北师大版数学高二-必修5试题 3-1-2不等关系与不等式(二)
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • •
是( ) A．a·lgx>lgx·b(x>0) B．ax2>bx2 C．a2>b2 D．a·2x>b·2x
• 解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，
a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
• 对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2， • ∴ax2>bx2不成立，故应排除B； • 对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－ • • • 答案：D
m＋n＝4， 于是得 m－n＝2， m＝3， 解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
解析：由已知得 2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a －b≤2，又 f(－2)＝4a－2b. 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－ n)· b.
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论， 或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不 等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小 得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双 向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的 对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断 要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符 号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.
北师大版数学高二-必修5试题 3-3-1基本不等式
§3 基本不等式3.1 基本不等式双基达标 (限时20分钟)1．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是 ( )．A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析 3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y 即x ＝y ＝52时取等号． 答案 D2．设a ＞0，b ＞0，下列不等式中，不正确的是 ( )．A ．a 2＋b 2≥2|ab | B. b a ＋a b≥2 C. b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D .1a ＋1b ≤1a ＋b解析 A 、B 显然正确；C 中b 2a ＋a 2b－(a ＋b ) ＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab ≥0， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ；D 中1a ＋1b －1a ＋b ＝(a ＋b )2－ab ab (a ＋b )＝a 2＋b 2＋ab ab (a ＋b )＞0，∴1a ＋1b ＞1a ＋b ，∴D 不正确．答案 D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析 ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，∴2(a 2＋b 2)＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥2.答案 C4．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．解析 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当 a ＝b ＝3时取等号．答案 [6，＋∞)5．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是________．解析 由基本不等式可知①④正确．答案 26．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 ∵ a ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2， b ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b 2， ∴ a ＋12＋ b ＋12≤34＋34＋12(a ＋b )＝2 (当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”)． 综合提高（限时25分钟）7．下列结论正确的是 ( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值 答案 B8．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③解析 ③显然合适．①中令a ＝23，b ＝23，②中a ＝b ＝1，④中a ＝－3，b ＝0，⑤中a ＝ －1，b ＝－4.答案 D9．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2 ＝4，即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴2a －b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案 m ＞n10．下列不等式的证明过程：(1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2 b a ·a b＝2； (2)若x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ；(3)若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2 |x |·4|y |； (4)若a ，b ∈R ，ab ＜0，则b a ＋a b＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－a b ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－b a ·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－2. 其中正确的序号是________．解析 ①②③都错在符号上．答案 ④ 11．设a ，h 分别为△ABC 的底边和高，且满足ah ＋4a ＋h ＝12，求△ABC 的面积S 的最大值． 解 因为a ，h ＞0，所以4a ＋h ≥24ah ＝4ah .所以由原式可得ah ＋4 ah ≤12，即(ah )2＋4ah －12≤0.所以－6≤ah ≤2，又ah ＞0，所以0＜ah ≤2，当4a ＝h 时，有a ＝1或a ＝－3(舍去)，即当a ＝1时，取等号，此时ah 有最大值2.所以当a ＝1，h ＝4时，S △ABC 的面积最大值为2.12．(创新拓展)求证：log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤a ＋b －1.证明 因为14a ＋14b ≥2 14a ·14b＝2·2－a ·2－b ＝2－(a ＋b －1)＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1，又因为y ＝log 0.5x 为减函数，所以log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤log 0.5⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1＝a ＋b －1， 当且仅当14a ＝14b ，得a ＝b 时，等号成立．。
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒a>b，命题是真命题； 2 3 (5)例如－3<－2<0，3<2，命题是假命题． －a>－b>0 －a>－b>0 ⇒ 1 a<b<0⇒1 1 1 a>b －b>－a a b ⇒b>a.
• [变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确的
1 综上知：当 a>1 时，a>a； 1 当 a＝1 时，a＝ ； a 1 当 0<a<1 时，a<a.
• [变式训练4] 已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a
• • • • • • • •
＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小． 解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝abn＋anb－an＋1－bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)， ∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1， ∴①当a>b>0时，a－b>0，bn<an. ∴(a－b)(bn－an)<0.
