2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(3) Word版含解析
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——考前回扣4 含答案
回扣4 数 列1．牢记概念与公式 等差数列、等比数列等差数列 等比数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q ≠0)前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ； (2)q ＝1，S n ＝na 12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质等差数列等比数列性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m qn －m；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S m ≠0)(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．③中项公式法2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． ④前n 项和公式法S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法 ①定义法a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.4．(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b -，②由①②知a n ＝1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21×22×23 (2)＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。
2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：124满分练1 含解析 精品
12＋4满分练12＋4满分练(1)1.已知P ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}y |y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于( ) A.[0，1) B.[0，2) C.(1，2) D.[1，2) 答案 C解析 解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4).Q 表示函数y ＝4－2x 的值域，因为2x ＞0，所以t ＝4－2x ＜4，所以y ∈[0，2)，即Q ＝[0，2).故P ∩Q ＝(1，2).故选C.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 2＋i 与3i －5i 2－i 互为共轭复数，则a 等于( )A.13B.－13 C.－3 D.3 答案 D 解析a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i ，3i －5i2－i ＝3i －5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝3i －－5＋10i 5＝1＋i ，∵a －i 2＋i 与3i －5i2－i互为共轭复数， ∴2a －15＝1，－a ＋25＝－1，解得a ＝3.故选D. 3.命题：∀x ∈R ，ln(e x －1)＜0的否定是( ) A.∀x ∈R ，ln(e x －1)>0 B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0 C.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)＜0 D.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)≥0 答案 D4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，||φ＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z 答案 A解析 由题图可得，f (x )的振幅A ＝2， 周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则ω＝2， 所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又2×π12＋φ＝π2＋2k π，|φ|＜π2，解得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 平移后得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . 故选A.5.已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π3的直线，则F 到直线l 的距离为( ) A.1 B.3 C.2 D.2 3答案 B解析 由题意，得A (－1，0)，F (1，0)，则过点A 且倾斜角为π3的直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，∴点F 到直线l 的距离d ＝233＋1＝ 3.故选B.6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为( ) A.43 B.83 C.163 D.323 答案 C解析 如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ， 交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C.7.(2017·武邑检测)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0()a >0截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋()y －12＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案 B解析 化简圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2⇒M (0，a )，r 1＝a ⇒M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫a 22＋2＝a 2⇒a ＝2⇒M (0，2)，r 1＝2，又N (1，1)，r 2＝1⇒|MN |＝2⇒|r 1－r 2|＜|MN |＜|r 1＋r 2|⇒两圆相交.8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm答案 A解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为10＋10－1022＝10－52≈2.93，最接近3 cm ，故选A.9.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( ) A.h ＋k 2 B.nh ＋mk m ＋n C.mh ＋nk m ＋n D.h ＋k m ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ， {y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B.10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A.725 B.925 C.750 D.950 答案 A解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725，故选A. 11.(2017·曲靖月考)已知函数f (x )＝x 2－kx －2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A.[10，＋∞) B.(－∞，2]C.(－∞，2]∪[10，＋∞)D.(－∞，1]∪[5，＋∞) 答案 C解析 由已知可得k 2≤1或k2≥5⇒k ∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C.12.若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln(x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12eC.(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝⎛⎭⎫1＋m x －2e ln ⎝⎛⎭⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝⎛⎭⎫t ＝m x ＋1＞0， 令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et ，(f ′(t ))′＝1t ＋2et2＞0，∴f ′(t )为增函数.