9.1.2三角形的内角和与外角和

活动一：
撕一撕 拼一拼
3 3 平角：1800
0 三角形的内角和是180 。
1
2
0 三角形的内角和等于180 .
证法１：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2 ∠C=∠1
E
2
B
A
1
(两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
F
C
0 三角形的内角和等于180 .
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它 们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴， 发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大， 我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这 是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
结论
直角三角形的两个锐角互余。
三角形的一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角 ：三角形的一个外角 和相 邻内角有什么数量关系？ ：三角形的一个外 角和与它不相邻的两个内 角有什么数量关系？ ：三角形的一个 外角和与它不相邻的两 个内角有什么大小关系？
相邻的内角 外角
（图1）
不相邻的内角
∠ABC ∠BAC ∠ACB 540 所以∠1+ ∠2+∠3+______+______+______=___ °
又因为∠ACB+ ∠BAC+ ∠ABC =180° 归纳结论： 360 ° 三角形的外角和等于 360 所以∠1+ ∠2+ ∠3 =______ °
1.三角形的内角和等于多少度？ 2.直角三角形的两个锐角是什么关系？ 3.、三角形的外角性质：
A
E B
H
D C
如图：∠1＝25°，∠2＝95°，∠3 30 ° ＝30°，则∠4＝ _______
D
C 1 A 4 2 3
E
B
判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
C
∠3
> ∠1
E 1 B A 2
3
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1 ∴∠3 >∠1
D
如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， A ∠ADC=80 ˚ ， ∠BAC=70˚. 求： （1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。 解 ：(1) ∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知) B 80 ˚ C D ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚ （三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵ ∠B=∠BAD（已知） ∴∠B=40 ˚（等量代换） （2） ∵在⊿ABC中 ∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚ （三角形的内角和为180 ˚ ） ∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚ =70 ˚
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
A
E
1
2
C
D
0 三角形的内角和等于180 .
证法3：过A作AE∥BC， E
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的 两个外角中取一个，这样取得的三个外角相 加所得的和，叫做三角形的外角和。
思考：三角形的内角和等于180°， 那么三角形的外角和等于多少度？
探索2
如图，因为 ∠ABC ∠1+_______=180 °
∠BAC ∠2+_______=180 ° ∠ ACB ∠3+_______=180°
挑战！！！
如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ A 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
B 12
C D E （三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C =∠1+∠2+∠C =180°
发现： ∠１＋∠２＝∠４
为什么？
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A
A
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
A
B 解：
C
D
∠ACD+ ∠ACB=180° ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
三角形的一个外角和与它不相邻的 两个内角有什么大小关系？
A
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
B
C
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180度。 做一做
27 1、n=___
81 72 n
x
29 x=____
59 y=____
y
122
x
31
2、在直角三角形中，∠C是直角， 则∠A与∠B的和是多少？
解: ∵ ∠ACB + ∠ACD= 180 °
又∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B= 180 ° ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B ∴∠ACD＞∠A
B A
∠ACD＞∠B
C

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180°
∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
∠ACD> ∠ A ∠ACD> ∠ B
外角+相邻的内角=180 ˚ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
求下列各图中∠1的度数 （并说明理由）
90°
120° 1 30° 60° 35° 1 1
85°
45°
50°
如图所示， △ABC的高BD、CE交于H点， ∠A=50°,求∠BHC的度数？
A
（图2）
B
C
D
三角形的一个外角和相 邻内角有什么 数量关系？
A
D C 发现： ∠ACB＋∠ACD＝180°
B
∴外角+相邻的内角=180 ˚ 三角形的外角角于相邻内角和为180度
三角形的一个外角和与它不相邻的两个 内角有什么数量关系？
在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把∠１、 ∠ ２剪下拼在一起，放到∠ ４上，看看会出现什么 结果？
向 效 率 要 质 量
①外角+相邻的内角=180
˚
②三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。
不相邻的内角。
③三角形的外角大于任何一个与它
4.三角形的外角和等于多少度？ 5 、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角 的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽 可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
凭 勤 奋 出 成 果