项呢？ 证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的 特点可以有不同的证明方法． (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重 要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的 问题应当选择不同的方法进行解决： ①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我 们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解， 配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形 到能看出与0的大小关系．
高中数学 第三章 不等关系与不等式1典型例题素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第三章不等关系与不等式1典型例题素材北师大版必修5【例1】已知a<b<0,判断下列不等式是否成立.(1); (2);(3)|a|>|b|; (4)a2>b2; (5); (6).【例2】设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.参考答案例1【分析】综合使用不等式的诸种性质判断.【解】(1)∵a<b<0,∴ab>0.即>0a·成立.(2)取a=-2,b=-1,则a-b=-1,则不成立.(3)∵a<b<0,∴-a>-b>0|a|>|b|>0成立.(4)将-a>-b>0平方得:a2>b2>0成立.(5)由(3)知|a|>|b|>0成立成立不成立.而可正可负，故原不等式不成立.【点拨】肯定命题须证明，否定结论举反例.对(6),使用的方法是:作差→分解因式→判断符号.例2【分析】∵f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,又a+b与a-b中的a、b不是独立的,而是相互制约的,因此，若将f(-2)用a-b和a+b表示则问题得解.【解】设f(-2)=m·f(-1)+nf(1),(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即:4a-2b=(m+n)a-(m-n)b比较两边a、b的系数得方程:解之得∴f(-2)=3f(-1)+f(1),∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.【点拨】利用不等式求范围，要注意“度”的把握，过度的放、缩，容易出错.。
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• [例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小． • 解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6 • ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)， • ∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
• [变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1
• [例8] 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路
程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半 时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同， 则 ( ) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
• •
• 分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人
所用的时间，再用比较法求解．
x x－2y 以及y的取值范围．
解析：∵30<x<42,16<y<24， 1 1 1 ∴－48<－2y<－32，24<y<16， ∴30＋16<x＋y<42＋24，即 46<x＋y<66， 30－48<x－2y<42－32，即－18<x－2y<10. 30 x 42 5 x 21 < < ，即 < < . 24 y 16 4 y 8
• 1．1 不等关系 • 1．2 比较大小
• 1.不等式与等式之间主要有哪些异同？ • 不等式与等式是生活、生产实践中最常见的
关系式，其相异的性质主要在与数相乘时， 不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结 论不同；而等式则不然．等式与不等式的性 质对比如下表：
• 2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事 •
• 分析：本题是关于x的一元二次函ห้องสมุดไป่ตู้，可以
北师大版数学高二必修5试题 3.2.1一元二次不等式的解法
课后巩固作业（十七）(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.不等式2x2-x-1>0的解集是( )(A)(-12,1)(B)(1，+∞)(C)(-∞，1)∪(2，+∞)(D)(-∞,-12)∪(1,+∞)2.不等式|x|(x-2)≥0的解集是( )(A){x|x≥2} (B){0}∪［2,+∞)(C){x|x>2} (D){0}∪(2,+∞)3.下列不等式的解集是R的为( ) （A）x2+2x+1＞0 （B）2x＞0（C）(12)x+1＞0 （D）1x-13＜1x4.如果不等式f(x)=ax2-x-c>0(a,c∈R)的解集为{x|-2<x<1}，那么函数y=f(-x)的大致图像是( )二、填空题（每小题4分，共8分）5.函数26x x--______.6.若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝______，b＝_______.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知函数f(x)=x 2+ax+6.（1）当a=5时，解不等式f(x)<0;（2）若不等式f(x)>0的解集为R ，求实数a 的取值范围.8.解关于x 的不等式x 2-ax-2a 2<0.【挑战能力】(10分)已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤0}，若B ⊆A,求a 的范围.答案解析1.【解析】选D.由2x 2-x-1>0得(x-1)(2x+1)>0,解得x>1或x<-12,从而得原不等式的解集为(-∞,-12)∪(1,+∞)，故选D. 2.【解析】选B.∵|x|≥0,∴原不等式等价于x-2≥0或x=0，即x=0或x≥2，故选B.3.【解析】选C.x 2+2x+1＞0可化成（x+1)2＞0,解集为{x|x≠-1}.0可化成|x|＞0,解集为{x|x≠0}.