当x ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜x ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0， ∴f (t )≥f (e)＝－e ，∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e，故选C.13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝_______. 答案210解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos 2αsin 2α＝－34， ∵π4＜α＜π2， ∴π2＜2α＜π， 故cos 2α＝－35，sin 2α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2α×22＋cos 2α×22＝210. 14.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________. 答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°， OA ＝2OD ＝23×32＝33，由于AD 平分∠BAC ，∠BOC ， 所以OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB → ＝|OB →|2cos120°＝|OA →|2cos120°＝⎝⎛⎭⎫332×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. 15.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1，则a ＝________. 答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1， 所以a ＝2. 16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A ，B ，C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A ，B ，C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________. 答案 甲解析 由题意知，B ，C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B ，C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军.。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练4 Word版含解析
4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望. 解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E (S )； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为 E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14；P (ξ＝18)＝12×13×2＝13；P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518；P (ξ＝30)＝13×16×2＝19；P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.(2017·云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110，从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 22C 26＝115，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 24C 26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有5人，不超过100 km/h 的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310.∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，310， ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7103＝3431 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7102＝4411 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7101＝1891 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫3103⎝⎛⎭⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E (ξ)＝np ＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4， 由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (x ＜μ－3σ)＋P (x ＞μ＋2σ)＝P (x ＜78.4)＋P (x ＞89.4) ＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120， 所以P ()ξ＝0＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P ()ξ＝2＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.。
教育最新2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(2) Word版含解析
12＋4满分练(2)1.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A }，则A ∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 答案 C解析 A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2.(2017·四川联盟三诊)已知复数z 满足(2＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3＋4i B.3－4i C.35＋45i D.35－45i答案 D解析 由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故选D.3.(2017·原创押题预测卷)给出计算12＋14＋16＋…＋12 018的值的一个程序框图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A.i ＞1 009?B.i ＜1 009?C.i ＞2 018?D.i ＜2 018? 答案 A解析 由程序框图，得i ＝1，n ＝2，S ＝12；i ＝2，n ＝4，S ＝12＋14；i ＝3，n ＝6，S ＝12＋14＋16；…；i ＝1 009，n ＝2 018，S ＝12＋14＋16＋…＋12 018.故选A.4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2，解得φ＝－2π3，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数图象向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确. 5.(2017·辽宁六校协作体联考)面积为332的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O到正六边形所在平面的距离为22，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS 的值为( )A.2B.1C. 3D. 2 答案 B解析 设正六边形的边长为a ， 则其面积S ＝6×34a 2＝332a 2， 由题意得332a 2＝332，所以a ＝1.由于正六边形的中心到顶点的距离为1， 所以球的半径为R ＝(22)2＋1＝3， 所以V ＝4π3×27＝36π，S ＝4π×9＝36π，所以VS＝1.故选B.6.设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175 D.195答案 D解析 设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知P A →＋PB →＝2PD →， 所以当且仅当O ，D ，P 三点共线时， |P A →＋PB →|取得最小值，此时OP 垂直于直线3x ＋4y －12＝0，OP ⊥AB ， 因为圆心到直线的距离为129＋16＝125， |OD |＝1－34＝12， 所以|P A →＋PB →|取得最小值2⎝⎛⎭⎫125－12＝195.7.(2017·郑州检测)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π答案 B解析 观察三视图可知，这个几何体是挖去14个底面圆半径为3，高为6的圆锥的边长为6的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去14个圆锥的体积，即几何体的体积等于63－14×13×9π×6＝216－9π2，故选B. 8.