线性代数报告
线性代数实验报告
2．输入：for
n=20:80 p1(n)=prod(365-n+1:365)/365^n; p(n)=1-p1(n); end plot(p)
输出：
３
3： （1） （2） 输入： R = binornd(20,0.25,3,6) 输出： R= 9 8 3 4 6 6 6 3 4 5 6 2 5 6 6 4 7 4 (3)(4) R = binopdf([0:9],20,0.45) R= 0.0000 0.0001 0.0008 0.0040 0.0746 0.1221 0.1623 0.1771
0.0139
0.0365
4：输入： 1.在单元格 A1 中输入“样本数据” ，在单元格 B4 中输入“指标名称” ，在 单元格 C4 中输入“指标数值” ，并在单元格 A2：A21 中输入样本数据。 2.在单元格 B5 中输入“样本容量” ，在单元格 C5 中输入“20” 。 3.计算样本平均行驶里程。在单元格 B6 中输入“样本均值” ，在单元格 C6 中输入公式： “=AVERAGE（A2，A21）， ” 4.计算样本标准差。在单元格 B7 中输入“样本标准差” ，在单元格 C7 中 输入公式： “＝STDEV(A2，A21)” ，
４
输出：
5： 输入： R = normrnd(0.5,0.015) load 0.497,0.506 0.518
0.524
0.498
0.511
0.520
0.515
0.512
histfit(0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 ); normplot(0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 ); 输出： R = 0.5066
国防科技大学《线性代数》精品课程建设总结报告
国防科技大学《线性代数》精品课程建设总结报告我校《线性代数》课程始于“哈军工”时期，当时的线性代数课程内容包含在《高等数学》课程中进行讲授，由孙本旺、卢庆骏等知名教授组成的教授会负责该课程的建设。
这门课程对学生影响最为广泛，被誉为“霸王课”。
我校《线性代数》课程2010年评为湖南省精品课程以来，课程组秉承“哈军工”优良传统，同时顺应教育教学改革的发展趋势，按照瞄准“一个目标”，寻求“两个突破”，争创“三个一流”开展课程建设，取得了比较突出的建设成效。
一、建立适合拔尖创新人才培养的分层次教学模式我校《线性代数》精品课程建设以教育部新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为基本指导原则，以我校人才培养的总目标为指导，根据新形势下我校线性代数教学对象的具体特点，对线性代数的课程体系进行了改革，建立了适合拔尖创新人才培养的、更有效的因材施教教学模式。
（1）钱学森创新拓展班线性代数，46学时。
在全校技术类学员范围内进行全面选拔，注重数学和英语基础，打破专业界限，组成钱学森创新拓展班，实施小班教学，由本课程的资深教授担任主讲任务，在使用自编教材《线性代数》的同时，参考国内外的著名教材，实施与国际知名大学接轨的线性代数教学理念和教学模式，在整个线性代数知识体系的基础上，加深或加强数学理论知识学习、应用能力以及数学方法、数学素质的培养。
（2）线性代数普通班，46学时。
除钱学森创新拓展班外，全校技术类学员和合训类学员按原院系和原专业分班，称为线性代数普通班。
二、突出代数素质培养和实践应用能力提升，深化教育教学研究与改革线性代数教学团队以课程体系优化和教学内容改革为切入点，以教学方法多样化和教学手段现代化为突破口，积极开展教学改革课题研究，探索教育教学规律，不断深化教学改革。
以“素质教育和创新教育”为核心，以培养适应部队信息化建设的懂技术、会指挥的新型复合型军事人才为目标，积极探索和深化线性代数课程的教学改革，并以教学改革为牵引，积极进行教学研究工作。
实验五(线性方程组的数值解法和非线性方程求解)
1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。
二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。
模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版一、教案概述本教案以同济版《线性代数》教材为基础，共十个章节。
本教案的主要目标是帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。
2. 掌握线性代数的基本运算，如矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
3. 学会解线性方程组，并能运用高斯消元法进行计算。
4. 理解线性空间、线性变换和特征值、特征向量的概念。
5. 学会运用线性代数的方法解决实际问题。
三、教学内容1. 向量：向量的概念、向量的运算、向量空间。
2. 矩阵：矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的逆。
3. 线性方程组：线性方程组的解法、高斯消元法。
4. 线性空间与线性变换：线性空间的概念、线性变换的概念、特征值与特征向量。
5. 应用举例：线性方程组的应用、线性变换的应用。
四、教学方法1. 讲授法：通过讲解，使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
2. 实践法：通过例题和习题，使学生熟悉线性代数的运算和应用。
3. 问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探讨，培养学生的解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的表现。
2. 作业与测验：检查学生完成作业和测验的情况，评估学生的理解和掌握程度。