对于任意x ∈R,有(12)x ＞0＞-1, 因此（12)x +1＞0的解集为R. 对于不等式1x -13＜1x，解集为{x|x≠0}.[] 4.【解析】选C.由f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}，可得a<0，且121a c 21a⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩,解得a=-1，c=-2.∴f(-x)=-x 2+x+2,令f(-x)=0，得x 1=-1,x 2=2，故选C.5.【解析】由6-x-x 2>0可得x 2+x-6<0即(x+3)·(x-2)<0，所以-3<x<2.答案：(-3,2)6.独具【解题提示】由一元二次不等式的解集可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，利用根与系数的关系求解.【解析】根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由根与系数的关系知()()b 121a 1122a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪-=-⨯=-⎪⎩，解得 a=12,b=-12. 答案: 12 -12 7.【解析】（1）当a=5时，f(x)=x 2+5x+6，f(x)<0,即x 2+5x+6<0,解得-3<x<-2，所以不等式f(x)<0的解集为{x|-3<x<-2}.（2）由f(x)>0的解集为R ，可得Δ<0，即a 2-4×1×6<0,解得.∴a 的取值范围为}.独具【方法技巧】1.一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.2.解决恒成立问题的基本方法：一是引进函数关系后，通过函数图像实现数形结合；二是等价转化，转化为求函数的最值或值域.8.独具【解题提示】对a 的值分a<0，a=0，a>0进行讨论.【解析】原不等式可转化为（x-2a ）(x+a)<0，方程（x-2a ）(x+a)＝0的两根为-a,2a.(1)当a>0时，2a>-a ，不等式的解集为{x|-a<x<2a};(2)当a=0时，x 2<0无解；(3)当a<0时，2a<-a ，不等式的解集为{x|2a<x<-a}.综上可得当a>0时，不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<-a}；当a=0时，不等式的解集为Ø.【挑战能力】独具【解题提示】先确定集合A，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系结合B⊆A,建立关于a的不等式组求解.【解析】易得A＝{x|1≤x≤4}.设y＝x2－2ax＋a＋2(*)(1)若B=Ø,则显然B⊆A,由Δ<0得4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2.(2)若B≠Ø，则抛物线(*)的图像必须具有如图特征：即应有{x|x1≤x≤x2}⊆{x|1≤x≤4}，从而()()()24a4a20f1a30f47a1802a142⎧∆=-+≥⎪=-+≥⎪⎪⎨=-+≥⎪-⎪≤≤⎪⎩-解得：2≤a≤187，综上所述可知a的取值范围为{a|-1<a≤187}.。
高中数学北师大版高二必修5_第三章3.2_基本不等式与最大(小)值_作业_word版含解析
[学业水平训练]1．已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )A ．有最大值2，有最小值－2B ．有最大值2，但无最小值C ．有最小值2，但无最大值D ．有最大值2，有最小值0解析：选A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.2．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( ) A ．有最大值－6 B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2解析：选B.∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x ＝5时，取“＝”号．3．已知x 、y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( )A.14B.18C.116D.132解析：选C.∵x 、y 为正实数，∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋4y 22＝116，当且仅当x ＝4y 且x ＋4y ＝1，即x ＝12，y ＝18时取等号． 4．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )A ．最大值8B ．最小值8C ．最小值6D ．最大值6解析：选C.∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上，∴x ＋3y ＝2.∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝232＝6.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．∴代数式3x ＋27y 有最小值6.5．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析：选C.设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m )．故选C.6．已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)因为x ，y 都是正数，且xy ＝15，由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝215.当且仅当x ＝y ＝15时，取等号．(2)因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝15，由基本不等式得xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254.当且仅当x ＝y ＝7.5时，取等号．答案：(1)215 (2)22547．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y ＝400v ＋25×⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋25v 400≥2400v ×25v 400＝10.当且仅当v ＝80时，等号成立．答案：108．有下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2； ②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2. 其中正确推导过程的序号为________．解析：从基本不等式成立的条件考虑．∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①推导正确； 虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0，1)时，lg x 是负数，y ∈(0，1)时，lg y 是负数，故②的推导过程是错误的；③的推导过程中a ∈R ，不符合基本不等式的条件，故4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的． 对于④，由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件．故正确．答案：①④ 9．设x >0，求证：x ＋22x ＋1≥32. 证明：∵x >0，∴x ＋12>0，∴x ＋22x ＋1＝x ＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－12≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－12＝32.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． 10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米．(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？并求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得⎩⎨⎧a 2＋4·12h ′a ＝2，h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′， 解得a ＝1h 2＋1(a >0)． (2)由V ＝13a 2h ＝h 3（h 2＋1）(h >0)， 得V ＝13⎝⎛⎭⎫h ＋1h .而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2. 所以V ≤16，当且仅当h ＝1h，即h ＝1时，等号成立． 故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米． [高考水平训练] 1．在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A.134B ．4C ．8 D.54解析：选B.g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x＋1≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1，3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4.2．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是__________．解析：∵2a ＋2b ＝2a ＋b ，∴2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ，即2a ＋b ≥22a ＋b .∴2a ＋b ≥4.又∵2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，∴2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，即2c ＝2a ＋b ()2c －1.∴2c 2c －1＝2a ＋b ≥4，即2c 2c －1≥4，∴4－3×2c 2c －1≥0， ∴2c ≤43，∴c ≤log 243＝2－log 23， ∴c 的最大值为2－log 23.答案：2－log 233．(1)若x 、y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值；(2)若x >－1，求y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∵x 、y ∈R ＋，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×24y x ·x y＝18. 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.(2)法一：y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（x ＋1）2＋x ＋2x ＋1＝（x ＋1）2＋（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1＋1. ∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝(x ＋1)＋1x ＋1＋1≥2＋1＝3. 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，函数有最小值3. 法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.∴y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（t －1）2＋3（t －1）＋3t ＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1t＋1. ∵x >－1，∴t ＝x ＋1>0.∴y ＝t ＋1t ＋1≥2t ·1t＋1＝3. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1，即x ＝0时，函数有最小值3. 4．某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200 m 2，高度一定的三段污水处理池(如图)．由于受地形限制，其长、宽都不能超过16 m ，如果池的外壁的建造费单价为400元/m ，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m ，池底的建造费单价为80元/m 2，试设计水池的长x 和宽y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．解：设污水池长为x m ，则宽y ＝200x m ，且0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200x，设总造价为Q (x )，则Q (x )＝400(2x ＋2×200x )＋248×2×200x ＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000≥1 600 x ·324x＋16 000＝44 800.当且仅当x ＝324x(x >0)，即x ＝18时取等号，∴44 800不是最小值． 又∵0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200x， ∴102<x ≤16，而Q (x )在(102，16]上单调递减，∴Q (x )≥Q (16)＝800(16＋32416)＋16 000＝45 000(元)． 故水池长为16 m ，宽为12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为45 000元．。