(2017·天津六校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 因为c 2＝(a －b )2＋6， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由C ＝π3，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因此a 2＋b 2－ab ＝a 2＋b 2－2ab ＋6，即ab ＝6， 所以△ABC 的面积为12ab sin π3＝332，故选C.9.(2017·抚顺一模)在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600 答案 B解析 若4人中，有甲电视台记者1人，乙电视台记者3人，则不同的提问方式总数是C 15C 35A 44＝1 200；若4人中，有甲电视台记者2人，乙电视台记者2人，则不同的提问方式总数是C 25C 25A 22A 23＝1 200；若4人中，有甲电视台记者3人，乙电视台记者1人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为1 200＋1 200＝2 400. 10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，2B.⎣⎡⎦⎤－12，12C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤32，52 答案 C解析 在平面直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12，故选C.11.已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于( ) A.－7 B.－5 C.5 D.7 答案 B解析 由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝12，不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，则不等式f (x )－ln x x 2＞12的解集为( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 因为x ＞0，所以待求不等式可化为f (x )＞ln x ＋x 22，构造函数g (x )＝f (x )－ln x －x 22，则g ′(x )＝f ′(x )－1x －x ，因为不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，所以在(0，1]上，g ′(x )≤0，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝f (1)－ln 1－12＝0，所以g (x )＞0的解集为(0，1)∪(1，＋∞). 13.(2017·四川凉山州一诊)设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin 2x ＝________. 答案 ±1解析 因为b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ， 所以cos x cos x －(－sin x )(－sin x )＝0， 即cos 2x －sin 2x ＝0， 所以tan 2x ＝1，tan x ＝±1， x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故sin 2x ＝±1.14.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1，得y 20＝⎝⎛⎭⎫b 2a 2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a， 又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴e ＝c a ＝324.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋2c －b )cos C ＝(a ＋c )cos B ＋b cos A ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________. 答案 6解析 由正弦定理可得2sin A cos C ＋2sin C cos C －sin B cos C ＝sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos A ，即2sin A cos C ＋2sin C cos C ＝sin(B ＋C )＋sin(A ＋B )，也即2(sin A ＋sin C )cos C ＝sin A ＋sin C ， 因为在△ABC 中，sin A ＋sin C ＞0， 所以2cos C ＝1， 由此可得cos C ＝12，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ， 又ab ≤14(a ＋b )2，所以14(a ＋b )2≤9⇒a ＋b ≤6，故所求a ＋b 的最大值是6.16.(2017·北京东城区二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).①若f (x )＝a 有且只有一个根，则实数a 的取值范围是________.②若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是______. 答案 ①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2，4)解析 ①作出函数f (x )的图象，f (x )＝a 有且只有一个根等价于y ＝f (x )的图象与y ＝a 有一个交点，故可得a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)；②方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根等价于y ＝f (x ＋T )的图象与y ＝f (x )的图象有3个交点，而y ＝f (x ＋T )的图象是将y ＝f (x )的图象向左或向右平移|T |个单位，故可得T 的取值范围是(－4，－2)∪(2，4).。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(4)
12＋4满分练(4)1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，集合B ＝{x |0＜x ＜4}，则(∁R A )∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4) 答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， 故∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜x ＜4}， 所以(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤3}，故选A.2.(2017·安阳模拟)设i 为虚数单位，若复数a ＋2i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2 答案 C解析 由题意，得a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎨⎧a ＋22＝0，2－a 2≠0⇒a ＝－2，故选C.3.(2017·绵阳中学实验学校模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ·(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A.在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 B.周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C.最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称D.在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，为偶函数 答案 A解析 函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x 的图象， 则g (x )为奇函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.(2017·宝鸡检测)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度答案 A解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3， 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，故选A. 5.过点M (2，－2p )引抛物线x 2＝2py (p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB |＝410，则p 的值是( ) A.1或2 B.2或2 C.1 D.2答案 A解析 设切点为⎝⎛⎭⎫t ，12p t 2，因为y ′＝1p x ， 则切线斜率k ＝12p t 2＋2p t －2＝1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2＝0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－4p 2， 则(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16(1＋p 2). 