2012届高三数学一轮复习课件：圆锥曲线综合问题(理)
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题53 圆锥曲线的综合问题(教学案)含解析
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．高频考点一圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线P A与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．联立得⎩⎨⎧y ＝t3（x ＋2），x 24＋y 2＝1，即(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，(8分) 可知－2x M ＝16t 2－364t 2＋9，所以x M ＝18－8t 24t 2＋9，则⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝18－8t 24t 2＋9，yM ＝12t4t 2＋9.同理得到⎩⎪⎨⎪⎧x N ＝8t 2－24t 2＋1，y N ＝4t 4t 2＋1.(10分)由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上，不妨设这个定点为Q (m ，0)， 又k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ＝4t4t 2＋18t 2－24t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，所以化简得(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧8m －32＝0，－6m ＋24＝0，得m ＝4，即直线MN 经过定点(4，0)．(13分)探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0.则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2 ＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以所求定值为|MF ||NF |＝23＝233. 高频考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点． ①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．(2)①证明 设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)， 则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜 率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②解 直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1，0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以△OMN 面积的最大值为98.【感悟提升】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．【变式探究】 设点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设M (－2，0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1，0)，C 2(1，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，于是x 0＝x 1＋x 22＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k 1＋2k 2， 因为x 0＝－4k 21＋2k 2≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边，又直线C 1B 2和C 1B 1的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝－x －1， 所以点G 在正方形内(包括边界)的充要条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 0＋1，y 0≥－x 0－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 1＋2k 2≤－4k 21＋2k 2＋1，2k 1＋2k 2≥4k 21＋2k 2－1， 亦即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋2k －1≤0，2k 2－2k －1≤0.解得－3－12≤k ≤3－12，②由①②知，直线l 斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－12，3－12. 高频考点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．【例3】如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．从而|DF 1|＝22.(3分) 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．2.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02e <≤．所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．3.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<.因此k 的取值范围是)2.4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.5.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 6.【2016高考上海理数】（本题满分14）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
高考理科第一轮复习课件(7.10圆锥曲线的综合问题)
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
由于Δ>0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8k 2 4k 2 12 x1 x 2 , x1 x 2 , 2 2 3 4k 3 4k AB
得x2+ky2-4y=0.
当k=0时，方程为x2=4y表示抛物线；
当k=1时，方程表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆；
当k>0且k≠1时，方程表示椭圆；
当k<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.
(2)当k=0时，轨迹T的方程为x2=4y.
设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由题意设直线AB的方程为y=k1x+1, 联立x2=4y有：x2-4k1x-4=0，
3 4
②是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，说明理由;
③若点M的横坐标为 2 ，直线l： kx 与抛物线C有两个不 y
同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
1 ≤k≤2 2
1 4
时，｜AB|2+|DE|2的最小值.
【思路点拨】(1)利用椭圆的两个顶点(a,0)与(0,b)一个在圆
(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变
量无关.
②引进变量法：其解题流程为
x 2 y2 【变式训练】已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的左焦点F1(-1， a b
0)，长轴长与短轴长的比是 2 3. ∶ (1)求椭圆的方程. (2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n, 求证： 1
2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第6节__圆锥曲线的综合问题
3.(2010 江卷)设抛物线y 2 2 px p 0 的焦点为F ,点A 浙
3 2 的距离为 4
0, 2 .若线段FA的中点B在抛物线上, 则B到该抛物线准线
.
p 解析：将点B( ，代入抛物线y 2 2 px p 0 ， 1) 4 3 2 得p 2 ,则点B到该抛物线准线的距离为 . 4
2 2
拓展练习2：在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二 象限、半径为2 2的圆C与直线y x相切于坐标原点O. x2 y 2 椭圆 2 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离 a 9 之和为10.
