大学物理 振动和波汇总
大学物理——第4章-振动和波
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
振动与波知识点总结
振动与波知识点总结一、振动的基本概念振动是物体围绕某一平衡位置来回摆动或者来回重复运动的现象。
振动是物体相对平衡位置的周期性运动，也就是说，振动是由物体周期性地向着某一方向偏离平衡位置，然后再向着相反方向偏离平衡位置并且这个过程一直不断地重复。
振动的基本要素包括振动物体、平衡位置和振动的幅度、周期和频率等。
振动的产生是由于外力的作用或者物体本身的内部力的作用。
二、振动的表征和描述1. 振动的幅度：振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离称为振幅，用A表示。
振幅是一个振动过程中最大的位移值，代表了振动物体最大偏离平衡位置的距离。
2. 振动的周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间称为振动周期，用T表示。
振动周期是一个振动过程完成一次往复运动所需要的时间。
3. 振动的频率：振动物体完成一个往复运动所需要的次数称为振动频率，用f表示。
振动频率是一个振动过程在单位时间内完成的往复运动的次数。
4. 振动的角速度：振动物体单位时间内完成的角度偏移称为角速度，用ω表示。
角速度是一个振动过程单位时间内振动物体完成的角度偏移。
5. 振动的相位：描述振动在某一时刻相对于起始位置的位置状态的概念，通常用角度来表示。
相位是一种描述振动物体在振动过程中某一时刻相对于起始位置的相对状态的概念。
三、振动的共振现象当外力的频率与振动系统自身的振动频率相同时，振动系统会出现共振现象。
共振现象会使振动系统产生很大的振幅，甚至导致系统的破坏。
共振现象在实际生活中有很多应用，比如音乐中的共振现象会增加声音的响亮度，而机械振动中的共振现象则可能导致机械系统的破坏。
四、波的基本概念波是由物质的振动或者波的传播介质本身的运动所产生的，波是一种传播能量和动量的方式。
波可以分为机械波和电磁波两种类型。
1. 机械波：需要通过介质来传播的波称为机械波，比如水波、声波等。
2. 电磁波：不需要介质来传播的波称为电磁波，比如光波、无线电波等。
波的传播可以分为横波和纵波两种类型。
大学物理知识点总结：振动及波动
利用超声波的能量作用于人体组织，产生热效应、机械效应等，达到治疗目的，如超声碎石、超声刀 等。
地震监测和预测中振动分析
地震波监测
通过监测地震波在地球内部的传播情况和变化特征，研究地震的发生机制和震源性质。
振动传感器应用
在地震易发区域布置振动传感器，实时监测地面振动情况，为地震预警和应急救援提供 数据支持。
图像
简谐振动的图像是正弦或余弦曲线，表示了物体的位移随时间的变化关系。
能量守恒原理在简谐振动中应用
能量守恒
在简谐振动中，系统的机械能（动能 和势能之和）保持不变。
应用
利用能量守恒原理可以求解简谐振动 的振幅、角频率等物理量。
阻尼振动、受迫振动和共振现象
阻尼振动
当物体受到阻力作用时，其振动会逐渐减弱，直至停止。 这种振动称为阻尼振动。
惠更斯原理在波动传播中应用
01
惠更斯原理指出，波在传播过程中，每一点都可以看作是新的 波源，发出子波。
02
惠更斯原理可以解释波的反射、折射等现象，并推导出斯涅尔
定律等波动传播规律。
在实际应用中，惠更斯原理被为波动现象的研究提供了重要的理论基础。
04
干涉、衍射和偏振现象
误差分析
分析实验过程中可能出现的误差来源，如仪 器误差、操作误差等；对误差进行定量评估 ，了解误差对实验结果的影响程度；提出减 小误差的方法和措施，提高实验精度和可靠
性。
感谢您的观看
THANKS
实例
钟摆的摆动、琴弦的振动、地震波的传播等 。
振动量描述参数
振幅
描述振动大小的物理量，表示物体离开平衡 位置的最大距离。
频率
描述振动快慢的物理量，表示单位时间内振 动的次数。
大学物理第十、十一章 振动和波总结
A
x02
v02
2
，
0
arct
an(
v0
x0
)
2. 周期 频率 圆频率 2 2
T
x Acos(t 0)
3. 相位 t 0, 初相位 0
同一简谐振动的不同时刻相位差
t
相位差: 同频率不同简谐振动的相位差 20 10 0
三. 同方向同频率简谐振动的合成
两个独立分谐振动:
合振动:
x1 A1 cos(t 10)
波的强度（平均能流密度）:单位时间垂直通过单位
截面积的平均能量 I A2
波的干涉
相干条件
振动 方向相同 两个波源 振动 频率相同
振动 相位差恒定
6
平面简谐波的波函数:
y(x, t) A cos ( t
x u
)
0
求解波函数的步骤：
1. 原点振动方程：振幅A、角频率、初相0
2. x处滞后（或超前）时间：波速u=f y
x Acos(t 0)
x2 A2 cos(t 20)
A A12 A22 2A1A2 cos
振动加强、减弱的条件:
2k (2k 1)
同相加强
反相减弱 k 0, 1, 2,
四. 旋转矢量法
t=t A
t+ 0
0
o
x = A cos( t + 0 )
旋转矢量的大小等于振动的振幅
t=0
A
x
逆时针方向旋转,旋转角速度等于振动的圆频率
旋转矢量在参考轴上的投影即是振动方程
机械波小结