设切点A ⎝⎛⎭⎫t 1，t 212p ，B ⎝⎛⎭⎫t 2，t 222p ， 则|AB |＝(t 1－t 2)2＋⎝⎛⎭⎫t 21－t 222p 2＝(t 1－t 2)2⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12p 2(t 1＋t 2)2， 即|AB |＝4(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2， 所以(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2＝10， 即p 4－5p 2＋4＝0， 解得p 2＝1或p 2＝4， 即p ＝1或p ＝2，故选A.6.(2017·云南大理检测)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC ＝4，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π 答案 C解析 设棱锥的高为h ， 因为S △BCD ＝12×BC ×BD ＝23，所以V A －BCD ＝13S △BCD ×h ＝433，所以h ＝2，因此点O 到平面BCD 的距离为1， 因为△BCD 外接圆的直径为19， 所以OB ＝1＋194＝232，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝23π，故选C.7.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π8答案 B解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2，2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l ＝22＋(2)2＋(2)2＝22，故球的半径为R ＝2，所以该外接球的表面积S ＝4π(2)2＝8π，故选B.8.已知点P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q 是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1上的一个动点，则|PQ |的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.10答案 A解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝⎛⎭⎫2，32，最远距离为d ＝(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝352，所以|PQ |的最大值为352＋1＝35＋22，故选A.9.(2017·湖南师大附中月考)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6? 答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2； 第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.10.(2017·云南大理检测)已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －1，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b答案 D解析 由题意知f (x )，g (x )，h (x )均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点， 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1>0，所以－1＜a ＜0， 由g (x )＝0可得x ＝1，所以b ＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－1＋13＝－23＜0，h (1)＝1>0， 所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.(2017·安阳模拟)已知当x ＝θ时，函数f (x )＝2sin x －cos x 取得最大值，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210 答案 D解析 因为f (x )＝5sin(x －φ)， 所以f (x )max ＝5， 其中cos φ＝25，sin φ＝15， 当x －φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2×25×15＝－45，cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos 2φ－1)＝－35，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝－75×22＝－7210，故选D. 12.(2017·贵州贵阳市适应性考试)已知M 是函数f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 因为f (x )＝e－2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12＝e －2|x －1|－2cos πx ， 所以f (x )＝f (2－x )，因为f (1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x ＝1对称. 当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)∈(0，1]，且单调递减；y ＝2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期， 因此当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)与y ＝2cos πx 有4个不同的交点，从而所有零点之和为4×2＝8，故选C. 13.(2017·宁夏银川二模)我们把满足：x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f (x )＝x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －1x n ＋1，已知a 1＝2，则a 3＝________.答案 8解析 由f (x )＝x 2－1，得f ′(x )＝2x ，则x n ＋1＝x n －x 2n －12x n ＝x 2n ＋12x n ，所以x n ＋1－1＝(x n －1)22x n，x n ＋1＋1＝(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1＝(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1＝ln (x n －1)2(x n ＋1)2＝2ln x n －1x n ＋1， 即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 5解析 方法一 以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.15.点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________. 答案 ±43解析 如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA |＝|a |，所以|BF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝2b ，|PF 1|＝4b ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即4b －2c ＝2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以c a ＝53，因此ba＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝43.16.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1的最小值为______. 答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1，∴a n ＝4a n －1.又a 1＝S 1＝43()a 1－1，∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n ， ∴()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫4n16＋1⎝⎛⎭⎫164n ＋1＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”.。
教育最新2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(12) Word版含解析
