湖北省黄冈市2015届高三3月调研考试数学(文)试题 Word版含答案

黄冈市2015年3月高三年级调研考试文 科 数 学2015年3月12日下午2:00～4:00一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上,答错位置不得分. 1.已知R 为实数集，集合{}2x -4y y ==M ，}1{-==x y x N ，则=)(N C M R （ ） A .{x|0≤x ＜1} B .{x|-2≤x ＜1} C .{x|0≤x ≤2} D .{x|x ＜1} 2.已知i 为虚数单位，则复数2-i i在复平面内对应的点的坐标为（ ） A .(15 ,25 ) B .(- 15 , - 25 ) C .(- 15 ,25 ) D .(15 ,-25) 3.命题“)0(∞+∈∀，x ，01313＞+-x x ”的否定是（ ） A .)0(0∞+∉∃，x ，0131030≤+-x x B .)0(0∞+∈∃，x ，0131030≤+-x xC .)0(∞+∉∀，x ，01313≤+-x xD .)0(∞+∈∀，x ，01313＜+-x x4.已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-≥-，，，0920340y x y x y x 则-2x+y 的最大值为（ ）A.-1B.-3C.-8D.-95.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.166.在黄冈市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91 89 91 96 94 95 94去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A . 93, 2.8 B . 93, 2 C . 94, 2.8 D . 94, 2 7.设函数3()3f x ax x =+，其图象在点(1,(1))f 处的切线l 与直线036=-+-y x 垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 9 B. 6 C.3 D. 1 8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A .6B .320C .322 D .323 9.定义在R 上的函数)(x f 满足),4()(,0)()(+==+-x f x f x f x f ，且)0,2(-∈x 时，,512)(+=x x f ，则=)20(log 2f （ ）A .1B .45C .1-D .45-10. 定义在实数集R 上的函数)(x f y =的图像是连续不断的，若对任意的实数x ，存在不为0的常数τ使得)()(x f x f ττ-=+恒成立，则称)(x f 是一个“关于τ函数”.下列“关于τ函数”的结论正确的是（ ）A. 0)(=x f 是常数函数中唯一一个“关于τ函数”B. 2)(x x f =是一个“关于τ函数” C. x x f πsin )(=不是一个“关于τ函数” D. “关于21函数”至少有一个零点 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由下表可得回归直线方程为a x yˆ4ˆ+-=，据此模型预测零售价为15元时，每12.已知α为第四象限角，3cos sin =+a a ，则cos2α=___________. 13.平面向量(,3)a x =-，(2,1)b =-，(1,)c y =，若()a b c ⊥-，b ∥()ac +，则a在b 方向上的投影为 .14.执行如图所示的程序框图，输出结果S= ．15.已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中： ①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切；②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ③当6πθ=时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4．其中正确命题的序号为______．16.已知函数,4)(-=x x x f ，则不等式)1()(f x f ≥的解集为 ．17.设抛物线x y 62=的焦点为F ,已知B A ,为抛物线上的两个动点，且满足 60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ． 三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分) 已知函数,21-)cosx 6sin(x 2)(π+=x f (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC 中，若23)(=A f ,∠B=4π，AC=2，求△ABC 的面积.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为{}n S ，且122-=n n S a ，数列{}n b 满足211-=b ，121-=+n n b b . (Ⅰ)求n a ，并证明数列{}1b +n 为等比数列；(Ⅱ)若)1(+=n n nb ac ，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知D 点在直线A 1B 上，AD ⊥平面A 1BC. (Ⅰ)求证：BC ⊥AB;(Ⅱ)若BC=2,AB=4,AD=32，P 为AC 边的中点，求三棱锥P-A 1BC 的体积 .21.(本小题满分14分) 已知函数232x )(x x f +=(Ⅰ)求函数)(x f 的极大值和极小值；(Ⅱ)若不等式x x ax x f ln 4)(+≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明：)1ln(4143413424124141142222+≥⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯n nn )(*∈N n .22.(本小题满分14分)已知曲线P ：16122=-+-my m x （61＜＜m ） (Ⅰ)指出曲线P 表示的图形的形状；(Ⅱ)当5=m 时，过点M （1,0）的直线l 与曲线P 交于A,B 两点.①若MB MA 2-=,求直线l 的方程； ②求△OAB 面积的最大值.黄冈市2015年3月高三年级调研考试文 科 数 学参考答案一、选择题1-5 ADBBC 6-10 ACBCD 二、填空题11.49 12. 