0.2πsin 4πcm d /3s x A t t tυωωϕ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭;22222d d π0.8πcos 4c d m/s πd 3x a x t t t υω⎛⎫===-=-+ ⎪⎝⎭ (3) ()()()2222223711100104π100.05J 2π10J 22E m A ω---==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯(4) 2k p 71===π10J 2E E E -⨯.9.13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动: 10.04cos 26x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和250.03cos 26x t π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 试求其(两个表达式所表示的两个分振动之)合振动的振幅和初相位(式中x 以m 计, t 以s 计).解: 题述质点所参与的两个分振动, 具有相同的频率. 因而, 这两个分振动位移的合成是同频率同方向两个振动的合成. 二分振动的合振动具有()cos 2x A t ϕ=+的形式. 因2151πππ66ϕϕϕ∆=-=--=-, 表示两个分振动反相, 则合振动的振幅为120.040.030.01m A A A ===-=-=合振动的初相的正切11221122π50.04sin0.03sin(π)sin sin 66tan 0.581π5cos cos 0.04cos 0.03cos(π)66A A A A ϕϕϕϕϕ+-+==≈++-故合振动的初相π6ϕ≈. 可见, 合振动的初相由两分振动的初相和振幅共同决定!!于是, 合振动的表达式为 0.01cos 2m3x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.9.14 两个同方向的简谐运动,周期相同, 振幅为10.05m A =, 20.07m A =, 组成一个振幅为0.09m A =的简谐运动. 求两个分振动的相位差.解: 由同频率同方向的两振动的合振动振幅公式A =()22212122cos A A A A A ϕ=++∆[这里, 用ϕ∆而不用, ()21ϕϕ-来表示两个分振动的相位差, 是因为题述不包含哪个分振动更超前或迟后的信息, 且余弦函数为偶函数.] 于是有()22222212120.090.050.07cos 0.1220.050.07A A A A A ϕ----∆===⨯⨯故 01.47ra 84d 16ϕ∆=='9.18 一横波沿绳子传播时的波动方程为)410cos(05.0x t y ππ-=. x,y 的单位为m, t 的单位为s. (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长; (2)求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度; (3)求0.2m x =处的质点在1t s =时的相位? (4)分别画出1t s =、1.25s 、1.50s 各时刻的波形. 解: 一列波的传播问题(1)将题设横波表达式0.05cos(10π4π)0.05cos 2π50.5x y t x t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 与一般横波表达式cos 2πx y A t νλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭比较可得, 波的振幅、频率、波长和波速分别为0.05m ,5Hz ,0.5m , 2.5m/s A u νλλν=====(2) 绳上各质点振动的最大速度为max maxd 2π2 3.1450.05m/s 1.57m/s d yA A t υων====⨯⨯⨯= 绳上各质点振动的最大加速度为22222max (2π)49.3m/s a y y A A ωωων=-====(3) 将0.2m x =和1s t =代入题设波动的相位表达式中, 可得该处质点在该时刻的振动相位为10π4π10π14π0.29.2πt x -=⨯-⨯=(4) 将三个时间分别代入波动表达式, 得各对应时刻的波形解析式分别为(, 1.00)0.05cos(104)cos(4)0.05x y x t x πππ==-=(, 1.25)0.05cos(12.54)0.05cos(0cos(.54)0.05)0.054sin 4).(05y x t x x x x πππππππ==-=-=-=cos(4cos(4(, 1.50)0.05cos(154)0.05cos(4)0.)(,1)05)0.05y x t x x x x y x t πππππππ---==-=-====从波线上的x =0位置开始, 每间隔八分之一波长取一个空间位置点, 计算出对应的位移y , 共有9个数据点. 采用描点法画图. 图略, 但其中的两条曲线与教材图9.28类似. 9.19 设有一平面简谐波0.02cos20.010.3t x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 其中, x,y 的单位为m, t 的单位为s. (1)求振幅、波长、频率和波速; (2) 求0.1m x =处质点振动的初相位. 解: 一列波的传播问题(1)比较题设平面简谐波0.02cos20.010.3t x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭与平面简谐波的一般表达式c o s 2πt x y A T λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭知, 0.02m ,0.3m ,0.01s A T λ===. 推算得11Hz 100Hz 0.01T ν=== 0.3100m/s 30m/s u λν==⨯=(2) 将0.1m x =代入题设平面简谐波表达式, 即得求0.1m x =处质点振动的表达式为0.12π0.02cos 2π0.02cos 200π0.010.33t y t ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见, 该处质点振动的初相位为2π3⎛⎫- ⎪⎝⎭.9.20 平面简谐波的振幅为5.0 cm, 频率为100 Hz, 波速为400 m/s, 沿x 轴正方向传播. 以波源(设在坐标原点O )处的质点在平衡位置且正向y 轴正方向运动时的时刻, 作为计时起点. 