2014年新人教A版选修4-5 3
5.3.1比较法 课件(人教A版选修4-5)
S 2m
பைடு நூலகம்
S 2n
t 2 t1
2S mn
, t2
S (m n) 2m n
,
解：设从出发地点至指定地点的路程是S, 甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别 为t1，t2，依题意有
t1 2 m t1 2 n S,
S 2m
2m n 2n mn 2S S (m n) 思考:t 哪些不等式的证明用作差比较法较 从 而 1 t2 mn 2m n 为合理? 2 4 m n ( m n )2 S S (m n) 2m n(m n ) 2( m n )m n
例2 已知实数a, b满足a≠b, 且a+b>0, 求证: 变 已知 a, b都是正数，并且a≠b, 求证:
a b a b a b 证： ( a 5 b 5 ) ( a 2 b 3 a 3 b 2 )
5 5 2 3 3 2
( a a b ) (b a b )
5 3 2 5 2 3
5.3.1 比较法 比较法是证明不等式的一种最基本、最重 要的一种方法.上题用的是作差比较法. 一. 理论依据 ab > 0 a>b ，变形的目的全在于判断 ab = 0 a=b ，差的符号，而不必考虑 ab < 0 a<b . 差的值是多少。至于怎 样变形，要灵活处理。 二. 基本步骤 作差 变形 定符号 下结论 (1) 积、商 因式分解、通分 (2) 平方 配方
2. 求证:x2 +3 >3x
小结：
• 作差比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号—下结 论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
【志鸿优化设计】高中数学(课前预习导学+课堂合作探究+当堂检测)3-3排序不等式课件 新人教A版选修4-5
运用排序不等式进行证明时要先构造两个有序数组.
当堂检测
1 .已知 a ,b ,c∈R+,则 a 3+b3 +c3 与 a2 b+b2 c+c2a 的大小关系是( A.a3 +b3 +c3 >a2 b+b2 c+c2a B.a3 +b3 +c3≥a2 b+b2 c+c2a C.a3 +b3 +c3 <a2 b+b2 c+c2 a D.a3 +b3 +c3 ≤a2 b+b2 c+c2a 答案:B 解析:根据排序原理 ,取两组数 a,b,c;a2 ,b2 ,c2 ,不妨设 a≥b≥c,则 a2 ≥b2≥c2 ,所以 a2 × a+b2 × b+c2 × c≥a2 b+b2 c+c2a,即 a3 +b3 +c3≥a2 b+b2 c+c2 a.
12
11
由乱序和≥反序和 ,
11
a11 b c11 a11 b c11 10 10 10 得 + + ≥ + + =a +b +c .② b c a a b c
11
综合①②,可得原不等式成立.
构造数组时 ,自己可根据题目的要求与需要,来限定数组间 的一些联系 ,对于一些大小顺序 ,在不影响一般性的前提下,也可 以设定.
1 1 1 则 > >…> , c1 c2 cn-1
且 b1 ≥1,b2 ≥2,…,bn-1 ≥n-1,c1 ≤2,c2 ≤3,…,cn-1 ≤n. 利用排序不等式,有
an-1 a1 a2 + +…+ a2 a3 an bn-1 b1 b2 ≥ + +…+ c1 c2 cn-1 1 2 n-1 ≥ + +…+ . 2 3 n
5.4.3 平均不等式 课件(人教A版选修4-5)
ab 基本不等式 若 a 0, b 0, 则 ab . 2 等号当且仅当a b时成立.
ab 对于两个正数a , b, 称为a , b的算术平均数, 2 ab 称为a , b的几何平均数.
也就是说, 两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数. 思考:该结论可推广到三个正数,四个正数， …，甚至n个正数吗？
3 3 3
abc 3 abc (a , b, c为正数) 3
abc 3 结论 : 若a , b, c R , 则 abc . 3 等号当且仅当a b c时成立. 这表明, 三个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数.
一般地, n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
定理 若a1 , a2 , , an R , 则 a1 a2 an n a1a2 an . n 等号当且仅当a1 a2 an时成立.
例1 设a,b,c均为正数,证明;
(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc
例2 设a1 , a2 , , an为正数, 证明 : a1 a2 an n 1 1 1 n a1 a2 an
2 2 2 2 2 2
x 2y 4.已知2 x y 1, x 0, y 0, 求 的最小值. xy
已知a 0, b 0, c 0, 求证 : ab abc 3 2( ab ) 3( abc ) 2 3
1 1 2 设a 0, 求证 : a a 2 2 2 a a (备用)已知x , y , z 0, x y z 1, 求证 : 7 0 xy yz zx 2 xyz 27
5.4.3 平均不等式 课件(人教A版选修4-5)
x x 4
2
x
3 .已 知 a , b , c 都 是 非 负 实 数 , 求 证 : a b
2 2
b c
2 2
c a
2
2
2 (a b c )
的最小值.