1 求圆C的方程； 2 试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆
右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的 坐标;若不存在,请说明理由．
反思小结：本例通过平面几何知识,利用椭圆的定义 和对称性找到长轴最短时的P点,从而解决问题.还可 x y 以有如下解法：设所求椭圆的方程为 2 2 1. a a 9 x y 9 0 2 联立 x ,消去y得关于x的一元二次方程， y2 1 2 2 a 9 a 2 令 0,可求得a 的值,进而求得点P的坐标．
2
的交点个数．通过联立两圆的方程， x 42 y 2 16 得 ， 2 2 x 2 y 2 8
4 x 5 x 0 解得 或 . y 12 y 0 5 4 12 即存在异于原点的点Q( ， ), 使得该点到椭圆右焦点F 5 5 的距离等于 OF .
x2 y 2 整理得曲线C的方程为 1. 8 2
2 因为直线l平行于OM ,且在y轴上的截距为m(m 0)，
1 1 又kOM ,所以直线l的方程为y x m. 2 2 1 y 2 x m 由 2 ，得x 2 2mx 2m 2 4 0. x y2 1 8 2 因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点， 所以 (2m) 2 4(2m 2 4) 0，解得 2 m 2且m 0. 所以m的取值范围是 2, 0 0, 2 ．
2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第14单元第78讲 圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用
评析：定理中的三个结论的证明思路如出 一辙，证明时应考虑到他们各自的特征， 比如此例中只能作出一个Dandelin球， 而证明结论3(截线为双曲线)的双球一个在 圆锥面顶点的上面，另一个在顶点的下面．
1．要善于把圆的有关性质类比推广到球的一些性质． 2．定理中的两个角、的确切含义要弄清楚． 3．当 从0到90变化时，平面 与圆锥面S 交出的 曲线形状分析：当 0时，截面过轴线，此时的 截线为两条母线(可视为退化的双曲线)； 当 从0到 变化时，截面与圆锥面的两部分均有 cos 截线，截线为双曲线，其离心率e 越来越小， cos 并趋近于1；
7 5 2 2 解析： 所以EF1 ，EF2 O2 E O2 F2 7， 3 3 7 5 故2c 7 2 7，所以c 7. 3 3 又因为BF1 BF2 BC BD CD，
2 所以椭圆的长轴长2a CD O1O2 O2 D O1C 2
证明： 连接点P与圆锥的顶点，与S 相交于点Q1， 连接BQ1，则BPQ1 ，APB . 在Rt APB中，PB PA cos . PQ1 cos 在Rt PBQ1中，PB PQ1 cos ，所以 . PA cos PF1 又因为PQ1 PF1， ， 1， PA 即PF1 PA，动点P到定点F1的距离等于它到 直线m的距离， 故当 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
1．了解平行投影的含义，通过圆柱与平 面的位置关系，体会平行投影；会证明 平面与圆柱截线是椭圆(特殊情形是圆)．
2．通过观察平面截圆锥的情境，体会下面定理： 在空间中，取直线l为轴，直线l 与l相交于O点， 其夹角为，l 围绕l旋转得到以O为顶点，l 为 母线的圆锥面，任取平面 ，若它与轴l交角为 (当 与l平行时，记 0)， 则 1 a，平面 与圆锥的交线为椭圆；
最新届高三数学一轮复习课件：圆锥曲线综合问题(理)
• 解析：由
• 消去y，得 • (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) • (1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双
曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5.故此 时方程(*)只有一个实数解，即直线与双 曲线相交，且只有一个公共点．如图，交 点在双曲线右支上．
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－ k2－4)＝4(4－3k2)．
• [例1] 抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝ 0交于A、B两点，点A的坐标为(1,2)，设 抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于
()
• A．7
B．
• C．6
D．5
• 分析：求|FA|＋|FB|的值可利用焦半径求 解，∵|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，∴需求p 的值和A、B两点横坐标的和，利用点A在 两曲线上可求p和a，两方程联立消去y，
①41－ －3k2k≠2>00，，
即－2
3
32 <k<
3
3且
k≠±1
时，方程(*)
有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②41－ －3k2k≠2＝00，， 即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同 的实数解，
即直线与双曲线相切．
③41－－3k2k≠2<00，，
即
k<－2
3
3或
2 k>
3 3时，方程(*)无实
届高三数学一轮复习课件： 圆锥曲线综合问题(理)
• 一、向量法
• 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表 示，因此向量与解析几何保持着天然的联 系．通过向量的坐标可以把解析几何的很 多问题向量化，利用向量的共线、垂直、 夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问 题．
高考数学一轮复习 9.15 圆锥曲线的综合问题课件 理
|x－x1|＋|y－y1|＋|x2－x|＋|y2－y|＝|x2－x1|＋|y2－y1| ∴2|x－x1|＋12|y2－y1|＋12|y2－y1|＝|y2－y1|， ∴|x－x1|＝0，∴x＝x1. 因此，所求的点C为x1，y1＋2 y2.