求: (1) 波源的振动方程; (2) 波动方程. 解: 一列波的传播问题已知: 频率100Hz ν=, 振幅5cm 0.05m A ==, 波速400 m/s u =.可推得, 角频率 2π200πων==, 波长400=4m/s 100uλν==. (1) 设波源的振动方程为()cos y A t ωϕ=-. 则波源的振动速度为()d sin d yA t tυωωϕ==--.因为, 以波源(设在坐标原点O )处的质点在平衡位置且正向y 轴正方向运动时的时刻, 作为计时起点. 则初始条件可写为(0)0y t ==且(0)0t υ=>. 即()0cos 0A ωϕ=⋅-且()sin 00A ωωϕ-⋅->cos 0ϕ=且sin 0ϕ<在(,]ϕππ∈-范围内, 满足初始条件的初相位是 π2ϕ=-所以, 波源的振动方程为()πcos 0.05cos 200m 2y A t t ωϕπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.(2) 波动方程是原点处质点的振动,沿波线传播到任一位置x 处质点的振动表达式. 因该波的波源在原点O 处且沿x 轴正方向传播, 所以, 该波动的波动方程为π0.05cos 200πm 4002x y t ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦9.23 一平面简谐波的频率为500Hz, 在密度为3kg/m 3.1=ρ的空气中以340m /s u =的速度传播, 达到人耳时振幅约为m 100.14-⨯=A . 试求波在耳中的平均能量密度和声强. 解: 一列波传播中的能量与强度问题已知频率500Hz ν=. 可推得角频率 2π1000πων==. 于是波在耳中的平均能量密度为 2224232311 1.3(1000π)(10)J/m 6.3610J/m 22w A ρω--==⨯⨯⨯=⨯. 波在耳中的声强为2222216.3610340W/m 21.6W/m 2I A u wu ρω-===⨯⨯=9.24 一弹性波在介质中传播的速度m/s 103=u , 振幅m 100.14-⨯=A , 频率Hz 103=ν. 若该介质的密度为3kg/m 800=ρ. 求: (1)该波的平均能流密度; (2)一分钟内垂直通过一平面42=410m S -⨯的总能量.解: 一列波传播中的能量问题已知频率310Hz ν=. 可推得角频率32π2π10rad/s ωνν===⨯. 于是 (1) 该波的平均能流密度为()()2222433252118001102π1010W/m 1.5810W/m 22I A u ρω-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯. (2)一分钟1min 60s t ==内垂直通过面积为42=410m S -⨯的总能量为()()5431.581041060J 3.7910J E ISt -==⨯⨯⨯⨯=⨯9.25 一驻波波函数为()()0.02cos 20cos 750y x t =, 求: (1)形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少? (2)相邻两波节间的距离多大? (3)3=2.010s t -⨯时, 2=5.010m x -⨯处质点振动的速度多大?解: 驻波的特征问题设形成题述驻波的两个同频共线相向行进的两个波动的振幅相等, 大小同为A . (1)比较题述驻波的表达式()()0.02cos 20cos 750y x t =与一般驻波的表达式2π2π2cos cos y A x t T λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知, 0.01m A =, 2π20λ=, 2π750T =.可求解得πm 10λ=, πs 375T =. 进而求得 π/10m/s 37.5m/s π/375u T λ===.(2) 相邻波节点间距为πm 0.157m 220x λ∆==≈.(3) 因为t 时刻, x 处质点振动的速度为()()d 7500.02cos 20sin 750d y x t tυ==-⨯.所以, 3=2.010s t -⨯时, 2=5.010m x -⨯处质点振动的速度为()()2315cos 20(5.010)sin 750(2.010)m/s18018015cos 1sin 1.5m/s 15cos sin 1.5m/s 8.08m/so oυππ--⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-=-⨯≈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.27 两个波在一很长的弦线上传播. 设其波动表达式为10.06cos (2.08.0)2y x t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦和20.06cos (2.08.0)2y x t π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦, 其中的单位用SI 制. 求: (1) 求各波的频率、波长、波速; (2)求节点的位置; (3) 在那些位置上, 振幅最大?解: 驻波的特征问题(1)将题述两个等幅分波动的表达式10.06cos (2.08.0)0.06cos 2π220.5xt y x t π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦和20.06cos (2.08.0)0.06cos 2π220.5x t y x t π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦, 与一般波动表达式cos 2πx t y A T λ⎡⎤⎛⎫=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 可知, 2m ,0.5s ,0.06m T A λ===.进而, 可求得12Hz ,4m/s u Tνλν====.(2) 驻波方程为()()122π2π2cos cos0.12cos πcos 4πy y y A x t x t Tλ=+== 波节位置由()cos π0x =,即ππ(21)2x k =+决定. 解得波节的位置 (0.5)m x k =+, (0 1 2 3 k =±±±⋅⋅⋅，，，，) (3) 波腹位置由()cos π1x =, 即ππx k =决定. 解得波腹位置为m x k =, (0 1 2 3 k =±±±⋅⋅⋅，，，，)对相干波的叠加(干涉)问题, 在本章作业中没有得到体现, 留在下一章中训练.。