3. 课程报告：评估学生完成课程报告的质量，考察学生的独立研究和解决问题的能力。
六、教案内容第六章：向量空间与线性变换教学目标1. 理解向量空间的概念，包括基、维数、张量等。
2. 学习线性变换的定义和性质，包括线性变换的矩阵表示。
3. 掌握特征值和特征向量的概念，并学会求解线性变换的特征值和特征向量。
教学内容1. 向量空间：定义、基、维数、张量。
2. 线性变换：定义、性质、矩阵表示。
3. 特征值和特征向量：定义、求解方法、应用。
教学方法1. 讲授法：介绍向量空间和线性变换的基本概念。
2. 案例分析法：通过具体例子讲解特征值和特征向量的求解。
线性代数实验报告汇总
数学实验报告题目第一次实验题目一、实验目的1MATLAB 的矩阵初等运算；．熟悉2 ．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3MABLAB 求解线性方程组．会用二、问题求解和程序设计流程344?221????????MATLABA1 B、，已知命令窗口中建立．，在320B???50??3A????????112?153????矩阵并对其进行以下操作：(1) A 的行列式的值计算矩阵?)?Adet((2) 分别计算下列各式：、和、、、、B?A.T112??B?BA?2A ABABAA：解（1）编写程序如下：A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];B=[1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1];a=det(A)运行结果：a =-158（2）编写程序如下：C=2*A-BD=A*BE=A.*BF=A/BG=A\BH=A*AK=A'运行结果：C =7 -7 0-4 0 13线性代数实验报告0 11 5D =12 10 247 -14 -7-3 0 -8E =4 -6 86 0 -152 -5 3F =0 0 2.0000-2.7143 -8.0000 -8.14292.42863.0000 2.2857G =0.4873 0.4114 1.00000.3671 -0.4304 0-0.1076 0.2468 0H =24 2 4-7 31 9-8 13 36K =4 -3 1-2 0 52 5 32 MATLABrankinv 求下列矩阵的秩：中分别利用矩阵的初等变换及函数．在、函数线性代数实验报告3501??2631?????0012????(1) Rank(A)=? 2求) 求(054A?3??B1??B?????0201??4??1112????2102??解：1 编写程如下：（）format rat A=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4];rref(A)运行结果：ans =1 0 0 -8/50 1 0 00 0 1 6/5AA3 。
(完整word版)数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第四章实验报告
第四章上机习题1考虑两点边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.1)1(,0)0(10 ,22y y a a dx dy dx y d ε 容易知道它的精确解为ax e e ay x +---=--)1(111εε为了把微分方程离散化，把[0,1]区间n 等分，令h=1/n ，1,,1,-==n i ih x i得到差分方程,21211a hy y h y y y i i i i i =-++-++-ε简化为 ,)2()(211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散化后得到的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=)2()2()2()2(h h h h h h h A εεεεεεεεεε 对,100,2/1,1===n a ε分别用Jacobi 迭代法，G-S 迭代法和SOR 迭代法求线性方程组的解，要求有4位有效数字，然后比较与精确解得误差。
对,0001.0,01.0,1.0===εεε考虑同样的问题。
解 （1）给出算法：为解b Ax =，令U L D A --=，其中][ij a A =，),,,(2211nn a a a diag D = ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-00001,21323121n n n n a a a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-0000,122311312 n n n n a a a a a a U 利用Jacobi 迭代法，G-S 迭代法，SOR 迭代法解线性方程组，均可以下步骤求解： step1给定初始向量x0=(0,0,...,0)，最大迭代次数N ，精度要求c ，令k=1 step2令x=B*x0+gstep3若||x-x0||2<c ，算法停止，输出解和迭代次数k ，否则，转step4 step4若k>=N,算法停止，迭代失败，否则，令x0=x ，转step2在Jacobi 迭代法中，B=D -1*(L+U),g=D -1*b在G-S 迭代法中，B=D -1*(L+U),g=D -1*b在SOR 迭代法中，B=(D-w*L)-1*[(1-w)*D+w*U],g=w*(D-w*L)-1*b另外，在SOR 迭代法中，上面算法step1中要给定松弛因子w ，其中0<w<2 为计算结果，规定w=0.5。
《线性代数》课程教学创新成果报告
《线性代数》课程教学创新成果报告【摘要】线性代数是大学理工类本科生的一门必修课程。
为了让学生更好的学好这门课，实现教书育人的最高目标，在教学中努力尝试“以学生为中心”的教学理念，在教学目标中增加课程思政目标，既关注学生的知识生成，更关注学生数学能力，综合能力及道德品质的培养和提高。