由题设，得圆心到直线 l1：y＝2x＋m 的距离 d＝
|1＋m| 22＋－12.
则 2|21＋＋m－|12＝ 5.解得 m＝－6(m＝4 舍去)．
设直线l1与抛物线C1的相切点为A0(x0，y0)，又y′＝2ax， 得2ax0＝2⇒x0＝1a，y0＝1a.
代入直线方程，得1a＝2a－6，即a＝16.所以m＝－6，a＝16.
1 2
)，又因为M、N在椭圆C1上得：a2
＝136，椭圆方程为31x62＋y42＝1，抛物线方程为x2＋2y＝4.
【点评】本题较为综合，做题时抓住点在曲线上列方程组 即可.正确地解二元二次方程组也是本题的关键.
展示2 已知抛物线 C1 的方程为 y＝ax2(a＞0)，圆 C2 的方程 为 x2＋(y＋1)2＝5，直线 l1：y＝2x＋m(m＜0)是抛物线 C1、圆 C2 的公切线，点 F 是抛物线 C1 的焦点．
由O→M ＝O→A ＋O→B ，得点M的坐标为x10，y40，由点P(x0，
y0)满足曲线C的方程，得点M的轨迹方程为x12＋y42＝1(x＞1，y＞ 2)．
(2)∵|O→M|2＝x2＋y2，y2＝1－4 x12＝4＋x2－4 1，
∴|O
→M
|2＝x2－1＋
4 x2－1
高三数学一轮复习圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系 [典题导入]
(2014· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中， 点
1 M2，－2 ，
点 F 为抛物线 C：y＝mx2(m＞0)的焦点，线段 MF 恰被抛物线 C 平分． (1)求 m 的值； (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，设直线 FA、FM、 FB 的斜率分别为 k1、k2、k3，问 k1、k2、k3 能否成公差不为零的 等差数列？若能，求直线 l 的方程；若不能，请说明理由．
解析
(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
[跟踪训练] 2． (2013· 新课标全国卷Ⅱ高考)平面直角坐标系 xOy 中， 过椭圆 M： x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0)右焦点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B a2 b2 1 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求 四边形 ACBD 面积的最大值．
2 ．在利用代数法解决最值与范围问题时常从 以下五个方面考虑： (1) 利用判别式来构造不等关系，从而确定参 数的取值范围； (2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围， 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量 关系； (3) 利用隐含或已知的不等关系建立不等式， 从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5) 利用函数的值域的求法，确定参数的取值 范围．
所以当且仅当 m＝1－ 7时，u(m)取到最大值． 故当且仅当 m＝1－ 7时，S 取到最大值． 综上，所求直线 l 的方程为 3x＋2y＋2 7－2＝0.
高三一轮复习圆锥曲线的综合问题共44页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高三一轮复习圆锥曲线的综 合问题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1<0，y2>0. (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2. y＝ 3(x－c) 2 联立x y2 a2＋b2＝1 得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0.