高中物理练习振动与波(习题含答案)

1.下列关于简谐振动和简谐波的说法，正确的是A．媒质中质点振动的周期一定和相应的波的周期相等B．媒质中质点振动的速度一定和相应的波的波速相等C．波的传播方向一定和媒质中质点振动的方向一致D．横波的波峰与波谷在振动方向上的距离一定是质点振幅的两倍2．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变3.家用洗衣机在正常脱水时较平稳，切断电源后，洗衣机的振动先是变得越来越剧烈，然后逐渐减弱。

对这一现象，下列说法正确的是A．正常脱水时，洗衣机脱水缸的运转频率比洗衣机的固有频率大B．正常脱水时，洗衣机脱水缸的运转频率比洗衣机的固有频率小C．正常脱水时，洗衣机脱水缸的运转频率等于洗衣机的固有频率D．当洗衣机的振动最剧烈时，脱水缸的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率4.两个振动情况完全一样的波源S1、S2相距6m，它们在空间产生的干涉图样如图所示，图中实线表示振动加强的区域，虚线表示振动减弱的区域，下列说法正确的是A．两波源的振动频率一定相同B．虚线一定是波谷与波谷相遇处C．两列波的波长都为2mD．两列波的波长都为1m5.频率一定的声源在空气中向着静止的接收器匀速运动。

以u表示声源的速度，V表示声波的速度（u＜V），v表示接收器接收到的频率。

若u增大，则A．v增大，V增大 B. v增大，V不变C. v不变，V增大D. v减少，V不变6.如图所示，沿x轴正方向传播的一列简谐横波在某时刻的波形图为一正弦曲线，其波速为200m/s，下列说法中正确的是A．图示时刻质点b的加速度将减小B．从图示时刻开始，经过0.01s，质点a通过的路程为0.4mC．若此波遇到另一列波并发生稳定干涉现象，则另一列波的频率为50HzD．若该波传播中遇到宽约4m的障碍物能发生明显的衍射现象7.一列沿x轴正方向传播的简谐横波，周期为0.50s。

II2_振动和波+详细解答

振动1．一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于（A ）21T （B ）1T （C ）1T /2 （D ）1T /2 （E ）1T /4（C ）弹簧的弹性系数问题：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。

为什么？因为我们知道胡克定律为：f kx =（力的大小），即 f k x=。

下面两根弹簧，本来材料、长度、弹性系数都是完全一样的，但是把其中的一根截短，加上相等的拉力f ，截短以后的弹簧伸长量要小于原来长度的弹簧的伸长量，弹性系数k 增大了。

f12T = 22k k =，下端挂一质量为12m的物体，则系统振动周期2T 为：2T 1112222T π⎛=== ⎝2．图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2π，1是位移曲线。

3．在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1）；（2）；（3）。

关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：0v (a)(b)t（a ）φ= -π/2（b ）φ= π/2（c ）φ= π所以：（1）Y=Acos (t T π2－2π) （2）Y=Acos (t T π2+2π) （3）Y=Acos (t Tπ2+π)4．一系统作谐振动，周期为T ，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0≤t ≤T /2范围内，系统在t = 、时刻动能和势能相等。

振动与波动(习题与答案)

