离散数学 集合证明
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离散数学
2019/3/2 离散数学 7
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
9
§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学---集合的基本运算
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
abcabac续2?x?a?b?a?c?x?a?b且x?a?c分两种情况a若x?a则x?a?b?cb若x?a由x?axa?b?xb由x?ax?a?b?x?b由x?ax?a?c?x?c?x?b?c?x?a?b?c任何情况均有x?a?b?c?a?b?a?c?a?b?c12合并为a?b?ca?b?a?c求证
只有数学系和计算机系二 年级的学生才选离散数学。
T ( M∪R )∩S ①
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)，
则x(A-B)∧ x(A-C) （xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C) 从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明:B=B(AB) (吸收律)
=B(AC) (等量代入)
=(BA)(BC)(分配律)
=(AC)(BC)(等量代入)
=(AB)C(分配律)
=(AC)C(等量代入)
=C
(吸收律)
说明:AB=ACB=C
AB=ACB=C
两种推理均是不成立的。
课堂练习
用三种方法求证： (B-A)∪A=B∪A
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)
离散数学第三章 集合
别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2018/11/12
2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。
定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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2018/11/12
集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2018/11/12
表示一个特定集合，基本上有两种方法：
一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之 间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一 个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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离散数学 集合
18
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
2
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学简明教程
离散数学简明教程
第一章：数论基础
数论是离散数学中的基础部分，主要研究的是整数及其性质。
这一部分内容将介绍整除、质数、合数、素数定理等基本概念，以及一些重要的数论问题，如中国剩余定理、费马大定理等。
第二章：集合论
集合论是离散数学的基础理论之一，主要研究的是集合及其性质。
这一部分内容将介绍集合的基本概念、集合的运算、幂集、二元关系等基本概念，以及一些重要的集合论定理，如鸽笼原理、康托尔定理等。
第三章：图论
图论是离散数学中最为重要的分支之一，主要研究的是图形的性质和结构。
这一部分内容将介绍图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和欧拉回路、哈密尔顿路径和哈密尔顿回路等基本概念，以及一些重要的图论定理，如克鲁斯卡尔定理、普利姆定理等。
第四章：逻辑学
逻辑学是离散数学的另一个基础理论，主要研究的是推理和证明。
这一部分内容将介绍命题逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑等基本概念，以及一些重要的逻辑学定理，如哥德尔完备性定理、塔斯基不可定义定理等。
第五章：算法分析
算法分析是离散数学的一个重要应用领域，主要研究的是算法的时间和空间复杂度。
这一部分内容将介绍算法分析的基本概念、大O 符号、递归算法等基本概念，以及一些重要的算法分析定理，如阿克曼函数不可计算性定理等。
离散数学 第五章 无限集合
那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。 因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。 但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无 限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。 因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使 证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间 的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须 在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。 我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。 从定理
《离散数学》刘任任版第十章
习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。
设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有： 且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。
2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。
由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。
（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。
因此G=K2。
（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。
故3-色图必含奇回路。
显然，奇回路必是3-临界图。
设G 是含奇回路的3-临界图。
若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。
离散数学-集合
例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。 设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明： ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人 成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为 优的有多少人？ 解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。 画出文氏图，如图3.7所示。 首先填A∩B中的人数，这正是要求 的，设为x。 A-B中的人数是26-x，B-A中的人数 是21-x，分别填入对应的区域。并 列出如下方程： (26-x)＋x＋(21-x)＋17=50 解得：x=14
对称差
定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素， 但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对 称差，记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。 例6 令A=⎨1,2,3,4⎬，B= ⎨1,2,5,6⎬， 则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称 为A和B的交集，记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。 从交集的定义可以得到： A∩B⊆A，A∩B⊆B 如果A与B无公共元素，即 A∩B=φ， 称A和B是互不相交的。 例1 令A=⎨a,b,c⎬，B=⎨d,e⎬， 则A∩B=φ，A和B是互不相交的。
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2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
34
特征函数与集合运算:
AB(x) = A(x)•B(x) ~A(x) = 1-A(x) A-B(x) = A~B(x)=A(x)•(1-B(x)) AB(x) = (A-B)B(x)
= A(x)+B(x)-A(x)•B(x) A B AB(x) = A(x)+B(x) (mod 2)
对偶原理: 对偶式同真假. 或者说, 集合 恒等式的对偶式还是恒等式.
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
10
对偶原理(举例)
分配律
A (B C) = (A B ) (A C ) A (B C) = (A B ) (A C )
排中律
A ~A=E
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
24
德●摩根律的相对形式
A-(BC)=(A-B)(A-C)
A-(BC)=(A-B)(A-C)
证明: A-(BC)
= A~(BC)
(补交转换律)
= A(~B~C)
(德●摩根律)
= (AA)(~B~C) (等幂律)
= (A~B)(A~C) (交换律,结合律)
27
对称差的性质(证明2、续1)
结合律: A(BC)=(AB)C
证明: 首先,
AB = (A-B)(B-A)
(定义)
= (A~B)(B~A) (补交转换律)
= (A~B)(~AB) (交换律) (*)
AB
AB
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
28
对称差的性质(证明2、续2)
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
26
对称差的性质(证明2)
结合律: A(BC)=(AB)C
证明思路： 分解成
A
“基本单位பைடு நூலகம், 例如:
BC
1. A~B~C
2. A B~C
ABC
3. A B C 4. ~A~B~C
41 23
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
排中律(excluded middle)
A~A = E
矛盾律(contradiction)
A~A =
全补律
~ = E ~E =
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
7
集合恒等式(关于-)
补交转换律(difference as intersection) A-B=A~B
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
32
对称差的性质(讨论)
有些作者用△表示对称差: AB=A△B 消去律: AB=AC B=C (习题一,23)
A=BC B=AC C=AB 对称差与补: ~(AB) = ~AB = A~B
AB = ~A~B 问题: ABC=~A~B~C ?