－ 3b2(c＋2a) － 3b2(c－2a) 解得 y1＝ ，y2＝ . 3a2＋b2 3a2＋b2 → → 因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2. 3b2(c＋2a) － 3b2(c－2a) 即 ＝2· . 2 2 2 2 3a ＋b 3a ＋b c 2 得离心率 e＝ ＝ . a 3
(2)因为|AB|＝
1 2 4 3ab2 15 1＋ |y2－y1|，所以 · 2 . 2＝ 3 4 3 3a ＋b
c 2 5 15 5 由 ＝ 得 b＝ a.所以 a＝ ，得 a＝3，b＝ 5. a 3 3 4 4 x2 y2 椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 1. 9 5
• 已知椭圆的焦点为F1(－3,0)、F2(3,0)， 且与直线x－y＋9＝0有公共点，则其中 长轴最短的椭圆方程为________．
解法 2：设直线与椭圆公共点为 P，则|PF1|＋|PF2|＝ 2a，由长轴最短知，问题可转化为在直线 x－y＋9＝0 上 求一点 P，使 P 到两定点 F1、F2 距离之和为最小． 点 F1(－3,0)关于直线 x－y＋9＝0 的对称点为 Q(－9， 6)，则 F2Q 与直线 x－y＋9＝0 的交点即为 P 点，且 2a＝ |PF1|＋|PF2|＝|PQ|＋|PF2|＝|QF2|＝6 5，∴a＝3 5. x2 y2 又 c＝3，∴b2＝a2－c2＝36，∴椭圆方程为 ＋ ＝ 45 36 1.
• 重点难点 • 重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定， 弦长与距离的求法 • 难点：直线与圆锥曲线位置关系的判定、 弦长与中点弦问题
• 知识归纳 • 1．(1)直线与圆、椭圆的方程联立后，消 去一个未知数得到关于另一个未知数的一 元二次方程，可据判别式∆来讨论交点个 数. 相 直线与圆锥曲线有两个 ∆>0 交 交点 直线与圆锥曲线有一个 相 ∆＝0 切 切点 相 直线与圆锥曲线无公共 ∆<0 离 点
• 三、要重视解题过程中思想方法的提炼及 解题规律的总结 • 1．方程思想 • 解析几何题大部分都以方程形式给定直线 和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的 弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用 韦达定理进行整体处理，以简化解题运算 量． • 2．函数思想 • 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中
• 3．坐标法 • 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加 强坐标法的训练． • 4．对称思想 • 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以 可使分散的条件相对集中，减少一些变量 和未知量，简化计算，提高解题速度，促 成问题的解决． • 5．数形结合
• 点评：解法1是利用直线与圆有公共点时， ∆≥0求解；解法2利用椭圆的定义作等价 转化，要细细揣摩其思想方法，请再练习 下题：
已知双曲线焦点 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)且与直线 x ＋y－1＝0 相交．则实轴最长的双曲线方程为________．
解析： 设直线与双曲线交点为 P， 则||PF1|－|PF2||＝2a， 由实轴最短知，问题转化为在直线 x＋y－1＝0 上求一点 P，使 P 到两定点 F1、F2 距离之差最大，点 F1(－ 2，0) 关于直线 x＋y－1＝0 对称点为 M(1,1＋ 2)，则直线 F2M 与直线 x＋y－1＝0 交点即为 P 点，且 2a＝||PF1|－|PF2|| 6 ＝||PM|－|PF2||＝|MF2|＝ 6，∴a＝ 2 ，又 c＝ 2，∴b2＝ 1 x2 y2 ，故所求双曲线的方程为 － ＝1. 2 3 1 2 2
• 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0) 处的切线. l2为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. • (1)求直线l2的方程； • (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的 面积．
解析：(1)y′＝2x＋1.∴l1 的斜率 k1＝3 直线 l1 的方程为 y＝3x－3. 设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 B(b， 2＋b－2)， b 则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2. 1 2 因为 l1⊥l2，则有 2b＋1＝－ ，b＝－ . 3 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－ x－ . 3 9 即 3x＋9y＋22＝0
(y1＋y2)2－4y1y2，使用韦达定理即可解决． (2)当斜率 k 不存在时，直线为 x＝m 的形式，可直接 代入求出交点的纵坐标 y1、y2 得弦长|y1－y2|.
误区警示 1．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存 在的情形．为了避免讨论，过焦点 F(c,0)的直线，可设为 x＝my＋c.
