第4章 直线与平面、平面与平面

h f
n
2
5、连接KH，KH即 为所求。
§4-3 直线与平面、平面与平面垂直
4. 3 垂直问题
4.3.1 直线与平面垂直 4.3.2 平面与平面垂直
4.3.1 直线与平面垂直
V C E B
A
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
n
V
a A C E
k d
e
k
a l
k b
f n
c H n
4.2.2
A E
辅助平面法
K
1
2
D
C
B
过AB作平面P垂直于H投影面
例7 直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。1）求交点
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 ⅠⅡ。 e O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 点K。 e
d 作图过程 a
1
k 2
c X c
b
e O
b 1 k d
所求距离
a
2 e
例21已知菱形ABCD的一边AD在直线AE上，另一边AB平行 于三角形LMN，点B在直线FG上，求作该菱形的两面投影。
c‘
l′
b’
g′
d‘
e′
f′
n′ n
m′
a′ a
m
d
e g
l
b c
f
c′ l′ b′ f′
3. 垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
4. 综合问题分析及解法
（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法； （2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解 题步骤和方法。
例10 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n
f c a
d f a d m b m
c
b n
例11 求点K到平面的距离 。
k’
f
2‘
1.过点K作直线垂直于平面（KM）；
c
o’
2.求KM与平面交点-垂足（O）； 3.求垂线段KO实长。
a d
a d
1 1‘
b
m’ m 2
m
P
b f n k l a
c
X m
O k b a l
f
l
H
c
n 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
平面可见性的判别
V M B K F m L X m n c m f
b k
l a a l
O
N C c
f
例3
试判断两平面是否平行
a b n m c r f s e
X c n m a
d e
O
d
s
r
f b
结论：两平面平行
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K 作一平面平行于已知平面 。 a s
d m b
X
n
c c n r
f
k
e
O
r e k d a f s
c
b
X
B
a k e d
O
D
c
b
n 定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
V
f
n
A
C E B D
c
a b f a c b n
k
d X d
k
O
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、 则直线必垂直于该平面。
a
c f
n
例14 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H 面的夹角为45 °。
n X n O
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹
角互为补角
A
C
D

E
B
作图过程？ m
k
|zM-zN| n
mn
|yM-yN|
h
X O
mn n k |yM-yN| m h
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c f e b k a
d X e k d b f c O a
直线与特殊位置平面平行
•
4.1.2
平面与平面平行
P S B A
E
D F C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交 直线，则这两个平面平行。(提示：还有别的判据）
a
d X f
k c b h g
O
a
d
例16 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直。
h c
g k
f b
d
a
c
X
g
O
f k 结论：两平面不垂直。 b
d
4. 4 综合问题分析及解法
4.4.1 空间几何元素定位问题 4.4.2 空间几何元素度量问题
说明
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求 每一个单个问题的投影特性、作图原理与方 法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容 ，需要多种作图方法才能解决。 求解综合问题主要包括：空间几何元素 的定位问题（交点、交线）和空间几何元素 的度量问题（如距离、角度）。 综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
b
c
k
分析 K F
C
H A
E
B 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于 H；连接KH，KH即为所求。
作图步骤
c
PV m a
f1 2 n
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
b a b c k m 1
e e
2、过直线EF作正垂 平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
g′ d′
e′
n′ n
m′
a′ a
m
d e g b c f
l
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2. 相交问题
（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 （2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面 、面相交求交线的作图方法。 （3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
30° 45° NM
直径任取mnຫໍສະໝຸດ |zM-zN|4.3.2
两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例15 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面 h f c g k b
2
1
c e
两一般位置平面相交求交线的方法 B 利用求一般位 置线面交点的方法 找出交线上的两个 点，将其连线即为 两平面的交线。
F
A K
L
E C
D
例8 两平面相交，判别可见性
作题步骤
c k
PV e b
2
d QV
1
X f
l
a
1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 L。 2、连接两个 共有点，画 出交线KL。
第四章 直线与平面、平面与平面的相对位置
§4-1 直线与平面、平面与平面平行
§
4.1.1
直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f a
b
e
X
e f
O
d
a g b
c
结论：直线AB不平行于定平面
作图过程 h 3
d
k
g
c X
e 4 a
2
f
b
1 l l a 3
O
b d
2 f
g
4 h c
e 1
k
4.4.2
空间几何元素度量问题
例20 求点C到直线AB的距离。 a
c X c
b O
b
a
分析
A
K C
P
B 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直 的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与 AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
c X c
b
1 g a h g 1 a h d f 2 f
PV
k k
2
O
b
e
例18 试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f
e X e
a O a
f
分析 A
E
K F
过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。
作图过程
2
f
k
2
f
1
e
a
PV
1
e
a
e
e
2
a
2
k
a
f
f
1
1
例19 求点C到直线AB的距离。 a