9142 13. -5 14.-2015 15.①③④ 16. [][)+∞+,7231 ，17.1 三、解答题18.解：(Ⅰ)f (x )＝2(32sinx ＋12cosx )cos x －12 ＝3sin x cos x ＋cos 2x －12＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin(2x ＋π6)…………………………5分 令－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2k π得x ∈[－π3＋k π，π6＋k π] (k ∈Z )即函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π] (k ∈Z )……………6分(Ⅱ)∵0＜A ＜π ∴π6＜2A ＋π6＜136π , f (A)＝sin(2A ＋π6)＝32∴2A ＋π6＝π3或2A ＋π6＝23π，即A ＝π12或Ａ＝π4…………………………8分①当A ＝π12时，C ＝23π，a ＝22sinA ＝6－24·22＝3－1 , S △ABC ＝12ab sinC ＝3－32 ………10分②当A ＝π4时，C ＝π2， S △ABC ＝12ab ＝2 …………………………………………12分 19. 解：(Ⅰ)由a n 2＝S 2n －1令n ＝１得a 12＝S 1＝a 1解a 1＝1 令n ＝2得a 22＝S 3＝3a 2，得a 2＝3∵{a n }为等差数列，∴a n ＝2n －1 ………………………………3分 证明：∵b n ＋1≠0， b n ＋1＋1b n ＋1＝12b n －12＋1b n ＋1＝12(b n ＋1)b n ＋1＝12又b 1＋1＝12，故{b n ＋1}是以12为首项公比为12的等比数列.………………6分(Ⅱ)由(1)知，n n n c b )21)(12(,)21(1n n-=∴=+n n T )21)(12()21(5)21(3)21(321n -++⨯+⨯+= 故=n 21T 132)21)(12()21)(32()21(3)21(+-+-++⨯+n n n n14321n )21)(12()21()21()21()212)21(21+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∴n n n T （ =131(21)1()()2222n nn ---- n n T )21)(32(3n +-=∴ ………………………………………12分20. (Ⅰ)证明：由AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC 得 AD ⊥BC ①又AA 1⊥平面ABC ⇒AA 1⊥BC ② AA 1∩AD ＝A ③由①②③得BC ⊥平面A 1AB ⇒BC ⊥AB …………………… 6分(Ⅱ)Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝234＝32，故∠ABD ＝π3Rt △AA 1B 中，AA 1＝ABtan ∠ABD ＝4 3 故V P —A 1BC ＝V A 1—PBC＝12V A 1—ABC ＝12×13×12×2×4×43＝833即三棱锥P －A 1BC 的体积为833 . ……………………………………13分 21.(1)∵f ＇(x )=3x 2+4x =x (3x +4)f (x )在(－∞,－43)和(0,+∞)上递增，在(－43,0)上递减 ∴ f (x )的极大值为f (－43)=3227f (x )的极小值为f (0)=0. …………………………………………4分 (2) f (x )≥ax +4xlnx 恒成立 ,即x 3+2x 2－4xlnx ≥ax 对∀x ∈(0,+∞)恒成立.也即a ≤x 2+2x －4lnx 对x ∈(0,+∞)恒成立. 令g (x )= x 2+2x －4lnx , 只需a ≤g (x )min 即可 . g ＇(x )= 2x +2－4x =2(x －1)( x +2)x , x ∈(0,+∞)， y= g (x )在(0,1)上递减, (1,+∞)上递增 g (x )min =g(1)=3 , ∴ a ≤3 .…………………………………………9分 (3)由(2)知x ＞0时，x 2+2x －4lnx ≥3恒成立.即(x －1)(x +3)≥4lnx 即(x －1)( x +3)4≥lnx 恒成立. 令x =1+1n 得4n +14n 2≥ln (1+1n )， 即4n +14n 2≥ln (n +1)－lnn故4(n －1)+14(n －1)2≥lnn －ln (n －1) …4⨯2+14⨯22≥ln 3－ln 24 ⨯1+14⨯12≥ln 2－ln 1把以上n 个式子相加得4 ⨯1+14⨯12+4⨯2+14⨯22+…+4n +14n 2≥ln (n +1).……………………………14分22. (Ⅰ) 当1＜m ＜72时，曲线P 表示焦点在y 轴上的椭圆当m ＝72时，曲线P 表示圆当72＜m ＜6时，曲线P 表示焦点在x 轴上的椭圆……………………4分 (Ⅱ)当m ＝5时，曲线P 为x 24＋y 2＝1，表示椭圆 ① 依题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：x ＝λy ＋1，A(x 1,y 1) B (x 2,y 2) 由x 24＋y 2＝1消去x 得(λ2＋4)y 2＋2λy －3＝0 △＞0，由韦达定理得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2λλ2＋4①y 1y 2＝－3λ2＋4 ②由MB MA 2-=得，y 1＝－2y 2代入①②得⎩⎨⎧－y 2＝－2λλ2＋4－2y 22＝－3λ2＋4…………………7分故8λ2( λ2＋4)2＝3λ2＋4 ⇒λ2＝125 ⇒λ＝±2155即直线l 的方程为x ±2155y －1＝0 . ……………………………………9分 ②S △OAB ＝S △OMA ＋S △OMB ＝12|OM|·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2| ＝12(y 1＋y 2)－4y 1y 2＝16λ2＋482(λ2＋4)＝2λ2＋3 λ2＋4＝2λ2＋3( λ2＋3)＋1令λ2＋3＝t (t≥3) S(t )＝2tt 2＋1当t ∈[3，＋∞）时，S’ (t )＝2(t 2＋1)－2t ·2t (t 2＋1)2＝2－2t(t 2＋1)2＜0 故y ＝S(t )在t ∈[3，＋∞）时单调递减当t ＝3, 即λ＝0时，S △ABO 有最大值为32 .…………………14分命题:蕲春一中 田 军 审稿： 黄冈中学 胡小琴。