• 6．参数思想 • 大多解析几何问题，在解题活动中可先引 入适当的参数(如斜率k，点的坐标，圆锥 曲线方程中的系数等)，把所研究问题转 化为参数的函数或不等式、方程等来解 决．
• [例1] 抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝ 0交于A、B两点，点A的坐标为(1,2)，设 抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于 ( ) • A．7 B． • C．6 D．5 • 分析：求|FA|＋|FB|的值可利用焦半径求 解，∵|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，∴需求p 的值和A、B两点横坐标的和，利用点A在 两曲线上可求p和a，两方程联立消去y， 由根与系数关系可求得x ＋x .
• [例4] (2010·湖南)过抛物线x2＝ 2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛 物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正 射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为 12 ，则p＝________.
• (2)直线与双曲线、抛物线的方程联立后， 消元得到一元二次方程可仿上讨论，但应 特别注意： • 平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交， 有且仅有一个交点． • 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有 且仅有一个交点，但也不是相切． • 上述两种情形联立方程组消元后，二次项 系数为0，即只能得到一个一次方程．
2．直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)， P2(x2 ，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2 －x1|或|P1P2|＝ 1 1＋ 2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时，通常作如下 k 变 形 |x2 － x1| ＝ (x1＋x2)2－4x1x2 ， |y2 － y1| ＝
2 3 即 k＝± 时，方程(*)有两个相同 3
的实数解， 即直线与双曲线相切．
4－3k2<0， ③ 1－k2≠0，
2 3 2 3 或 k> 时，方程(*)无实 即 k<－ 3 3
数解， 即直线与双曲线没有公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 <k< 3 ，且 k≠±1 时， 直线 l 与双曲线有两个公共点； 2 3 当 k＝±1 或 k＝± 3 时， 直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； 2 3 2 3 或 k> 时， 直线 l 与双曲线没有公共点． 当 k<－ 3 3
B．1<e< 3 D．e> 5
解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐 b b 近线的斜率 必大于 2，即 >2，因此该双曲线的离心率 e a a a2＋b2 c ＝ ＝ ＝ a a
b 1＋a2>
5，选 D.
答案：D[例 3]x2 y2 (2010·辽宁)设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右 a b
• 点评：直线与双曲线有且只有一个公共点 时，应考虑直线与双曲线相切和直线与双 曲线的渐近线平行两种情形．
x2 y2 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的 a b 右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的 离心率 e 的取值范围是( A．e< 2 C．1<e< 5 )
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，∆＝(2k2)2－4(1－k2)·(－ k2－4)＝4(4－3k2)．
4－3k2>0， ① 1－k2≠0，
2 3 2 3 即－ <k< 且 k≠±1 时，方程(*) 3 3
有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
4－3k2＝0， ② 1－k2≠0，
• 一、向量法 • 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表 示，因此向量与解析几何保持着天然的联 系．通过向量的坐标可以把解析几何的很 多问题向量化，利用向量的共线、垂直、 夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问 题．
二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦 问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解 点差法的一个基本步骤是：点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都 在圆锥曲线 f(x·y)＝0 上，∴f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0，两 y2－y1 式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，然后变形构造出 及 x1 x2－x1 ＋x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解．
1 y＝3x－3 x＝6， (2)解方程组 1 22 ，得 y＝－3x－ 9 y＝－5. 2 所以直线 l1 和 l1、l2 与 x
1 5 l2 的交点的坐标为6，－2.
22 轴交点的坐标分别为(1,0)、－ 3 ，0.
125 . 所以所求三角形的面积 S＝ 12
• [例2] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y ＝k(x－1)．试讨论实数k的取值范围，使 得直线l与双曲线有两个公共点；直线l与 双曲线有且只有一个公共点；直线l与双 曲线没有公共点．
• 解析：由
• 消去y，得 • (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) • (1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双 曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5.故此 时方程(*)只有一个实数解，即直线与双 曲线相交，且只有一个公共点．如图，交 点在双曲线右支上．