12＋4满分练(12)1.已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A.∅B.{x |1＜x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |1＜x ≤2}答案 C解析 由已知可得A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}. 2.(2017·江门一模)i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.3.(2017·四川联盟三诊)已知α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513，则sin α等于( ) A.5213 B.1213 C.7226 D.17226 答案 C解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213， 则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝1213×22－513×22＝7226. 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )A. 5B.2 2C.3D.3 2 答案 C解析 三视图的直观图为三棱锥E －BCD ，如图：CD ＝1，BC ＝5，BE ＝5，CE ＝22，DE ＝3，所以最长边为DE ＝3.5.已知ω为正整数，若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π 答案 D解析 函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N *，解得ω＝1，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π，故选D.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A.3B.4C.5D.6 答案 B解析 第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1； 第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2； 第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4， 但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4，故选B.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(2，8) C.⎝⎛⎦⎤2，174 D.(0，8)答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1，这意味着Δ＝b 2－4>0⎝⎛⎭⎫或g ⎝⎛⎭⎫b 2<0， 0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174. 综上可得b ∈⎝⎛⎦⎤2，174. 8.已知函数f (x )＝2x ＋sin x ，则不等式f ()m 2＋f ()2m －3＜0(其中m ∈R )的解集是( )A.()－3，1B.()－1，3C.()－∞，－3∪()1，＋∞D.()－∞，－1∪()3，＋∞答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋sin x ，f (－x )＝－2x ＋sin(－x )＝－()2x ＋sin x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数， ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴函数f (x )为增函数， 由f ()m 2＋f ()2m －3＜0，得 f ()m 2＜－f ()2m －3＝f ()3－2m ， 即m 2＜3－2m ，得－3＜m ＜1，即不等式f (m 2)＋f (2m －3)＜0的解集是(－3，1)， 故选A.9.(2017·湛江二模)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( )A.22π3B.2π3C.23π3D.3π3答案 B解析 设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ， 由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ， 在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F (1，0)，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A ，B 两点，若x 轴上的点P (t ，0)使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( )A.－2B.2C.－ 2D. 2 答案 B解析 在椭圆中，由c ＝1，e ＝c a ＝22，得a ＝2，故b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线的斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，可设直线方程为y ＝k (x －1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线P A 和PB 的斜率之和为0， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，得 2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－(t ＋1)4k 21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.11.(2017·自贡一诊)已知a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.512 B.13 C.14 D.16 答案 A解析 ∵a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件总数n ＝3×4＝12，函数f (x )＝ax 2－2bx 在(1，＋∞)上为增函数，则①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，情况为b ＝－1，1，3，5，符合要求的只有一种b ＝－1； ②当a ≠0时，则讨论二次函数的对称轴x ＝－－2b 2a ＝b a ，要满足题意，则b a ≤1，则(a ，b )有：(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)共4种情况.综上所述得：使得函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为P ＝512.12.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在DG →上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A.[1，2]B.[2，22]C.[2，22]D.[1，22] 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，C (2，2)，D (0，1)，F ⎝⎛⎭⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－1，32， ∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ⎝⎛⎭⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ， 解得⎩⎨⎧λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤22， 即6λ＋μ的取值范围是[2，22]，故选C. 13.已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0，则x ＋2y 的最大值为________.答案 7解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0对应的平面区域如图所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知当直线y ＝－12x ＋z2经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时z 的最大值为z ＝1＋2×3＝7.14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22，且a ＋c ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是________. 答案 [3，4) 解析 ∵0＜B ＜π，∴0＜3B 2＜3π2，π4＜3B 2＋π4＜7π4，又sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22， ∴3B 2＋π4＝3π4，B ＝π3， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ，由a ＋c ＝2≥2ac ，得0＜ac ≤1，∴1≤4－3ac ＜4， 即1≤b 2＜4，∴1≤b ＜2，3≤a ＋b ＋c ＜4，则△ABC 的周长的取值范围是[3，4).15.