针对课程教学过程的痛点，对这门课程的教学活动和教学内容进行了改革和创新，教学活动的创新主要表现在：教学资源的优化配置，探索更有效的教学方式方法；注重教学难点的突破，学习和答疑途径的多元化，教学内容的创新主要体现在：注重科学素养的培育，充分发掘课程思政元素，实现全方位育人等。
【关键词】线性代数；课程教学创新；诱导启发式。
线性代数是高等学校理工科各专业本科生的一门重要的基础理论课，是理工类学生考研的必考科目，它是以矩阵、行列式等为工具，研究线性问题的求解理论和方法的一门学科.由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下也可转化为线性问题,因此本课程所介绍的基本理论和方法广泛地应用于自然科学、社会科学等各领域，尤其是计算机得到普及的今天，本课程的作用与地位更显重要。
该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，空间直观和想象能力具有重要的作用。
在培养学生的科学素养，人文精神和创新能力等方面也起着十分重要的作用。
因此线性代数的教学过程的改革创新，学生的学习过程的优化及学习效果的提高都显得非常重要。
一课程教学的“痛点”1.学生的痛点经调查显示，学生普遍认为，线性代数不同于高等数学，定义定理都是比较抽象，无法与实践和以前的认知联系起来，很多学生普遍反映线性代数学习感到吃力。
复习基本靠死记硬背，大部分学生对考试成绩不满意，更别说数学素养的提升。
1.老师的痛点从老师的角度看，线性代数课程课时少，内容多，想把线性代数的内容在有限的课时内讲懂讲透，是一件富有挑战的事情。
传统的教学方式基本以讲授为主，很难调动学生学习的积极性，强硬的灌输抽象的概念及定理等，使学生感觉课堂是枯燥无味的，这样的状态下很难使学生在线性代数的学习过程中，进一步提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力等数学素养。
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
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成本（元）
甲
乙
丙
丁
原材料
15
20
30
25
劳动力成本
20
10
30
20
企业管理费用
5
10
10
10
运输成本
2
3
3
4
表一：每种产品的单件各类成本
产品
季度
一季度
利用可逆矩阵进行加密是信息编码的一种技巧，虽然较为简单，但由此可见 矩阵作为数学中一个很小的分支， 其应用范围却非常广泛。相信随着信息技术 的不断更新，保密技术的不断发展，包括像矩阵在内的许多数学知识作为工具将 在其中发挥越来越大的作用。
二、矩阵与成本利润的计算
矩阵在计算成本利润中有广泛的应用，利用矩阵可以将复杂的问题或计算过 程简化成矩阵运算，结合计算机程序语言能够快速的解决实际问题。下面从以下 两个方面简单介绍矩阵在成本利润计算中的应用。 （一）生产成本
2、模型 保密通信过程中， 存在明文和密文两个概念。想要发送的信息称为明文， 通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。通信过程中， 发送方会通过某 种算法对明文数据进行加密， 通过加密后转换成密文数据再发送给接收方， 接 收方再通过相应的某种算法，对密文数据进行解密转换，就变成了明文数据。这 个过程就是加密解密的过程，其中的某种算法就是密钥，这也就是数据保密通信 的模型，具体如下图所示:
断涌现。矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅
速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。
（一）可逆矩阵
1、矩阵
矩阵的定义：m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称
矩阵，矩阵用
大写黑体字母A，B，C，…表示。如：A=
这
个数称为矩阵A
的元素， 称为矩阵A的第i行第j列元素，一个
（二）保密通信
1、背景
自从人类有了文字书写之后， 就考虑使用一些手段来保障通信的机密， 防 止被获取甚至被篡改。早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密 码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。直到第二次世界大战，关于通信的加密、 解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始， 关于通 信的加密解密开始成为一门专门的学科， 包括数学家在内的许多科学家投身其 中进行深入的研究。
15 20 30 25
20 10 30 20
A= 5 10 10 10
2
3
3
4
设 B 为四季度各类产品产量矩阵， 即：:
4000
B=
1000 2000
3000
3000 6000 2000 2000
2000 4000 2000 5000
5000
2000
2000
1000
则四个季度的原材料、劳动力成本、企业管理费用、运输成本的总成本为矩阵 A
5
=
20
40
3 10
可得：售出甲、乙产品所获的利润为：
PTX — YX=(PT-Y)X=9900 —
1800=8100（千元）
三、矩阵与数字图像
在自然形式下，图像不能由计算 机直接进行分析。因为计算机只能处理数字而不是图片，所以一幅图像在用计算 机处理前必须先转化为数字形式。
左图表明了如何用一个数字矩阵来表示一个物理图像。物理图像被划分为称 作图像元素的小区域，图像元素简称为像素，最常见的划分方案是图中所示的方
