1.2 .1怎样判定三角形全等(1)
直角三角形全等的判定(1)
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
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求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
A
F
E
B
D
C
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分 别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF (2)AB∥CD.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
两个三角形全等的识别方法：
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
全等三角形的判定(一)
14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。
2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。
数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。
问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。
情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。
【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。
【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。
“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。
【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。
2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。
教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。
怎样判定三角形全等
的判定方法，并熟练运用全等三角形的判定解 决实际问题。
基本概念：
一、“全等”的理解全等的图形必须满足：
（1）形状相同的图形；
知 识 梳 理
（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形。
二、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等；
两 个
SSS
三
角
形 全
SAS
等
的
判 定
ASA
方
法
AAS
例1、如图所示，：已知AC=AD，请你添加一个条件————，
使得
△ABC≌△ABD 思路
隐含条件AB=AB
找另一边 (SSS)
已 知 两 边
找夹角 (SAS)
变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个条件————，使得
△ABC≌△ABD
思路
等三角形？请任选一对给予证明。
E
答： △ABF≌△DEC
A
F
C
D
△ABC≌△DEF △CBF≌△FEC
B
练习
1：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。
A
F
E C
答： △ABF≌△DEC
证明：∵ AB∥DE
D
∴ ∠A=∠D
在△ABF和△DEC 中
..学..科..网. 隐含条件AB=AB
已 知 一 这边为角的对边 边 一 角
找任一角(AAS)
变式2：如图，已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件————，使得
1.2,1怎样判定三角形全等(SAS)
【提出问题】
(1)全等三角形
等.
相等，
相
(2)全等三角形有哪些性质？如图甲所示已
知△ AOC≌ △ BOD，则∠A=∠B，
∠C=
AC=
C 1 O A
，
，
2 D
=∠2，对应边
B
=OB，
=OD.
甲
(3)如图乙所示，已知△AOC≌△DOB，则 ∠A=∠D，∠C= 对应边AC= AO=
A 1 O C 2 B
课前准备
练习本、铅笔、橡皮、 量角器、刻度尺、 5张白纸
1.2怎样判定三角形全等 （第一课时）
（1）通过操作、叠合、思考和交流等活动，探索判定三角形全等的 方法；发现并了解只具备一个相等条件或两个相等条件不能判定两 个三角形全等。
（2）探索并掌握三角形全等的判定方法1：两边及其夹角相等的两
个三角形全等，能初步运用这个方法判定两个三角形全等。 （3）经历探索三角形全等条件的过程，丰富学生数学活动的经验； 在探索及运用结论的过程中，进行合情推理及有条理的思考和说理， 培养学生的推理能力和运用数学语言进行表达的能力。
答：两个三角形全等。
AB AD（已知） BAC DAC（已知） AC AC（公共边）
A D B
C
ABC ADC （SAS ）
A A
D
C C
当堂练习
1、如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB， ΔABC与ΔDCB全等吗？说明你的理由。
A D
B
C
2、如图，已知AB=AD，AC=AE，ΔABE与 ΔADC全等吗？说明你的理由。
3.怎样找已知条件:
[一是已知中给出的，二是图形中隐含的(如： 公共边 、公共角、对顶角、邻补角，外角、 平角等）]
11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解
全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。
1.2 直角三角形全等的判定(1)s
C(C′)
B′
课堂练习： 0 1、证明:在直角三角形中，30 所对的直 角边等于斜边的一半。 已知：如图：△ABC， ∠ BCA=90°, ∠BAC＝30°， A
1 求证：BC＝ AB 2
B C D
直角三角形30°角所对的直角边 长等于斜边长的一半。 直角三角形还有其他的性质吗？ 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
1.2 直角三角形全等的判定(1)
1、我们已经证明过的判定两个三角形全等的方 法有： SAS 、 ASA 、 SSS 、AAS 。 2、判定两个直角三角形全等除了上面的方法 外，还有其它的方法吗？
定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或 “HL”. 你能证明这个结论吗？
1 求证:BD= AB 4
C
B
D
A
4、在△ABC中，AB=AC，DE是过点A 的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且 AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他 条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请 予证明，若不是请说明理由．
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， 且DE＝DF， 求证：△ABC是等腰三角形。 A
E B E D
F C
2、如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD 相交于点O，如果AD＝BC，那么图中 还有哪些相等的线断，请证明。
D O C
A
B
3、已知：如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.