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示) 答案 35解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.16.已知函数f(x)＝(x－1)e x＋12ax2＋1(其中a∈R)有两个零点，则a的取值范围是__________.答案(－∞，－1)∪(－1，0)解析由题意，f′(x)＝x(e x＋a)，其中f(0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当a≥0时，由f′(x)＜0，得x＜0，由f′(x)＞0，得x＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a＜0时，由f′(x)＝0可得，x1＝0，x2＝ln(－a)，①当ln(－a)＜0，即－1＜a＜0时，当x∈(－∞，ln(－a))∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－ln(－a)，0)时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极大值，当x＝0时，函数取得极小值，而f(ln(－a))＞f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.②当ln(－a)＝0，即a＝－1时，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件.③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).。
全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练3理.doc
解答题滚动练31.(2017 •日照模拟)已知函数f{x) =-^3sin 2x—2cosJ—1, xGR.(1)求函数fg的最小正周期和最小值；(2)在中，A, B, C的对边分别为日，b, c,已知c=羽，代0=0, sin ^=2sin A, 求臼，方的值.解2x—2cos。
一l=^sin 2x~ (cos 2/+1)—1=£sin 2^—cos 2^—2 = 2sin^2jr——2,2 JI所以f©的最小正周期= “ ,最小值为一4.(2)因为f(0 =2sin(2C—*)—2=0,所以sin(2C—土■) = 1.JI ( Ji llnA JI JI JI又fe (0, JI ),2C—~ el ——, —^―I,所以2C―=—,得C^~.因为sin B=2sin A,由正弦定理，得b=2a,由余弦定理，得c = a + If ~2abcos C=a2 + 4a2—2a2 = 3a\又c=£,所以a= 1, b=2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过/系统处理，处理后的污水C4级水)达到环保标准(简称达标)的概率为q(OVqVI).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验, 也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标•若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若藕,求2个力级水样本混合化验结果不达标的概率；9(2)若p=^,现有4个/级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优” ？⑶若“方案三”比“方案四”更“优”，求P的取值范围.解⑴该混合样本达标的概率是上钊吕，4 1所以根据对立事件原理，不达标的概率为1—丁=亍(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.4方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1,概率为丁；若不达标则检测次数为3,概率为右故方案二的检测次数记为"，"的可能取值为2, 4, 6.其分布列如下，可求得方案二的期望为罷)=2x||+4X备+6X^=字, 方案四：混在一起检测，记检测次数为斯，「可取1, 5.其分布列如下,16 Q 61可求得方案四的期望为以")“><豈+5><彩=卷.比较可得別氣)V以罷)V4,故选择方案四最“优”.(3)方案三：设化验次数为心，心可取2, 5.g( "：J =2 • p+ 5(1—/) =5 —3p3；方案四：设化验次数为小，小可取1, 5.mLMD ,#415 P 4 P1-PE("J =1 • /74+5(1—/j4) =5—4/J4；3 由题意得Ej“3)<E( ^74)<=>5 —3p<5 —4/740/7<-3故当0<°<才时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABC-A^G中，侧面ABB.Ar为菱形且ZBAA1=&0° , D,〃分别为％和/出的中点，A.DLCG, AA,=A.D=2, BC=\.(1)证明：直线胁〃平面/BC；⑵求二面角B-AC-A,的余弦值.方法一⑴证明连接4G'JAxDLCa,且〃为中点，.•.4片力£=&=/C,又BC=\, AB=BAx=2, :.CBLBA, CB丄BA\,又BACBAi=B, :.CBL平面ABBrA,取例的中点月则BFVAA.,即必BF,駆两两互相垂直，以B为原点，BB\, BF,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图,0, 0),C(0, 0, 1),/(一1,萌，0), A(l, y[3, 0),G(2, 0, 1) , Z?(l, 0, 1), 励=牛，—> A 设平面宓的法向量为皿=(x，y, z),C D Ci取m= (^3, 1,0),又肋平面肋C,...直线加〃平面 MC⑵解 设平面力以1的法向量为Z7= G1，乃，Z1) , AC= (1, —y[3, 1) , AA1=(2, 0, 0), n • AC=xi—\[3yi + zi=0f/ L \ 贝幷 _取心(0, 1, y[3),、n •曲i=2&=0・ 又由⑴知平面的法向量为m= (^3, L 0),设二面角B —AC —Ai 为〃，〃为锐角，方法二 M 连接那 CN,则有MN 能严綠CD, .•.四边形妣》为平行四边形，:.MDHNC,又胁平面/BG Mt 平面直线加〃平面肋C⑵解 由各棱长易得BCLBA, BCLBA,,:.BCL 平面 ABBA,如图所示，取处的中点”，连接川皿 过川作NHL AC 于〃，连接朋i.'：BCLA,N, ABLA.N, AB^BC=B,:.ANL 平面 ABC,:.A,NLAC,又 '：NHL AC, NH0A 、N=N,:.AC± 平面 A\NH,:.AHL AC,故上NHA\为所求的二面角的平面角，、后 2\/5 4、伝NH在Rt △力1曲中，諒\ANHs\ACB,得必匚*-,屈〜青，则故cosZ 曲41=荷= 51 1筛=二,故所求的二面角的余弦值为孑5 m • n 1 m n _2 2- /.cos 8 1 -4y=x+y[7,联立Y y .4?+3?=Z Z ] 4. 己知椭圆J+^=l （a>A>0）的离心率为9,过点E （~y[7, 0）的椭圆的两条切线相互垂直.（1） 求此椭圆的方程；（2） 若存在过点（乙0）的直线/交椭圆于B 两点，使得FALFB^F 为右焦点），求t 的取值 范围.解（D 由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为必x 轴下方的切点为用则 y 尬的直线方程为K =A -+V7,得 7/+8^7 A + 28 -12 c 2 = 0,由 A=0,得 c=l,2 2所以椭圆的方程为才+彳⑵设直线/的方程为x=my+ t, A （xi,戸），B （x 2,乃），x=my-\-1,联立,"得k +T =b (3 异+4) y +6 刃切+3 #—12 = 0,由 力〉0,得 ini — #+4 > 0,I —&mt 3 孑一1271十乃乃=丽百' FA= (^― 1, ji), FB=(A2—L 乃)，FA • FB=(简一1)(卫一1) + yiy2=X1X2— (xi+x2)+1+乃乃=(ffl +1) y\yi~\~ {mt —ni) (y )+ 比)+ t 2 — 21+1 = 0, 所以7t 2-8t-8 = W 有解，所以 7产一8r —8耳0,且 7t 2-8t-8-3t 2+12>0,则律吐輕或W 呻1。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练2
