MSDC.初中数学.二次函数A级.第02讲.学生版

内容 基本要求 略高要求
较高要求 二次函数 能结合实际问题情境了解二次函
数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表
达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决
简单的实际问题；
能解决二次函数与
其他知识综结合的有关问题
1. 将平移前的函数化成()2
y a x h k =-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况． 2. 平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即a 不变。

3. 对于函数2y ax bx c =++向左或向右平移m 个单位，其解析式变为()()2
y a x m b x m c =±+±+，其中
向左为“m +”，向右为“m -”。

【例1】 把抛物线2y ax bx c =++向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为
21
2
y x =-，求原来抛物线的解析式。

【例2】 怎样平移抛物线23
4
y x =-，才能使它经过点()1,2M -和()1,1N -两点？
【巩固】把抛物线()2
1y x =-沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点()3,0Q ，求平移后的抛物线的解
析式。

模块二 一般式2y ax bx c =++()0a ≠
1. 任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++()0a ≠的形式
2.
如果已知二次函数的图象上的三点坐标，可用一般式求解二次函数解析式
【例3】 已知已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式 【巩固】已知图象经过点（0，3），（3-，0），（2，5-），且与x 轴交于A 、B 两点．
⑴试确定此二次函数的解析式；
⑵判断点(2,3)P -是否在这个图象上？如果在，请求出PAB ∆面积；如果不在，试说明理由．
【例4】 已知2y ax bx c =++图象分别经过点(03)，，(30)，，(25)--，．求：
⑴求这个二次函数的解析式； ⑵求这个二次函数的最值。

【巩固】已知2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，()0,3B ，()4,5C -三点．
⑴求该抛物线的解析式； ⑵当x 为何值时，3y >；
模块三 顶点式()2y a x h k =-+()0a ≠
1.
任何二次函数的解析式经过配方都可以整理成()2
y a x h k =-+()0a ≠的形式，这叫做二次函数的顶
点式。

(),h k 为抛物线的顶点坐标。

2. 已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式。

3.
对于任意的二次函数2
y ax bx c =++，都可配方为2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭的形式。

【例5】 已知：二次函数的顶点为()1,4A -，且过点()2,5B -，求该二次函数的解析式． 【巩固】已知顶点坐标为(14)，，且其图象经过点(25)--，，求此二次函数的解析式
【巩固】已知二次函数的图象的顶点坐标为(21)A ，且图象与x 轴的两个交点坐标为B 、C (点B 在点C 的
左侧)，若ABC ∆是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式。

【例6】 已知二次函数图象顶点为(32)，，且与直线23y x =+只有一个交点，求二次函数的解析式
模块四 交点式()()12y a x x x x =--()0a ≠
1. 交点式：()()12y a x x x x =--()0a ≠，其中12,x x 为二次函数图象与x 轴的交点的两个横坐标。

2. 已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式。

3. 已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为12
2
x x x +=。

4. 根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则可
知二次函数的对称轴为12
2
x x x +=。

5. 对于任意的二次函数2
y ax bx c =++，当0x =时，利用求根公式可得214b b ac
x -+-=，
224b b ac x ---=，可知22212444||22b b ac b b ac b ac
x x a a a
-+------=-=
6. 对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠。

当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函
数的解析式．
【例7】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()2,0A -，()1,0B ，()0,3C 三点，求这个二次函数的解
析式。

【巩固】已知二次函数的图象经过()1,0M -，()4,0N 和()1,12P -三点，求这个二次函数的解析式 【例8】 二次函数的图象与x 轴的交点坐标是()1,0，()3,0，且函数有最小值5-，求二次函数的解析式。

【例9】 当3x =时，二次函数取最大值1，且图象与x 轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数解析式。

【例10】 已知二次函数图象与x 轴交于(10)A -，、(40)B ，，与y 轴交于C ，且10ABC S ∆=，求二次函数的
解析式
模块五 几种解析式的综合运用
1． 根据已知条件的不同要选择不同的解析式设法。

2． 三种形式是可以互相转化的。

【例11】 已知一个二次函数过(13)A ，、(02)B ，、(53)C ，三点，求二次函数的解析式。

【巩固】已知二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过点()14，、()50，，求二次函数的解析式．
【例12】已知一条抛物线的形状和2y x =相同且对称轴为1
2
x =-，抛物线与y 轴交于一点()01-，，求函
数解析式．
【巩固】已知一抛物线的形状与217
22
y x =
+的形状相同．它的对称轴为2x =-，它与x 轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式为？
【例13】已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A 和点B
⑴求该二次函数的解析式，并写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
⑵点()P m m ，与点Q 均在该函数图象上(其中0m >)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离
1． 已知：二次函数234y x bx c =
++，其图象对称轴为直线1x =，且经过点92,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,求此二次函数的解析
式．
2． 已知二次函数的图象经过(13)-，、(13)，、(26)，三点．
⑴求二次函数的解析式
⑵写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
3． 已知二次函数图象的对称轴平行于y 轴，顶点为()12，，且与直线2y x k =+相交于(21)-，，试求： ⑴二次函数的解析式； ⑵k 的值；
⑶该二次函数的图象与直线2y x k =+的另一交点的坐标．
4． ⑴设抛物线22y x =，把它向右平移p 个单位，或向下移q 个单位，都能使抛物线与直线4y x =-恰好
有一个交点，求p 、q 的值．
⑵把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，
，求p 、q 的值．
5． 已知：关于x 的方程()213210ax a x a --+-=
⑴当a 取何值时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-； ⑵求证：a 取任何实数时，方程012)31(2
=-+--a x a ax 总有实数根.
6． 如图，已知二次函数21
2
y x bx c =-++的图象经过()2,0A ,()0,6B -两点。

⑴求这个二次函数的解析式
⑵设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求ABC ∆的面积
7． 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过()2,0A ，且与直线3
34
y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴
上，点C 在y 轴上。

⑴求二次函数的解析式
⑵如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA ∆的面积POA S ∆与x 之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。

1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．。