已知：如图，
在△ABC和△A′B′C′中， ∠ACB=∠A′C′B′=90°， AB=A′B′，AC=A′C′
怎样判定三角形全等
怎样判定三角形全等（一）导学案学习目标：1、通过画图、实验的方法归纳出三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）；2、对于判定方法ASA、AAS在理解其内容的基础上，能灵活地运用它们来识别三角形全等，进而说明线段或角相等；3、在经历画图、实验、发现、应用的过程中，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力。
树立知识源于实践，用于实践的观念。
本节课重、难点：难点是三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）的归纳过程；重点是三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）的应用。
本节课基本流程：教学过程一、课前预习通过上一节的学习，我们知道全等三角形三条边分别对应相等,三个角分别对应相等。
反之，如果这六个元素分别对应相等,这样的两个三角形一定全等.但是,判断两个三角形全等是否一定需要这六个条件同时成立呢?条件能否尽可能少呢?思考1：只知道两个三角形只有一组角或者一组边对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？并用事实来说明你的结论的正确性。
思考2：如果是两个条件成立呢？（两角、两边、一角一边）。
画出适当的图形来说明你的结论。
思考3：那么知道三个条件呢？如：三角、三边、两角一边、两边一角。
请预习课本的28、29两页，寻找问题的答案。
并动手完成下面问题：画△ABC，分别满足以下条件：1、AB=10厘米，∠A=50°，∠B=70°；2、BC=12厘米，∠B=60°，∠C=40°；3、AC=9厘米，∠A=80°，∠C=30°。
二、新课学习（一）情境导入、交流发现结论1：结论2：1、下列两个三角形全等吗？为什么？（二）精讲点拨例1、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，△ABD与△CDB全等吗？为什么？1、根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以由刚才的△ABD≌△CDB你能得到哪些角或线段相等？2、若把题目中的条件“∠1=∠2，∠3=∠4”换作“∠A=∠C，∠3=∠4”，你还能证得△ABD与△CDB全等吗？（三）归纳总结，得出新知：由刚才的证明过程，反思一下，提炼一下，你总结出了什么？大声地说出来吧！（四）体会全等在生活中的应用一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。
1.2怎样判定三角形全等(1)
二、动手实践：两组相等元素
②两组角相等：
二、动手实践：两组相等元素
③一组边和一组角相等： 先横着画一条10cm的线段，然后在线段
左侧画一个30°的角，补充成一个三角形后 同桌两个的图叠在一起，观察一下是否全等。
1.2 怎样判定三角形全等
一、提出疑问
• 至少需要几对相等的元素就能判定两三角 形全等呢？
• 一组？两组？三组？
二、动手实践：一组相等元素
一组元素相等有两种可能：
①一组相等的边； ②一组相等的角。
二、动手实践：一组相等元素
①一组相等的边 在A4纸上横着画一条6cm的线段，然后在
线段上方任意补充两条边，组成一个三角形。 画完后同桌两个的图叠在一起，观察一下是 否全等。
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：两组相等元素
③一组边和一组角相等：
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有四种情况： 三组角分别相等 三组边分别相等
两组边一组角分别相等 两组角一组边分别相等
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：三组相等元素
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两对边和它的夹角 两对边和它一边的对角
两对角和它的夹边
判别三角 （2）两对角和 形全等的 一对边分别相等 三个条件
两对角和一角的对边
（3）三对边分别相等 （4）三对角分别相等 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 简写成“边角边”或“SAS”.
30° 45°
30° 45° 30° 45°
（3）两对边分别相等时 如：
4cm 4cm 6cm来自两个条件不能判定三角形全等
3
寻求判别三角形全等的条件
（1）两对边和 一对角分别相等
两对边和它的夹角 两对边和它一边的对角
两对角和它的夹边
（2）两对角和 三个条件 一对边分别相等
两对角和一角的对边
（3）三对边分别相等 （4）三对角分别相等
A
D
\\ \
\\ \
B
C
E
F
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 简写成“边角边”或“SAS”.
符号语言：在△ABC和△ DEF中，
AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴ △ABC≌△DEF (SAS)
例1
如图，已知 AB=AD ，∠BAC= ∠DAC △ABC 和△ADC 全等吗？说明你C 的理由. D B
A
D
B
C
E
F
已知：△ABC ≌ △DEF,找出其中相等的边和角
△ABC ≌ △DEF
AB=DE，BC=EF，CA=FD ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
1
寻求判别三角形全等的条件
（1）一对边相等
一个条件
（2）一对角相等
（1）只给一对边相等时 如：
3cm
3cm
3cm
（2）只给一对角相等时 如：
45°
45°
45°
一个条件
不能判定三角形全等
2
寻求判别三角形全等的条件
（1）一对边和一对角分别相等
两个条件
（2）两对角分别相等
（3）两对边分别相等
（1）一对边和一对角分别相等时 如：
30° 3cm
30° 3cm
30° 3cm
（2）两对角分别相等时 如：
A
注意: 要充分利用图形中“公共边”这个条 件.
如图，AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？
请说明理由.
B D
A E C
注意: 要充分利用图形中“公共角”这个条 件.
A 如图,已知AC 与 BD相交于点O， OA=OC，OB=OD，△AOB与△COD全等 吗？说明你的理由. D C
B
O
例2
为测量一池塘边上不能直接到达的A，B之间的 距离，小亮设计了如下方案：先在平地上取一个可 直接到达A，B的点C，然后在射线AC上取一点D， 使DC=AC，在射线BC上取一点E，使EC=BC. 最 后测量DE的长，那么DE的长就是A，B之间的距 离.他的方案对吗？为什么？
A
B
·C
E
D
归纳总结