重要概念
振幅 A、周期 T、频率、圆频率 、波速 u、波长
u v
T
平面简谐波的波函数
大学物理复习纲要〔振动和波〕
振 动 学 基 础内容提要一、振动的基本概念1、振动 某物理量随时间变化，如果其数值总在一有限范围内变动，就说该物理量在振动；2、周期振动 如果物理量在振动时，每隔一定的时间间隔其数值就重复一次，称为周期振动；3、机械振动 物体在一定的位置附近作往复运动称为机械振动；4、简谐振动 如果物体振动的位移随时间按余(正)弦函数规律变化，即：()0cos ϕω+=t A x这样振动称为简谐振动；5、周期T 物体进行一次完全振动所需的时间称为周期，单位：秒。
一次完全振动指物体由某一位置出发连续两次经过平衡位置又回到原来的状态。
6、振动频率ν 单位时间内振动的次数，单位：次/秒，称为赫兹〔Ｈz 〕；7、振动圆频率ω 振动频率的π2倍，单位是弧度/秒〔rad /s 〕，即Tππνω22== 8、振幅A 物体离开平衡位置〔0=x 〕的最大位移的绝对值； 9、相位ϕ0ϕωϕ+=t 称为相位或相，单位：弧()rad 。
它是时间的单值增函数，每经历一个周期T ，相位增加π2，完成一次振动； 10、初相位0ϕ 开始计时时刻的相位；11、振动速度v 表示振动物体位移快慢的物理量，即：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-==2cos sin 00πϕωωϕωωt A t A dt dx v 说明速度的相位比位移的相位超前2π； 12、振动加速度a 表示振动物体速度变化快慢的物理量，即：()()πϕωωϕωω++=+-===020222cos cos t A t A dtx d dt dv a加速度的相位比速度的相位超前2π，比位移的相位超前π； 13、初始条件 在0=t 时刻的运动状态〔位移和速度〕称为初始条件，它决定振动的振幅和初位相，即：⎪⎩⎪⎨⎧-======000000sin cos ϕωϕA v v A x x t t 则可求得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=00022020x v tg v x A ωϕω二、旋转矢量法简谐振动可以用一旋转矢量在x 轴上的投影来表示。
大学物理(振动波动学知识点总结).
2
y
B
2）由图知A、B 点的振动状态为：
A
yA 0 vA 0
由旋转矢量法知：
yB A vB 0
B 0
A
2
3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：
若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相位，则需从波形
曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小和正负及速度的正负。
y
u
关键：确定振动速度的正负。
大学物理
知识点总结
（机械振动与机械波）
第九章 机械振动与机械波
机械振动 简谐振动
简谐振动的 特征
简谐振动的描 述
简谐振动的合 成
阻尼振动 受迫振动
机械波
机械波的产 生
机械波的描 述
波动过程中能量 的传播
波在介质中的 传播规律
简谐振动的特征
回复力：
f kx
动力学方程： 运动学方程：
d2 x dt2
多普勒效应： （以媒质为参考系）
1）S 静止，R 运动 2）S 运动，R 静止
一般运动：
R
u VR u
s
s
R
u u Vs
s
R
R
u VR u Vs
s
习题类别：
振动：1、简谐振动的判定。（动力学） （质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）
2、振动方程的求法。 ①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。
2）若波形图对应t = 0 时，点A处对应质元的振动初相位。 3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位。
之间的距离。
②周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。
③频率ν ：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。
大学物理振动和波动知识点总结
大学物理振动和波动 知识点总结1．简谐振动的基本特征（1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ϖϕ=+（2）简谐振动的动力学特征: F kx =-r r 或 2220d x x d tϖ+= （3）能量特征： 222111222k p E E E mv kx KA =+=+=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。
旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。
2．描述简谐振动的三个基本量（1）简谐振动的相位：t ωϕ+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ϕω=-（2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。