4 .已 知 2 x y 1 , x 0 , y 0 , 求
x 2y xy
简称：积定和最小，和定积最大． 2. 应用定理时需注意“一正二定三相等” 这三个条件缺一不可；不能直接利用定理 时，要善于转化；“分式函数造积定”。
补充作业
1 .求 函 数 f ( x )
2 .求 函 数 f ( x )
x 3x 6
2
x 1
x 4
2
( x 1 )的 最 大 值 .
例 2 设 a1 , a 2 , , a n为 正 数 , 证 明 : a1 a 2 a n n n 1 a1 1 a2 1 an
说明 上式表明了n个正数的算术平均数不 小于其调和平均数. (P33链接:平均不等式)
例3 求函数y 4x
2
9 x
2
的最小值.
定 理 若 a1 , a 2 , , a n R , 则 a1 a 2 a n n a1a 2 a n . n 等 号 当 且 仅 当 a 1 a 2 a n时 成 立 .
例1 设a,b,c均为正数,证明;
(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc
已 知 a 0, b 0, c 0,求 证 : 2( a b 2
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解 集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一： 已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
∴a b aa b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
∴ a 3 ab2 b3 ba 2 2a 2b 2ab2 ,∴ a 3 b3 a 2b ab2
5.4.3 平均不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理 若a1 , a2 , , an R , 则 a1 a2 an n a1a2 an . n 等号当且仅当a1 a2 an时成立.
例1 设a,b,c均为正数,证明;
(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc
例2 设a1 , a2 , , an为正数, 证明 : a1 a2 an n 1 1 1 n a1 a2 an
补充作业
x 3x 6 1.求函数f ( x ) ( x 1)的最大值. x 1 x2 4 x 2.求函数f ( x ) 2 ( x 0)的最小值. x x 4 3.已知a , b, c都是非负实数, 求证 :
2
a b b c c a 2(a b c )
3 3 3
abc 3 abc (a , b, c为正数) 3
abc 3 结论 : 若a , b, c R , 则 abc . 3 等号当且仅当a b c时成立. 这表明, 三个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数.
一般地, n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均ห้องสมุดไป่ตู้.
2 2 2 2 2 2
x 2y 4.已知2 x y 1, x 0, y 0, 求 的最小值. xy
已知a 0, b 0, c 0, 求证 : ab abc 3 2( ab ) 3( abc ) 2 3
1 1 2 设a 0, 求证 : a a 2 2 2 a a (备用)已知x , y , z 0, x y z 1, 求证 : 7 0 xy yz zx 2 xyz 27
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：3-2
b a · ＋ a b
b c · ＋ c b
c a · 2 a c
＝(1＋1＋1)2＝9. ∴原不等式成立．
规律技巧 证明更简单．
本例也可用基本不等式证明，但用柯西不等式
【变式训练 1】
已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1.
1 4 9 求证： ＋ ＋ ≥36. x y z
证明
证法一：(利用基本不等式)
【例 3】
已知 x1，x2，x3，x4 为实数，且 x1＋x2＋x3＋x4
2 2 2 ＝6，x1 ＋x2 ＋ x ＋ x 2 3 4＝12.
求证：0≤xi≤3，i＝1,2,3,4. 【分析】 由于 x1，x2，x3，x4 的对称性，只需证明一个 x， 其他可以同理得到．充分利用已知的等式，将 x2，x3，x4 用 x1 表示，从而得到只含 x1 的式子，进一步求解．
1 ＝2＝右边，所以原不等式成立．