2.数 列1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *.(1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ；(2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18，所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15，所以a 2＝9，q ＝＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，a 2a 1所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ，①3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋＋3n ＋1＝－3n －＋＋3n ＋1＝，32(1－3n －1)1－3923n ＋123n ＋2－6n －92所以S n ＝.3n ＋2－6n －942.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ；(3)设c n ＝，求数列{c n }的前n 项和S n .1anan ＋1解 (1)Error!解得Error!所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3，从而b 1＝1，所以T n ＝＝＝(3n －1).b 1(1－qn )1－q1×(1－3n )1－312(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝＝＝，1anan ＋11(2n －1)(2n ＋1)12(12n －1－12n ＋1)所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝＝＝.12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]12(1－12n ＋1)n 2n ＋13.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝，n ∈N *.n (n －1)2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝，n ∈N *，得T n ＝，n (n －1)2(1)22n n -所以T n －1＝(n ∈N *，n ≥2)，(1)(2)22n n --所以a n ＝＝＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.TnTn －1(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·－n ＝λ－n ，1－2n1－2(2n －1)所以S n ＋1>S n ⇔λ－>λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>，(2n ＋1－1)(n ＋1)(2n －1)12n 因为对任意的n ∈N *，≤，12n 12故所求的λ的取值范围是.(12，＋∞)4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列的通项公式；{an }(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝＝n 2－n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，n (9n －7)29272所以a n ＝9n －8，n ∈N *.(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8.因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝－＝.9(1－81m )1－811－9m 1－99×92m ＋1－10×9m805.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ≥1，n ∈N *).n ·3n3n －1(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立.(1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝，a 2＝，a 3＝.32948126(2)证明 由a n ＝＝(n ≥1，n ∈N *)可得n ·3n3n －1n1－13n a 1·a 2·…·a n ＝，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )明对任意非零自然数n ，不等式…＞恒成立即可，显然左端每个因式(1－13)(1－132)(1－13n )12都为正数，因为1－＝1－＝1－＞1－＝.(13＋132＋…＋13n )13(1－13n )1－1312(1－13n )1212故只需证明对每个非零自然数，不等式…≥1－恒成立(1－13)(1－132)(1－13n )(13＋132＋…＋13n )即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立：①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式…≥1－成立.(1－13)(1－132)(1－13k )(13＋132＋…＋13k )那么当n ＝k ＋1时，…≥，(1－13)(1－132)(1－13k )(1－13k ＋1)[1－(13＋132＋…＋13k )][1－13k ＋1]即…≥1－－＋，注意到(1－13)(1－132)(1－13k ＋1)(13＋132＋…＋13k )13k ＋113k ＋1(13＋132＋…＋13k )＞0，13k ＋1(13＋132＋…＋13k )所以…≥1－，这说明当n ＝k ＋1时，不等(1－13)(1－132)(1－13k ＋1)(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即…≥1－＞恒成立，(1－13)(1－132)(1－13n )(13＋132＋…＋13n )12故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，>M ；或者存在正整数m ，使cnn 得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列.(1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2.当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0，所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n .所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，所以{c n }是等差数列.(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1).所以c n ＝Error!①当d 1＞0时，取正整数m ＞，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，d 2d 1因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列.②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1).此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列.③当d 1＜0时，当n ＞时，有nd 1＜d 2，d 2d 1所以＝＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋cn n b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)nb 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m ＞max，{M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1}故当n ≥m 时，＞M .cnn。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12＋4满分练(3)1.已知集合M ＝{x |x 2－x －2＜0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝－12x 2＋1，x ∈R ，则M ∩N 等于( ) A.{x |－2≤x ＜1}B.{x |1＜x ＜2}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |1≤x ＜2}答案 C 解析 M ＝{x |－1＜x ＜2}，N ＝{y |y ≤1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ≤1}，故选C.2.(2017·重庆模拟)已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b 是实数)，其中i 是虚数单位，则ab 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.3答案 A解析 由题设可得a ＋2i ＝b i －1，则a ＝－1，b ＝2，故ab ＝－2，故选A.3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.320答案 A解析 先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，其余3人自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学生C 第一个出场的概率为1854＝13. 4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A ＞0，0＜φ＜π2的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有m 2－3m ≤f (x )，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤1，32B.[1，2]C.