其中：A =（3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。
3．简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成:合振动的振幅：A =合振幅最大： 212,0,1,2....k k ϕϕπ-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ϕϕπ-=+=（2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν∆=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为21210(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+=（3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。
（4）与振动的合成相对应，有振动的分解。
4．阻尼振动与受迫振动、共振：阻尼振动： 220220d x dx x dt dt βϖ++=；受迫振动 220022cos d x dx x f t dt dtβϖϖ++= 共振: 当驱动力的频率为某一特定值时,受迫振动的振幅将达到极大值.5．波的描述（1）机械波产生条件:波源和弹性介质（2）描述机械波的物理量:波长λ、周期T （或频率ν）和波速u ，三者之间关系为：uT λ= u λν=（3）平面简谐波的数学描述：(,)cos[()]xy x t A t uωϕ=±+； 2(,)cos()x y x t A t πωϕλ=±+；(,)cos 2()t x y x t A T πϕλ=±+ 其中，x 前面的±号由波的传播方向决定，波沿x 轴的正(负)向传播，取负(正)号。
振动和波知识点总结
振动和波知识点总结振动和波是物理学中重要的基础概念，它们在自然界中随处可见，从小至分子的振动到大至地球上的地震波都是振动和波的表现。
振动和波的研究不仅在理论物理和工程技术中有着重要的应用，也对我们理解自然界的规律有着重要的意义。
在以下内容中，我将对振动和波的基本知识进行总结，包括定义、特征、分类、数学描述等方面的内容。
1. 振动振动是物体围绕平衡位置做有规律的来回运动的现象。
振动的基本特征包括振幅、周期、频率和相位。
振动可以分为机械振动、电磁振动和声学振动等不同类型。
（1）机械振动机械振动是指物体由于外力的作用，导致物体围绕平衡位置做周期性的来回运动。
典型的机械振动包括弹簧振子、简谐振动、阻尼振动等。
弹簧振子是挂在弹簧上的质点由于弹簧的弹性力而做的振动。
简谐振动是一种特殊的机械振动，它的加速度和位移成正比。
阻尼振动则是在振动过程中受到阻力的影响，振动逐渐减弱并最终停止。
（2）电磁振动电磁振动是指在电场或磁场作用下的振动现象。
最典型的电磁振动包括交流电路中的电磁振荡以及电磁波的传播。
在交流电路中，电容器和电感器的交替充放电导致了电荷和电流的振动。
电磁波是由变化的电场和磁场相互作用而产生的波动，具有能量传递和传播的作用。
（3）声学振动声学振动是指在介质中传播的机械波的形式，它包括了横波和纵波两种类型。
声波在空气、水、固体等介质中的传播都是声学振动的表现。
声学振动的特点是由固体、液体或气体的粒子围绕平衡位置做有规律的运动，从而传播声音。
声波的传播速度与介质的类型有关，例如在空气中的声速比在水中的声速要慢。
振动的数学描述可以借助于正弦函数或复数的方法来进行。
通过正弦函数可以对振动的位移、速度和加速度进行描述，而借助复数则可以对振动的相位和振幅进行描述。
2. 波波是指物质、能量或信息传递的方式，它在空间中按照一定规律传播的现象。
波的特征包括波长、频率、波速和振幅等。
（1）机械波机械波是需要介质来传播的波动，包括了横波和纵波两种类型。
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Asin
物体在O点向左运动
当 3 时 x 0, x A 物体在O点向右运动
2
初相： t 0 时的相位
20
谐振动系统特征量的求法： 谐振动系统的角频率取决于系统的弹性元 件和质量元件，因此分析系统的装置情况一 般就可以得到角频率。 振幅和初相位则取决于振动的初始状态 （初始位置和初始速度），因此求振幅和相 位就归结为求初始位置和初始速度。
B
性变化. K
如图,电荷在LC电路中往复运动. 电磁振荡
微观振动： 如晶格上原子的振动。
4
振动的分类2：
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
受迫振动
——(简谐振动)
5
一. 简谐振动（S.H.V.）:
1. 定义：
位置坐标按余弦(或正弦)规律随时间变化。
x(t)=Acos( t+) 或 x(t)=Asin( t+’)
(加速度与“位移”正比、反向)
11
1. 线谐振动
质点作直线谐振动. 对特征方程
d2x dt 2
2 x
两边同乘以振子质量m, 有
Fx m 2 x k * x
即: 作直线谐振动的质点必受线性回复力.