形采样网 格，图像被 分割成由相 邻像素组成 的许多水平 线，赋予每个像素位置的数值反映了物理图像上对应点的亮度。 图像转化的过程称为数字化，常见的形式如下图。在每个像素位置，图像的 亮度被采样和量化，从而得到图像对应点上表示其亮暗程度的一个整数值。对所 有的像素都完成上述转化后，图就被表示成一个整数矩阵。每个像素具有两个属 性：位置和灰度。位置（或称地址）由扫描线内的采样点两个坐标决定，它们又
春
夏
秋
冬
合计
原材料
205000
275000
295000
200000
975000
劳动力成本
210000
220000
240000
200000
870000
企业管理费用
80000
115000
120000
75000
390000
运输成本
29000
50000
42000
26000
147000
合计
524000
660000
1 0 0 0 10
化为行最简形矩阵： 0
1
0
0
5
0 0 1 0 3
0 0 0 1
2
因为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，所以方程组有唯一解，即：
a=10，b=5，c=3，d=2
从而直观地反映了工厂生产的产品的单位成本。
（二）生产利润
生产利润的计算对于企业生产和策略制定具有指导性作用，利用矩阵能够直
矩阵， 如
，可求出B的逆矩阵B-1。发送者将加密后的密文矩阵
发送给接收方。接收方接受信息后， 就再右乘
B-1 ， 可得ABB-1=A然后根据文字对照表就可以还原成原来的信息“Welcome！ Tianjindaxue”。
在编码的过程中， 将英文信息进行转化时，没有区分大小写字符，也可以 区分大小写，那么编码的对照表变成54个数字，信息排成矩阵的阶数也是任意选 择的， 矩阵的阶数越高，破译的难度越大。可逆矩阵的选择必须保证与信息矩 阵可乘。 （四）结语
观的计算利润问题。
如：一个工厂生产甲、乙两种产品。需用 A、B、C 三种原料。
给出产品的单价向量 P(单位：千元／件)，原材料成本的向量 C(单位：千元
／吨)，订单向量 X(单位：件）
1
P=
90 144
，C=
2 1
，X=
30 50
9 4
设甲、乙产品的单位成本向量 Y=a b ，于是 Y=CT 4
二季度
三季度
四季度
甲
4000
3000
2000
5000
乙1000ຫໍສະໝຸດ 600040002000
丙
2000
2000
2000
2000
丁
3000
2000
5000
1000
表二：四季度各类产品产量
如果利用传统方法计算，我们发现需要计算的条目非常多且调理性不好，费
时费力。让我们来用矩阵的方法来描述此问题，：
设 A 为每种产品的单件各类成本矩阵，即：
矩阵A也可简记为
或
。
矩阵加法：设有两个
矩阵
，
，矩阵A与B的和记作
，规定为
。
矩阵乘法：设
，
。矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，
规定为
其中
2，…，m ；j=1，2，…，n)。
(i=1，
2、矩阵的逆
于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=1，则称矩阵A为可逆矩阵， 而矩阵B称为A的逆矩阵。记作A-1，即A-1=B。
2、加密矩阵（密钥）的生成 如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密矩阵和求出其逆矩阵作为解 密矩阵是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。 我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此， 我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥。这种做法的好处是，我 们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵 得到初等矩阵的具体初等变换。 在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到 加密矩阵。生成解密矩阵也只需要再次利用生成加密矩阵时的变换矩阵对单位矩 阵做一序列的初等逆变换即可。 3、应用举例 利用矩阵对“Welcome！Tianjindaxue”进行编码。先将英文的26 个字母用
20世纪末开始， 计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安 全，其加密解密的研究也迎来了巨大发展。尤其是21世纪初，电子商务的广泛应 用，以及智能手机的介入， 对信息的传输过程中的安全性和可靠性提出了更高 要求。而保密通信作为实现信息安全的有效手段， 在这其中起着举足轻重的作 用。在通信过程中，基本思路是通过对身份的验证、对传输信号的加密，来确保 通信的保密。因此保密通信主要涉及加密、解密的理论。
与 B 的乘积 X， 即 :
205000
X=
210000 80000
29000
275000 220000 115000 50000
295000 240000 120000 42000
200000
200000
75000
26000
根据矩阵 X， 可以得到各类产品总成本分类表， 如表三。
成本（元）
数字1-26代替，叹号用27代替，构成一个对照表。此时，“Welcome！Tianjindaxue” 可译为:23 5 12 3 15 13 5 27 20 9 1 14 10 9 14 4 1 24 21 5 将发送数字排
成 的明文矩阵，即A=
。此时，对于矩阵阶数的选择是随
意的，阶数越高，保密性越好。为了增加破译难度， 收发双方可约定一个加密
100
7050
3
100
40
40
20
1360
4
400
180
160
60
5500
表四
试求每种产品的单位成本。 解：设 A、B、C、D 4 种产品的单位成本分别为 a，b，c，d 可以得到得方程组：
化简得：
4 2 2 1 58
增广矩阵为： 10 5 4 2 141 5 2 2 1 68 20 9 8 3 275