矛盾律
A ~A=
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
11
对偶原理(举例、续)
零律 同一律
A E =E A=
A =A A E=A
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
12
对偶原理(举例、续)
ABA
ABA
A
E A
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
3
集合恒等式(关于与 、续)
吸收律(absorption laws)
A(AB)=A A(AB)=A
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
4
集合恒等式(关于~)
双重否定律(double complement law)
~~A=A
德●摩根律(DeMorgan’s laws)
A =
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
17
排中律(证明)
A~A = E
证明: x, xA~A
xA x~A
(定义)
xA xA
(~定义)
xA xA
(定义)
1
(命题逻辑排中律)
A~A = E
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
33
对称差的性质(讨论、续)
如何把对称差推广到n个集合:
A1A2A3…An = ? x, xA1A2A3…An
x恰好属于A1,A2,A3,…,An中的奇数个 特征函数表达: A1A2…An(x) = A1(x)+A2(x)+…+An(x) (mod 2) = A1(x)A2(x)…An(x) ((mod 2),,都表示模2加法,即相加除以2取余数)
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集合演算法(格式)
题目: A=B. 证明: A
=…(????) =B A=B. #
题目: AB. 证明: A
…(????) B AB. #
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
19
吸收律(证明)
A(AB)=A
A
B
证明: A(AB)
= (AE)(AB) (同一律)
= A(EB)
(分配律)
= AE
(零律)
=A
(同一律)
A(AB)=A
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
20
吸收律(证明、续)
A(AB) = A 证明: A(AB)
A
B
= (AA)(AB) (分配律)
= A(AB)
(等幂律)
=A
(吸收律第一式)
A(AB) = A
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集合恒等式证明(方法)
逻辑演算法: 利用逻辑等值式和推理规则
集合演算法: 利用集合恒等式和已知结论
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《集合论与图论》第4讲
14
逻辑演算法(格式)
题目: A=B. 证明: x,
xA … (????) xB
A=B. #
题目: AB. 证明: x,
xA … (????) xB
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
31
对称差的性质(证明2、续5)
= (((A~B)(~AB))~C) ((~(A~B)~(~AB))C)
= (((A~B)(~AB))~C) ((~AB)(A~B))C) (德•摩根律)
= (A~B~C)(~AB~C) (~A~BC)(ABC) (分配律…) A(BC)=(AB)C. #
= A(x)B(x)
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
35
对称差的性质(讨论、续)
问题: ABC = ~A~B~C ? 答案: ABC = ~(~A~B~C) = ~(AB~C) = A~B~C
ABCD = ~A~B~C~D = A~BC~D = ~(~A~BC~D) =…
~(AB)=~A~B ~(AB)=~A~B
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
5
集合恒等式(关于与E)
零律(dominance laws)
AE=E A=
同一律(identity laws)
A=A AE=A
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
6
集合恒等式(关于,E)
AB=BA AB=BA
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
2
集合恒等式(关于与、续)
结合律(associative laws)
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
分配律(distributive laws)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
AB. #
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
15
分配律(证明)
A(BC)=(AB)(AC)
证明: x, xA(BC)
xA x(BC)
(定义)
xA (xB xC) (定义)
(xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律)
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
22
集合恒等式证明(举例)
基本集合恒等式 对称差()的性质 集族({A}S)的性质 幂集(P( ))的性质
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
23
补交转换律
A-B = A~B 证明: x,
xA-B xA xB xA x~B x A~B A-B = A~B. #
第4讲 集合恒等式
内容提要 1. 集合恒等式与对偶原理 2. 集合恒等式的证明 3. 集合列的极限 4. 集合论悖论与集合论公理
2020/2/29
《集合论与图论》第4讲
1
集合恒等式(关于与)
等幂律(idempotent laws)
AA=A AA=A
交换律(commutative laws)
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对称差的性质(证明2、续3)
= (A(~(B~C)~(~BC))) (~A((B~C)(~BC)))
= (A(~BC)(B~C))) (~A((B~C)(~BC))) (德•摩根律)
= (ABC)(A~B~C) (~AB~C)(~A~BC) (分配律…)
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《集合论与图论》第4讲
30
对称差的性质(证明2、续4)
同理, (AB)C = (AB)~C)(~(AB)C) (*) = (((A~B)(~AB))~C)
(~((A~B)(~AB))C) (*) = (((A~B)(~AB))~C)