1 1 【变式训练 4】 设 a1>a2>…>an>an＋1， 求证： ＋ a1－a2 a2－a3 1 1 ＋…＋ ＋ >0. an－an＋1 an＋1－a1
证明
为了运用柯西不等式，我们将 a1－an＋1 写成
a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)， 于是[(a1－a2)
1 1 1 1 1 所以 ＋ ＋…＋ > ，故 ＋ a1－a2 a2－a3 an－an＋1 a1－an＋1 a1－a2 1 1 1 ＋…＋ ＋ >0. a2－a3 an－an＋1 an＋1－a1
【证明】 令 m＝( 2a＋1， 2b＋1， 2c＋1)， n＝(1,1,1)， 则 m· n＝ 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1. 而|m|＝ 2a＋1＋2b＋1＋2c＋1 ＝ 2a＋b＋c＋3＝3. 又|n|＝ 3， 由|m· n|≤|m||n|，得 ∴ 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3. 当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立．
5.3证明不等式的基本方法1 课件(人教A版选修4-5)
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
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1.默写（（1）题2分，其余每空1分）
（1）将所要求默写的内容用正楷字写在下面的方格内（默写1分，书写1分）
东风不与周郎便，
（《赤壁》）
（2）客路青山外，行舟绿水前。
______________，风正一帆悬。
海日生残夜，____________。
乡书何处达？________________。
（王湾《次北固山下》）
（3）人有悲欢离合，________________，此事古难全。
但愿人长久，___________________。
（苏轼《水调歌头》）
（4）母亲，倘若你梦中看见一只很小的白船儿，
（冰心《纸船》）___________________。
_______________________，______________________。
1.城市视觉污染（6分）
程鑫
①污染是城市公害之一, 主要包括大气污染、水体污染、噪音污染和视觉污染等。
过去, 人们只对大气污染、水体污染和噪音污染进行了预防、治理和评介工作, 对视觉污染并未予以
重视。
②所谓城市视觉污染, 是指城市建筑不美观、城市规划布局不合理、色彩不和谐、园林雕塑无美感、人的精神面貌不佳等现象通过视觉给人造成的不快, 从而对人的身心健康产生直接的影响和危害。
③城市不仅是人们为满足自身需要进行创造活动的物质环境, 而且也是人们为满足心理需要并具有审美要求的创造物。
美观的城市建筑、合理的规划布局、和谐的色彩、典雅的园林雕塑艺术, 都会令人赏心悦目, 并使人们工作、学习的效率有所提高。
反之, 就会给人们的视觉造成污染。
例如, 有的城市住宅楼的门窗像调色盘一样颜色杂乱, 涂有广告的公共汽车不但过于刺眼, 而且给本来生活在大城市已感到烦躁的居民更增加了一重烦躁。
心理学家认为, 色彩对人的思维、行为、举止、情绪、感觉和生理变化都有强烈的控制与调节作用。
要是人们长期生活在色彩不和谐的环境中，心情就会变得焦躁不安，容易疲乏,注意力不集中,自控力差,从而导致健康水平下降。
这就是视觉污染给人带来的损失。
④黑格尔曾说过：“如果说音乐是流动的建筑, 那么建筑则是凝固的音乐。
”事实上, 城市建筑的美感, 确实能像音乐一般陶冶人的身心。
从美学意义上讲, 城市园林雕塑是静的舞蹈、历史的碑碣、生活的浓缩、理想的延伸。
如果园林雕塑讲究艺术, 会促使人去思考、奋进, 它的使用价值和经济效益都是很大的。
反之, 则会造成不同程度的视觉污染, 影响人们的生活。
总之, 如果城市建筑杂乱, 不美观, 必将使人产生不愉快,长期这样, 必将对人的身心健康产生影响。
这就是视觉污染带来的危害。
⑤城市总体规划布局所形成的形象面貌, 是人工环境与自然环境有机结合的连续展现, 这个展现是否和谐, 对人的视觉也有一定的影响。
如巴西首都巴西利亚的城市总体规划布局就十分和谐、合理, 它有着瑰丽多姿的建筑和别具匠心的艺术构思, 是一座设计新颖、布局井然、设备完善和具有现代化交通设施的新型城市, 给人愉悦之惑。
如果一座城市的规划布局不合理, 没有一个总体和谐的设计, 人工环境与自然环境不和谐, 那么, 人们长期生活在这种不和谐的环境中, 人们的身心健康将会受到直接影响, 这也是视觉污染带来的危害。
⑥在一个城市中, 居民精神面貌的好坏, 对人们的视觉也有一定的影响。
像行为、仪表等, 都属这一范畴。
