第七章 响应面回归设计

二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
回归模型
三元二次响应面模型描述： 二次响应面模型描述： 二次响应面模型描述
Y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2 x3 + 2 2 β11x12 + β22x2 + β33x3 + ε ε ~ N 0,σ 2
二次回归正交设计
查表三因子，中心点重复两次的γ 查表三因子，中心点重复两次的γ=1.2872 )/2γ =Z0+Δ =Z0Δ=(ZM-Zm)/2γ, X1=Z0+Δ, X-1=Z0-Δ 实验因素水平及编码表
编码 上水平 基准水平 下水平 1 0 -0 1.2782 -1.2782 温度（ 压力（ 温度（℃） 压力（MPa） 提取时间（hour） ） 提取时间（ ） 85.54 70 54.46 90 50 7.55 6 4.45 8 4 2.78 2 1.22 3 1
Box－Benhken设计 － 设计
题解：本试验采用 模型， 题解：本试验采用Box-Behnken模型， 模型 以压力X1 温度X2 保压时间X3 以压力 ，温度 ，保压时间 三个 外界因子为自变量，并以+1、 、 分 外界因子为自变量，并以 、0、-1分 别代表自变量的高、 低水平， 别代表自变量的高、中、低水平，对 自变量进行编码， 自变量进行编码，超高压杀灭菌的数 量级Y为响应值 为响应值( 量级 为响应值 Y=-log10 Nt/N0 ，即经超高 压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级， 压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级， Nt为超高压处理后 菌液中的活菌数， 为超高压处理后1ml菌液中的活菌数 菌液中的活菌数， N0为对照1ml菌液中的活菌数 为对照 菌液中的活菌数) 菌液中的活菌数
ˆ 记：yi = b0 + b1xi1 +L+ bp xip，i =1,2,L, n
回归模型
有方和分解式： 有方和分解式：
ˆ ˆ ST = ∑(yi − y) = ∑(yi − yi ) + ∑(yi − y) = SE + SR
2 2 2 i=1 i=1 i=1 n n n
其中： 其中： 残差平方和 回归平方和
回归模型
1. 二次响应面（多元二次多项式） 二次响应面（多元二次多项式） 模型描述： 模型描述：
p p p Y = f (x ) + ε = β 0 + ∑ β j x j + ∑ β jj′ x j x j′ + ∑ β jj x 2 + ε j j =1 j ′< j j =1 ε ~ N 0, σ 2 ，j = 1,2, L , p，j ' = 1,2, L , p
E E
给定的显著性水平α 给定的显著性水平 时拒绝假设H 当 F j > F1−α (1, f E ) 时拒绝假设 0j，即认 为β0j显著不为零，否则认为β0j为 显著不为零，否则认为β 零，可以将对应的变量逐一从回归方 程中删除。 程中删除。
因素水平编码
在回归问题中各因子的量纲 不同，其取值的范围也不同， 不同，其取值的范围也不同，为了 数据处理的方便， 数据处理的方便，对所有的因子作 一个线性变换， 一个线性变换，使所有因子的取值 范围都转化为中心在原点的一个 立方体” “立方体”中，这一变换称为对因 子水平的编码。 子水平的编码。
回归模型
式中： 式中：
S e = ∑∑ ( y ij − y i ) 2
i =1 j =1
n
n
mi
自由度 fe = ∑(mi −1) = N −n 自由度
f Lf = n − p − 1
ˆ S Lf = ∑ mi ( y i − y i ) 2
i =1
1 yi = mi
∑y
j =1
mi
ij
回归模型
回归模型
5. 回归系数的检验： 回归系数的检验：
H 0 j：β j = 0，H 1 j：β j ≠ 0
对每一个回归系数进行F或 检验 对每一个回归系数进行 或t检验
Fj = t =
2 j
b / c jj ˆ σ
2
2 j
回归模型
式中： 式中：
Cij为(X’X)-1的第j+1个对角元 ˆ σ = S / f 是模型σ2的无偏估计
Box－Benhken设计 － 设计
例题： 例题：对超高压杀灭枯草芽孢杆菌效 果Y的研究发现：温度、压力、保压时 间是灭活枯草芽孢杆菌显著影响因子。 研究结果表明杀灭6个数量级的枯草芽 孢杆菌的杀菌条件，温度为： X1=31.10～59.03℃，压力为X2=235.23～ 562.21 MPa，保压时间为X3=10.11～ 19.53min，试分析最优杀菌工艺参数。
(
)
Y —响应变量；x —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； β —回归系数；
回归模型
二次响应面模型的矩阵描述： 二次响应面模型的矩阵描述：
Y = Xβ + ε 2 ε ~ N n 0, σ I n
(
)
Y —响应变量；X —结构矩阵； ε—正态随机误差；n —数据组数； 0 —nx1的元素全是0的向量；
+γ γ -γ γ
二次回归正交设计
实验设计与结果表
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1.2872 1.2872 0 0 0 0 0 0 X2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 -1.2872 1.2872 0 0 0 0 X3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 -1.2872 1.2872 0 0 Temp 85.54 85.54 85.54 85.54 54.46 54.46 54.46 54.46 50 90 70 70 70 70 70 70 Pres 7.55 7.55 4.45 4.45 7.55 7.55 4.45 4.45 6 6 4 8 6 6 6 6 Hour 2.78 1.22 2.78 1.22 2.78 1.22 2.78 1.22 2 2 2 2 1 3 2 2 Y 0.0947 0.0903 0.0987 0.0907 0.0902 0.0892 0.0904 0.0877 0.0857 0.0904 0.0869 0.0895 0.0876 0.0916 0.0886 0.0889
因素水平编码
(-1,-1,1)
α
(-1,1,1)
x3
(1,-1,1)
−α
中心点
(1,1,1)
−α
α
(-1,-1,-1)
o x1
α
x2
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)
主轴点
−α
基试验点 (1,1,-1)
三因素响应面设计的试验点及分布
Box－Benhken设计 － 设计
由Box－Behnken 提出的中心组合设 计是一种较常用的回归设计法，适 用于2 至5 个因素的优化实验。 Box－Behnken设计首先假定实验范 围内存在二次项，其试验点的选取 为编码立方体的每条棱的中点。
Box－Benhken设计 － 设计
实验因素水平及编码表
Factor 温度(℃) 温度(℃) 压力(MPa) 压力(MPa) 保压时间(min) 保压时间(min) Symbols Coded Uncoded -1 30 200 10 Level 0 45 400 15 1 60 600 20
X1 X2 X3
γ
−γ 0 0 0 M 0
γ
−γ 0 M 0
二次回归正交设计
二次回归正交设计的参数γ值表
二次回归正交设计
例题：在研究在某提纯工艺中，发现 例题： 杂质Y的产生量受温度、压力、提取时 间显著影响。研究结果表明这种提纯 工艺的的工作条件，其温度为： X1=50～90℃，压力为X2=4～8 MPa，提 取时间为X3=1～3hour，试分析最优提 纯工艺参数。