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • • • •
[例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则 (5)若a<b<0，则
• 解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法
确定ac与bc的大小，所以是假命题； • (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝ 0时，ac2＝bc2，所以是假命题； • 变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命题； • (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命 题是真命题；
• [例4] 已知a>0，试比较a与
∵a>0，
的大小．
2 1 a －1 a－1a＋1 解析：∵a－a＝ a ＝ ， a
a－1a＋1 1 ∴当 a>1 时， >0，有 a> ； a a a－1a＋1 1 当 a＝1 时， ＝0，有 a＝a； a a－1a＋1 1 当 0<a<1 时， <0，有 a<a. a
1 1 ③b<0<a；④0<b<a，其中能使 a < b 成立的充分条件有 ________．
1 1 b－a 解析：a<b⇔ ab <0⇔b－a 与 ab 异号，而①②④能使 b－a 与 ab 异号．
答案：①②④
• [例7] 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求
f(－2)的取值范围．
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
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1.2 不等关系与不等式（二）
双基达标 限时20分钟
1．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是 ( )．
A．a－c＞b－d B．ac＞bd
C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c
解析 ∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d(同向可加)．
答案 C
2．若1a＜1b＜0，则下列不等式①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中正确的有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解析 由
1a＜1
b
＜0⇒b＜a＜0.所以①正确；②错误；③错误．
答案 A
3．如果a>0>b且a＋b>0，那么以下不等式正确的个数是 ( )．
①1a<1b ②1a>1b ③a3b 解析 ∵0 7．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是 ( )． 答案 A 解析 ∵b－a＝6－4a＋3a a)2≥0，∴c≥b，∴c≥b＞a. ①cos x＋1cos x≥2； ②ca＜cb(a＞b＞c＞0)； 解析 ①cos x＜0时，不成立；③lg(ab)＞lg a－lg b⇔lg(ab)＞lg ab⇔ab＞ab⇔b＞1与已知 求证：ma－c＞mb－d. 又∵m＜0，∴ma－c＞mb－d. ＝a＋a－1－a＋1＋aa＋1＋aa＋a－1
解析 由a>0>b知①不正确，②正确；a3b－ab
3＝ab(a＋b)·(a－b)<0，故③正确；a3－ab2
＝a(a＋b)(a－b)>0，故④不正确；a2b－b3＝b(a＋b)(a－b)<0，故⑤正确．
答案 B
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y，－xy按从小到大的顺序排列如下：________.
解析 ∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，
∴－xy＜x，－xy＞－y，∴y＜－y＜－xy＜x.
答案 y＜－y＜－xy＜x
5．若0
＝58.∴a<2ab<12
高中数学
答案 a<2ab<12
解 abc＋a＋b＋c－(ab＋bc＋ac＋1)
＝(abc－ab)＋(a－ac)＋(b－bc)＋(c－1)
＝ab(c－1)＋a(1－c)＋b(1－c)＋(c－1)
＝(c－1)(ab－a－b＋1)＝(c－1)[(ab－a)－(b－1)]
＝(c－1)(b－1)(a－1)．
∵a＞1，b＞1，c＞1，∴a－1＞0，b－1＞0，c－1＞0，
∴(c－1)(b－1)(a－1)＞0，∴abc＋a＋b＋c＞ab＋bc＋ac＋1.
综合提高
（限时25分钟）
A.1a＜1b B.－a＜b
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
解析 ∵a＜0，b＞0，∴
1a＜0，1b＞0，∴1a＜1
b
成立．
8．已知实数a，b，c满足b－a＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是
( )．
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
2＝3a－232＋143＞0，∴b＞a，∵c－b＝4－4a＋a2
＝(2－
答案 A
9．已知a，b，c均为正数，且b＜c，则ab与ac＋bc的大小关系是________．
解析 法一 ∵a＞0，且b＜c，∴ab＜ac，∵c＞0，b＞0，
∴bc＞0.∴ac＋bc＞ac＞ab，即ab＜ac＋bc.
法二 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴0＜a＜a＋b.又∵0＜b＜c，
∴ab＜c(a＋b)，即ab＜ac＋bc.
法三 ab－(ac＋bc)＝a(b－c)－bc.
∵b＜c，∴b－c＜0，而a＞0，∴a(b－c)＜0.
又∵b＞0，c＞0，∴bc＞0，－bc＜0，
∴a(b－c)－bc＜0.即ab－(ac＋bc)＜0.∴ab＜ac＋bc.
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高中数学
答案 ab＜ac＋bc
10．给出下列不等式：
③lg(ab)＞lg a－lg b(1＞a＞b＞0)；
④ac2＞bc2(a＞b＞0)．
请将以上恒成立的不等式的序号都填在横线上________．
矛盾；④c＝0不成立，故填②.
答案 ②
11．已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴1a－c＜1b－d.
12．(创新拓展)若a≥1，比较a＋1－a与a－a－1的大小．
解 ∵(a＋1－a)－(a－a－1)
＝1a＋1＋a－1a＋a－1
＝a－1－a＋1a＋1＋aa＋a－1＜0，
∴a＋1－a＜a－a－1.