第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。

掌握波的相干条件。

能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。

周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。

t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。

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（1 ）角频率：co == 393矿ad/L ,c 0.5Hz ,2兀 c / =2s ； J9.80 = Acos(3.13r+ ^) ,「・〃 = —3.13*sin(3.13，+ °)e . ecos (p = — , sm(p = -可解得：A = 8.8xl0-2/n,。

= 227°=-133°=-2.32,g （2）振动方程可表示为:根据初始条件，（二0时:>0(1,2 象限) 3.13A ( <0(3,4象限) 3.1 .原长为0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg 的物体，当物体静止.时，弹簧长为0.6m.现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。

（g 取 9.8）解：振动方程：x = A cos （69f + （p ）,在木题中，kx = mg ,所以A =9.8；取竖直向下为x 正向，弹簧佃长为0.1所时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m,当-0时，尸-A,那么就可以知道物体的初相位为私所以：x = 0.1 cos （>/98r + 即：x = -0.1 cos （V98r ） 0 3-2.有一单摆，摆长/ = 1.0m,小球质量m = 10g , 1 = 0时，小球正好经过0 - -0.06rad 处，并以角速度0 = O.2rad/s 向平衡位置运动。

设小球的运动可看作简谐振动,试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。

（g 取9.8）解：振动方程：x = Acos （口（ + 9）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

3-3. 一质点沿尤轴作简谐振动，振幅为12cm,周期为2s 。

当t = 0时，位移为6cm,且向尤轴正方向运动。

求：（1）振动表达式;（2），= 0.5s 时,质点的位置、速度和加速度;（3）如果在某时刻质点位于JV = -6cm , 且向尤轴负方IE 运动，求从该位置I 可到平衡位置所需要的时间。

2/r解：（1）由题己知 A=0.12m, T=2 s ,「• co ———=71Trr又•.•/=0时，x 0 = 6cm , v 0 >0,由旋转矢量图，可知：（p =——TT故振动方程为：x = 0.12cos （混—一）m ；3（2）将r=0.5s 代入得：x = 0.12 cos （混一马）= 0.12 cos g = 0.104m,3 6v = 一0.12/rsin （H -马）=0.12cosg = -0.188m/s , 3 6 a = 一0.12/2 cos （混-生）=-0.12/ cos — = -1.03m/s?,36方向指向坐标原点，即沿x 轴负向；A（3）由题知，某时刻质点位于x = -6cm =——，2g _频率：八土周期：T = 171!。

（2）当 Ep = Ek =?E 时，有:cos（C + 9）= sin“（c + e ）/• COS （Ct ）t +（p ） = ±1TT且向X 轴负方向运动,如图示，质点从P 位置回到平衡位置Q 处需要走八= - + 建立比例式：业 43 22兀 T有：\t = -s 。

63-4.两质点作同方|”、同频率的简谐振动，振幅相等。

当质点1在%, =>4/2处，且向左运动时，另一个质点2在x 2 =-4/2处，且向右运动。

求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：当质点1在%! =A/2处，且向左运动时, 相位为生,而质点2在x 2 =-A/2处，且向右运动,4勿相位为丁。

所以它们的相位差为勿。

3-5.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由 E ft = —kx 1, E k =-/nv 2,有：E p = —kA 2 cos 2（cot + （p ）,E k =-mco 2A 2sin 2（cot +（p ） = — kA 2sin 2A（1）当 x =—时，由 x = Acos （刃 f + e ）,Q z x 1、g卷:cos （c + 饥=—,sin （^r +（p ） =——，3-6.两个同方I 何的筒谐振动曲线（如图所示）（1）求合振动的振幅。

（2）求含振动的振动表达式。

解：通过旋转矢量图做最为简单。

由图可知，两个振动同频率，且 & 初相：9]= — , A 2 初相：（p 2 --- ,表明两者处于反相状态，（反相△ （p =（P 】-（p\ = ±（2k +1）勿，A =0,1,2，…）A = ±0.707A ox =・.・A|VA,,.•・合成振动的振幅：A = A, - A ；JI 合成振动的相位：（p = （p2;2勿TC 合成振动的方程：x = M2-A1）cos（—Z一一）o1 T 2TT3-7.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为一°若第一6个振动的振幅为10j§cm。

