吉林省乾安县2017-2018学年高二上学期期中考试理数试卷 Word版含解析

吉林省2017-2018学年高二上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.ABC ∆中，01,30a b A ==，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120° 【答案】B考点：正弦定理.2.，…，则 ） A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项 【答案】B 【解析】试题分析：数列，8，…，所以数列的通项公式为12-=n a n ，所以2012=-n ，解得7=n ，故选B.考点：数列的概念及简单表示法. 3.已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．1-2 B ．-2 C ．2 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：325q a a ⋅=，即3241q ⋅=，解得21=q ，故选D.考点：等比数列的性质.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a +=，则19S 的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定 【答案】B 【解析】 试题分析：9519219217319119=⋅+=⋅+=aa a a S ，故选B. 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前n 项和. 5.设a R ∈，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：（1）不等关系与不等式；（2）充要条件.6.若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．3D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如下图所示，由图可知，当1=x ，1-=y 时，2z x y=-取最大值3；故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（ ） A ．12B ．22a b + C ．2ab D ．b 【答案】D考点：（1）基本不等式；（2）不等关系与不等式.8.ABC ∆中，sin 2sin cos A C B =，那么此三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：∵π=++C B A ，即()C B A +-=π，∴C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=． 又C B A sin cos 2sin =，∴C B C B C B sin cos 2sin cos cos sin =+．变形得：0sin cos cos sin =-C B C B ，即()0sin =-C B ．又B 和C 都为三角形内角，∴C B =，则三角形为等腰三角形．故选C ．考点：三角形形状判断.【方法点晴】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意三角形内角和定理及三角形内角的范围的运用，属于中档题．由三角形的内角和及诱导公式得到)sin(sin C B A +=，右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到()0sin =-C B ，由B 与C 都为三角形的内角，可得C B =，进而得到三角形为等腰三角形．9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS =（ ） A ．310B ．13C ．18D ．19【答案】A考点：等差数列的前n 项和.10.已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++，则此数列的第n 项为（ ）A ．25n -B ．23n -C ．21n -D ．21n + 【答案】B 【解析】试题分析：已知等差数列{}n a 的前三项依次为1,1,23a a a -++，故有()32112++-=+a a a ，解得0=a ，故等差数列{}n a 的前三项依次为1-，1，3，故数列是以1-为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式()32211-=-+-=n n a n ，故选B ．考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的通项公式. 11.设0,0a b >>，若3是3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．1D ．14【答案】A 【解析】试题分析：∵3是3a与3b的等比中项，∴ba b a +=⋅=33332，∴2=+b a ．0>a ，0>b ．∴()22221221112111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+b a a b b a a b b a b a b a ．当且仅当1==b a 时取等号．故选A ．考点：基本不等式.12.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x y R ∈、，都有()()()f x f y f x y =+ ，若()()11,*2n a a f n n N ==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：抽象函数及其应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x y R ∈、，都有()()()f x f y f x y =+ 得到数列{}n a 是等比数列，属中档题．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数的特征，特别是定义域上的恒等式，正确利用变量代换解题是关键所在，在该题中根据()()()f x f y f x y =+，令n x =，1=y ，可得数列{}n a 是以21为首项，以21为等比的等比数列，进而可以求得n S ，进而n S 的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知等差数列{}n a 的公差147972,50d a a a a =-++++= ，那么36999a a a a ++++ 的值 是__________． 【答案】82- 【解析】试题分析：826650222974199963-=+=++++++=++++d d a d a d a a a a a ，故答案为82-. 考点：等差数列的性质.14.已知点()3,1-和()4,3--在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是__________． 【答案】611a a ><-或考点：一元二次不等式所表示的区域.【方法点晴】本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，根据A 、B 在直线同侧，则A 、B 坐标代入直线方程所得符号相同构造不等式是解答本题的关键．由已知点()3,1-和()4,3--在直线320x y a -+=的同侧，我们将两点坐标代入直线方程所得符号相同，则我们可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．15.不等式2210x x -->的解集是_________． 【答案】1|12x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 【解析】试题分析：不等式2210x x -->的解集是1|12x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或，故答案为1|12x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或. 考点：一元二次不等式的解.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin 3A =，b B =，则 a =__________．【答案】3考点：正弦定理.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）若不等式2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 【答案】1|3x 2x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得21，2为方程0252=-+x ax 的两根然后根据韦达定理求出a 的值，代入即可求22510ax x a -+->的解集. 试题解析：∵不等式2520ax x +->的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， ∴21，2为方程0252=-+x ax 的两根， ∴根据韦达定理可得a2221-=⨯，∴2-=a不等式22510ax x a -+->为03522>+--x x ，其解集为1|3x 2x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭考点：一元二次不等式的解. 18.（本小题满分12分）ABC ∆中，7,3BC AB ==，且sin 3sinB 5C =． （1）求AC 的长；（2）求A ∠的大小．【答案】（1）5；（2）0120A ∠=.考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 19.（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==． （1）求{}n a 的通项；（2）求13519a a a a ++++ 的值． 【答案】（1）283n a n =-；（2）20-. 【解析】考点：（ 1）等差数列的通项公式；（2）数列求和. 20.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且139,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}2n a 的前n 项和n S ． 【答案】（1）n a n =；（2）()1n S n n =+. 【解析】试题分析：（1）由题设知1218112d dd++=+，由此能求出{}n a 的通项公式；（2）由等差数列的前n 项和公式求结果.试题解析：（1）由题设知公差0d ≠，由1139=1,,,a a a a 成等比数列得1218112d dd++=+， 解得1d =，或0d =（舍去），故{}n a 的通项()111n a n n =+-⨯=； （2）由（1）易得n a n 22=，故()1n S n n =+. 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前n 项和. 21.（本小题满分12分）某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台．每批都购入x 台（x 是自然数）且每批均需付 运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费 与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若 每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔 费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 【答案】只需每批购入120台，可以使资金够用．考点：基本不等式在最值中的应用.【方法点晴】本题主要考查函数的实际应用题，根据条件建立函数关系，求出系数k 的值是解决本题的关键．利用基本不等式是解决最值问题的基本方法，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一，在利用基本不等式的过程中一定要注意等号成立的条件能否取得，否则将会是利用对勾函数的性质得到最值． 22.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-= ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）11322n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）()n n n T 21488+-=.【解析】试题解析：（1）解：当1n =时，112S a =-，则11a =，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，则12n n a a -=，∴112n n a a -=，所以，数列{}n a 是以首相11a =，公比为12，而112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）∵1n n n b b a +=+，∴1112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-10122111111112113212222212n n n ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，又11b =满足，∴11322n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）∵()11322n n n C n b n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()022111111223122222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．．．①而()2311111112231222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ．．．．．② ①---②得：012111111122222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()111811244848841222212nn nn n n T n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．考点：（1）数列递推式；（2）数列的通项公式；（3）数列求和.【方法点晴】本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和，难度适中；解题中，在利用1--=n n n S S a 这一常用等式以及()n f b b n n =-+1时，用累加法求其通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}na 为等差数列，{}nb 为等比数列等.。