如果人们的精神面貌不佳, 也将通过视觉给人带来不快, 从而给人的身心健康带来危害。
因此, 我们要高度重视城市精神文明建设, 要在城市中营造一种清洁、安全、和睦的社会环境和树立良好的社会风气。
⑦综上所述, 对于城市视觉污染给人带来的影响, 我们不能掉以轻心, 应注意预防和治理, 按“美的规律”建设城市, 规划城市, 力求使城市总体规划布局达到一种和谐的美。
( 本文有删改 )
【小题1】作者认为, 应预防和治理城市视觉污染, 并按“美的规律”来建设城市。
从文章看, 应从哪些方面预防和治理视觉污染 ? 请概括说明。
(2 分 )
答：
【小题2】第⑤段划线句有什么作用？(2 分 )
答：
【小题3】第⑥段“居民精神面貌的好坏, 对人们的视觉也有一定的影响”中的“一定”这个词能否删去 ? 为什么 ?(2 分 )
答：
1.阅读下面文言文，完成后面题目。
许昌士人张孝基，娶同里富人女。
富人只一子，不肖，斥逐之。
富人病且死，尽以家财付孝基。
孝基与治后事如礼。
久之，其子丐于途。
孝基见之，恻然谓曰：“汝能灌园乎？”答曰：“如得灌园以就食，何幸！”孝基使灌园。
其子稍自力，孝基怪之。
复谓曰：“汝能管库乎？”
答曰：“得灌园，已出望外，况管库乎？”又何幸也。
”孝基使管库。
其子颇驯谨，无他过。
孝基徐察之，知其能自新，不复有故态，遂以其父所委财产归之。
（选自《厚德录》）
【小题1】下列加点词语解释错误的一项是（）A．斥逐之追赶B．富人病且死将要C．如得灌园以就食，何幸多么D．不复有故态原来的【小题2】下列句中加点的“以”与例句中的“以”用法相同的一项是（）
例句：遂以其父所委财产归之A．何以战B．不以物喜C．故临崩寄臣以大事D．以塞忠谏之路【小题3】下列对张孝基的评价不符合文意的一项是（）A．张孝基信守承诺，把岳父的丧礼操办得很风光。
B．张孝基心地善良，见妻弟乞讨，顿生怜悯并积极给予帮助。
C．张孝基助人有方，让妻弟灌园管库，在劳动中促其转化。
D．张孝基为人厚道，把全部财产归还给悔过自新的妻弟。
【小题4】将文言语段中画线的句子翻译为现代汉语。
其子稍自力，孝基怪之。
2.文言文阅读（18分）
一屠晚归，担中肉尽，止有剩骨。
途中两狼，缀行甚远。
屠惧，投以骨。
一狼得骨止，一狼仍从。
复投之，后狼止而前狼又至。
骨已尽矣，而两狼之并驱如故。
屠大窘，恐前后受其敌。
顾野有麦场，场主积薪其中，苫蔽成丘。
屠乃奔倚其下，弛担持刀。
狼不敢前，眈眈相向。
少时，一狼径去，其一犬坐于前。
久之，目似瞑，意暇甚。
屠暴起，以刀劈狼首，又数刀毙之。
方欲行，转视积薪后，一狼洞其中，意将隧入以攻其后也。
身已半入，止露尻尾。
屠自后断其股，亦毙之。
乃悟前狼假寐，盖以诱敌。
狼亦黠矣，而顷刻两毙，禽兽之变诈几何哉？止增笑耳。
【小题1】填空（3分）
《狼》选自《》，作者__________，（朝代）文学家。
【小题2】给加点字注音（2分）
屠大窘（）目似瞑（）顷刻（）狼亦黠矣（）
【小题3】解释下列句中加点字（4分）
①缀行甚远②其一犬坐于前
③屠自后断其股④止有剩骨
【小题4】选出加点字意义相同的一项（）（2分）A．恐前后受其敌盖以诱敌B．一狼得骨止止有剩骨C．意暇甚意将隧入以攻其后也D．复投之亦毙之【小题5】翻译下列句子（4分）
①场主积薪其中，苫蔽成丘。
（2分）
②狼亦黠矣，而顷刻两毙，禽兽之变诈几何哉？（2分）
【小题6】狼很狡猾，可终于自取灭亡，这是为什么?这个故事给了你哪些启示?（3分）
1.阅读下面这两首古诗，完成两小题。
（一）秋夜独坐
王维
独坐悲双鬓，空堂欲二更。
雨中山果落，灯下草虫鸣。
（二）夜深
周弼
虚堂人静不闻更，独坐书床对夜灯。
门外不知春雪霁，半峰残月一溪冰。
【小题1】两诗中均写了夜景，又有所不同。
请具体说明。
【小题2】两诗中均有“独坐”，而作者心境不同。
试简要分析。
2.诗词赏析。
客路青山下，行舟绿水前。
潮平两岸阔，风正一帆悬。
海日生残夜，江春入旧年。
乡书何处达，归雁洛阳边。
【小题1】颈联中的哪两个字形象生动地体现了自然时序交替的哲理？
【小题2】这首诗抒发了作者怎样的思想感情？
3.读下面的诗和词，回答小题。
大林寺桃花
白居易
人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。
长恨春归无觅处，不知转入此中来。
清平乐
黄庭坚
春归何处？寂寞无行路。
若有人知春去处，唤取归来同住。
春无踪迹谁知？除非问取黄鹂。
百啭无人能解，因风飞过蔷薇。
【小题1】二者反映的作者感情的共同点是什么？
【小题2】二者反映的作者感情的不同点是什么？
【小题3】两作者在寻觅春天的方法上有所不同，找出相关的两句来。
1.请你以“那一次我真的很棒”为题，写一篇作文。
要求： (1)必须结合自己的生活经历，写出真情实感。
(2)文中不得出现真实的地名、校名和人名；除诗歌外，文体不限；不少于600字。