则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知人：=A.2 + A2 -2A. A cos 30° =0.01 m £ 1 1.\A 2=0.1 m ,_Irrt^n. . .llf sin。

sin30°..再利用正弦TH理：-- = ------- ，右:A A.A rrsin 0 = --- = 1, /. 0 = —o2A2 2说明们与A?间夹角为丸/2,即两振动的位相差为兀/2 。

3-8.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:/ \ （x = 4 cos8勿，+ x = 4 cos8洲+ 一(1) << 6J ；(2) <<6(( 5v = 4 cos软t——y = 4 cos I161)x = 4cos 8勿，+ —（3） J ；6，、。

试判别质点运动的轨迹。

）f o2”y = 4cos 8混 + ——解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂宜运动的叠加。

对于x = Acos（仞+代），），= 4cos（口，+代）的叠加，可推得: X2 + y2 -2xycos（（p x-（p y） = A2 sin'（代一（p y）TT TT c r TT c 7T（1）------------------ 将（p x = — , （p y = 代入有：x~ +- 2x y cos — = 16 sin"—,6 6 3 3则方程化为：J + y2f）, = ]2,轨迹为一般的椭圆；TT S/T（2） ----------------------- 将（p\= — , （p、.=代入有：x2 + y2 -2xycos7i = 16sin2TI6 6则方程化为：x2 + y2-2xy = 0f即工+），= 0,轨迹为一直线；（3）将甲\=三,cp、,二号代入有：x2 + y2 -2x y cos- = 16sin2三则方程化为：F +尸=4、轨迹为圆心在原点，半径为物的圆。

TT3-9.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与8, B点振动相位比A点落后一，已知振动6周期为2.0s,求波长和波速。

JI解：根据题意，对于A 、B 两点，=（p 〔一（p 、= 一, Ax = 2”?, 6 而相位和波长之间满足关系：、（p=（p 〔一（P 、=---茨土2勿=一三^2勿， A . u = — = l 2m / s o T 代入数据，可得：波长九=24m 。

又...7'=2s,所以波速3-10.已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点。

为工]处户点的振动式为），二Acos （欲+ Q ），波速为, 求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何？X解：（1）设平面波的波动式为），= Acos [刃（f-一）+妇，则，点的振动式为:Uy P = Acos[^y （r- —）+^0],与题设户点的振动式）》=A cos （仞+ °）比较， U 有：0（）= 竺1• +（/?,..・平面波的波动式为：y = A cos[69（r - X A,） + cp\ ； u " x 、（2）若波沿X 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y = AcosW （/ + 一）+%],则户点的振动式 u 为：y P = Acos[/（/ +当■）+%],与题设P 点的振动式 y p = Acos （cot + （p ）比较， a 有：伊0=-竺巡+ 9，.•・平面波的波动式为：y = /Icos[ty （f + — —1） +（/）] oU 以3-11.—平面简谐波在空间传播，如图所示，已知人点的振动规律为y = AcosQwf+ 0）,试写出:（1）该平面简谐波的表达式；（2） 3点的振动表达式（8点位于A 点右方d 处）。

解：（1）彷照上题的思路，根据题意，设以。

点为原为：Xy = Acos[2;zv （£ + — ）+饱],则A 点的振动式：u= Acos[2^v （r + —）+^?0]U点平面简谐波的表达式题设A 点的振动式y = A COS （2TZV ，+ 9）比较，有：％2TTV I +(p, U/ X・.・该平面简谐波的表达式为：y = Acos[27rv (f + —+二)+ e]U U(2) B 点的振动表达式可直接将坐标x = d — l,代入波动方.程：3-12.已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，，= Ls 时的波形如图所示，且周期T 为2s°3v/cm910 ---------(1) (2) (3) (4) 写出。

点的振动表达式; 写出该波的波动表达式；写出4点的振动表达式; 写出4点离。

点20x/cm（4）将A 点的坐标代入波动方程,播。

己知原点的振动曲解：由图可知：A = 0.1m , 2 = 0.4m ,而T = 2s ,贝土 u = A/T = 0.2m/s ,2 兀 2/rCD =——=7i, k =——=5勿,二波动方程为：y = 0.1 cos(m t -5TT x +(p Q ) T A 。

点的振动方程可写成：y 0 =0.1cos()，+ Go )1 71由图形可知：t = -s H'J'： y 0 = 0.05 ,有:0.05 = 0.1cos(—+ %)考虑到此时^<0, /.%=-,—(舍去)dt ° 3 3jr那么：（1）。