且 k * k* — 有效劲度系数
m
12
2. 角谐振动 (定轴转动/小角摆动)
特征方程:
d 2q
d 1 m 2 1 m 2 x 2 0
2
2
x Asin( t ) k m 2
1 m 2 1 m 2 x2 1 k * A2 E 常量
21
常数 A 和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件（两个）决定.
曲线描述
x Acos t
vx
简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这 有两个根据。
1.数学上： 傅里叶分析 2.物理上： 动力学系统的线性
10
二. 简谐振动动力学方程
弹簧振子(谐振子)在弹性恢复力的 作用下作自由振动——简谐振动
由 Fx kx mx kx
则 x 2 x 0 2 k / m
Ox
——简谐振动的动力学方程(特征方程)
主要内容
§ 1-1 简谐振动 § 1-2 简谐振动的合成 § 1-3 简谐波 § 1-4 波的叠加和干涉
2
1-1 简谐振动
振动： 任何一个物理量随时间的周而复始的变化。
3
振动的分类1：
机械振动： 物体在其平衡位置附近,位移x随时间t 的 周期性变化.
ql
mg
A
LC
电磁振动： 电场、磁场等电磁量随t周期
• a, , x 依次超前 /2； a, x 反相（谐振动特点）
8
曲线描述
x xt图
x Acos t
vx
A
cos
t
π 2
A
o
t
T
A
v vt 图
ax A 2cost π
A
o
Tt
xa
A
A
a a t图
o
A
t A 2
o
Tt
2A T
A 2
3. 简谐振动特性 •等幅、周期性 •最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动 的叠加。
——简谐振动的 运动学方程
也可用复数表示：x(t) Aei t Aeit
计算结果一般取实部
x，q
x,q
t
t
6
7
2. 简谐振动的速度、加速度
由x Acos(t ) , 得
x
dx dt
A s in(t
)
Acos (t
2
)
ax
d x
dt
2 Acos(
t
)
2 Acos(
t
)
• a, , x 都是谐振动， 振幅不同，角频率不变
T 2 2 m —— 也称为固有周期
k
频率： 1 ——单位时间内振动的次数(Hz)
T
1 1 k T 2 m
—— 也称为固有频率
19
3. 位相和初相
相位(位相): (t) t
描述 t 时刻的振动状态(周期变化的物理量变化到哪
个阶段)
如 当
x Acos 时 x
2
;
v
0,
x
dx
dt
1.力 f 与位移 x 的一次方成正比，这个就是“线性” 的含义； 2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即 力总是指向平衡位置，这个就是“回复”的含义；
3.当x=0 时，力 f=0，运动存在一个平衡位置，在 这个位置上物体沿振动方向不受力。
14
简谐振动的判据
1）受力情况 受到线性回复力 F k*x
2）简谐振动动力学方程
d2x dt 2
2x
0
3）简谐振动运动学方程
x Acos t
例：如图, 宽阔水面上的柱形浮 体S试, 平,证质衡明量时它m吃作, 水水简平深谐截度振面h动.面. 积为-(h-Oxx)
X
解：宽阔水面液面不变。取 -h
m
m m'
坐标系如图，
平衡
偏离平衡位置为x 时, 浮体所受合力为
Fx mg 水 S(h x)g 水 Sgx
k* 水 Sg 与x无关. …
d2x m dt 2 k * x
d2x dt 2
2 x
k*/m
得证！
16
三. 简谐振动的参量
相位
x Acos(t )
初相
振幅
圆频率(角 频率)
或 x A cos 2 t
T
周期
x Acos(2t )
dt 2
2q
或 q 2q 0
同乘以I： M I 2q k*q
即：角谐振动 线性回复力矩, 且
k* I
摆： M mglsinq
当q 很小, sinq q 时 单摆
M mglq
ql
k* mgl; I ml 2
T
m
k * / I g / l
mg
13
如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简 谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回 复力f= - kx的特点如下：
频率 17
1.振幅：A 质点离开平衡位置的最大距离 xmax
2. 圆频率(角频率) 、周期、频率
描述振动系统的固有属性
圆频率：
k m
—— 也称为固有圆频率
2 2
T
(注意和的区别)(rad/s)
18
周期： T 完成一次振动的时间(s)
∴ x Acost Acos(t T )
A
cos
t
π 2
ax A 2cost π
x xt图
A
o
t
T
A
v vt 图
A
o
Tt
xa
A
A
a a t图
o
A
t A 2
o
Tt
2A T
A 2
四. 谐振系统的能量
1. 谐振系统的动能和势能
由
d2x dt 2
2 x
及
d2x dt 2
d
dt
d
dx
有 d 2 xdx , 同乘以m
x Acos( t )