⎣⎡⎦⎤32，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－132，3＋132 答案 B解析 由已知得，sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1⇒φ＝π3， f (0)＝1⇒A sin π3－12＝1⇒A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫4π3＝－2，则m 2－3m ≤－2⇒m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2，故选B.5.(2017届云南省云南师范大学附属中学月考)四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π答案 B解析 如图，D ，E 分别为BC ，P A 的中点，易知球心O 点在线段DE 上，∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ，则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD .又∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，∴PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AD ，∴PD ＝AD ＝4 2.∵点E 是P A 的中点，∴ED ⊥P A ，且ED ＝EA ＝PE ＝4.设球O 的半径为R ，OE ＝x ，则OD ＝4－x ，在Rt △OEA 中，有R 2＝16＋x 2，在Rt △OBD 中，有R 2＝4＋(4－x )2，解得R 2＝654， ∴S ＝4πR 2＝65π.故选B.6.(2017·唐山模拟)一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n ＝12，则输出的结果b 等于( )A.4B.72C.9728D.6414答案 C解析 n ＝12，a ＝6，i ＝1，b ＝4.满足i ＜3，第一次循环：i ＝2，a ＝4，b ＝72； 满足i ＜3，第二次循环：i ＝3，a ＝72，b ＝9728； 不满足i ＜3，退出循环.故选C.7.(2017·绵阳中学模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋16n的最小值为( ) A.256 B.32 C.83 D.215答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)(a 1q n －1)＝16a 21， 则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋16n ＝16×(m ＋n )×⎝⎛⎭⎫1m ＋16n ＝16⎝⎛⎭⎫17＋n m ＋16m n ≥16⎝⎛⎭⎫17＋2n m ×16m n ＝256， 因为mn 取整数，验证可得，当m ＝1，n ＝5时，取最小值为215. 8.(2017·贵阳模拟)过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为( )A.522B.32C.722D.4 2答案 D解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0，此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)， 又(2，0)与抛物线的焦点重合，即p 2＝2，解得p ＝22， 即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，则x 1＋x 2＝62，则x 1＋x 22＝32， 所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝42，故选D. 9.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3C.83D.7－π3 答案 B解析 由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合体，其体积V ＝13×2×2×2－13×12π×1×2＝8－π3. 10.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x 乙＝83＋83＋87＋99＋x 5，因为x 甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得到x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件有从90到99共10个，而满足条件的有从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C. 11.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的图象向左平移5π12个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－1，12 C.⎣⎡⎦⎤－32，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，32 答案 B解析 因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 因为－π12≤x ≤π3， 故－π6≤2x ≤2π3， 则－12≤sin 2x ≤1， 所以－1≤g (x )≤12，故选B. 12.(2017届湖南衡阳期末)函数f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则( )A.14＜f (1)f (2)＜12B.116＜f (1)f (2)＜18C.13＜f (1)f (2)＜12D.18＜f (1)f (2)＜14答案 D解析 令g (x )＝f (x )x2，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3， ∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，f (x )＞0，∴g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3＞0，∴函数g (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，∴f (1)1＜f (2)4，∴f (1)f (2)＜14. 令h (x )＝f (x )x 3，x ∈(0，＋∞)， 则h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4， ∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，∴h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4＜0， ∴函数h (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减，∴f (1)1＞f (2)8，∴f (1)f (2)＞18. 综上可得18＜f (1)f (2)＜14，故选D. 13.在周长为10的△ABC 中，AB ＝2，则CA →·CB →的最小值是________.答案 14解析 设CA ＝m ，CB ＝n ，则m ＋n ＝8，所以由余弦定理可得CA →·CB →＝mn cos C＝m 2＋n 2－42＝()m ＋n 2－2mn －42＝82－4－2mn 2＝30－mn ， 又因为mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝16，当且仅当m ＝n ＝4时，等号成立.所以CA →·CB →≥30－16＝14.14.若ʃm 1(2x －1)d x ＝6，则二项式(1－2x )3m 的展开式中各项系数和为________.答案 －1解析 ʃm 1(2x －1)d x ＝(x 2－x )|m 1＝m 2－m ＝6，m ＝3(m ＝－2舍去)，令x ＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.15.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S n ＝____. 答案 34⎝⎛⎭⎫1－13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2， 所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －12，两式作差得3n －1a n ＝12， 所以a n ＝12·13n －1(n ≥2，n ∈N *)， 又因为当n ＝1时，a 1＝12适合此式， 所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12·13n －1， 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝34⎝⎛⎭⎫1－13n . 16.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1，得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2， 所以b ＝m 2， 所以P ⎝⎛⎭⎫－m 4，34m . 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ， 解m ＝0或m ＝－8.。